立体几何(一)答案

立体几何专题专练(一)答案

1、(I)证明：在四棱锥P-A6CO中，

因底面ABC。，CDu平面ABC。，故CD，PA.

由条件CO1A。，PAC\AC=A,二。。J.面PAC.又AEu面PAC,AE1CD.

由PA=A6=6C,ZABC=60°,可得AC=PA.〈E是PC的中点，AE1PC,

PCC\CD=C.综上得AEL平面PCD.

(H)解:在四棱锥P-ABCD中因P4_L底面ABCD,A8u平面ABCD，故PA_LAB.

又A3J.AO,PAC\AD=A,从而43,平面PAD.故PB在平面P4。内的射影为尸4,

从而NAPB为PB和平面PAD所成的角.

在中，AB=PA,故NAP3=45°.

所以P8和平面PA0所成的角的大小为45°.

(III)解：过点E作EMLP。，垂足为M,连结

由(II)知，AEL平面PCD,AM在平面PCO内的射影

是EM,则AM1PD.

因此N4WE是二面角A—PO-。的平面角.由已知，得NC4O=30°.设AC=a,得

0」,八_26Dn_V21V2

PA—ci,A.D-----a,PD-----a,AE——ci.

332

在Rt^ADP中，•/AMLPD,AMPD=PAAD,则

273

…PAAD°r。2不…A……『A£V14

AM=-------=—f=--------a.在RtZXAEM中，sinAME==.

PD7217AM4

2、(I)证明：连结AC交5。于。，连结。M

因为Af为Af中点，。为AC中点，

所以FC〃MO,

又因为MOu平面

所以FC〃平面MB。；..............4分

(II)因为正方形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，

所以A厂，平面A8CO

以4为原点，以AD,A8,AF为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图取A8=l

C(l,l,0),M(0,0,1)，5(0,1,0),0(1,0,0),N(3/)

设平面的法向量为p=(x,y,z),

p-BD=Oz.

~P=(U,l)6分

p-BM=0

设平面BON的法向量为q=(x,y,

[q-BD=0--i)、

P—­q=(1,1-2)

[q-BN=Q

]与湎夹角为e.....................

cos。=1,"=0

IpI•IqI

所以二面角M—8。—N的大小为90°。..............12分

3,(1)证明：连结A£,与AJ交于O点，连结OD.

因为O,D分别为A|C和BC的中点，

所以OD〃A|B。

又ODu平面AJD,A|Bu平面ACQ,

所以A1〃平面ACQ........................................4分

(2)证明:在直三棱柱ABC-ABG中,

BB|_L平面及郦uABC,

所以BB,1AD.

因为AB=AC,D为BC中点，

所以ADJ.BC.又BCcBB1=B,

所以AD_L平面B|BCC「

又CEu平面斯BCG，ADICE

因为四边形BBCC1为正方形，D,E分别为BC,BB1的中点，

所以RtACBEsRtAC.CD,ZCC,D=ZBCE.

所以NBCE+NC|DC=90。.所以CQ_LCE

又ADcJD=D

所以的IAC,D

(3)解：如图，以的中点G为原点，建立空间直角坐标系,

贝ijA(0,6,4),E(3,3,0),C(-3,6,0),

C,(-3,0,0).

由(H)知CEL平面廨T),(,)CE=6-3,0为

平面ACQ的一个法向量。

设n=(x,y,z)为平面ACCj的一个法向量，

AC=(-3,0,-4),CC,=(0,-6,0).

,[n-AC=0,-3x+4z=0,

由《_____可得

n-CC,=0,-6y=0.

令x=1,贝ljy=0,z=——

4

□

所以5=(1,0,——).

4

从而cos（而6=罂濡=孩石.

因为二面角C-AC.-D为锐角,

所以二面角C-AC「D的余弦值为第.

12分

4、瞅：（1）证明：连结8G,交B\C于E,DE.

直三棱柱4叱加?心，〃是力6中点,

，侧面B8CC为矩形，DE为AABG的中位线,

：.DE//AG.2分

因为%'u平面B\CD,力G2平面ByCD,

二/G〃平面B、CD.4分

(2),/ACLBC,

所以如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.

则B(3,0,0),A(0,4,0),4(0,0,c),

8⑶0,4).

设〃（a,b,0）（。>0,/?>0）,5分

:点〃在线段46上，且处=工

即3D=—BA.

AB55

•••—

7分

55

——124

所以BQ=(-3,0,-4),BA=(-3,4,0),CD=(-,-,0).

平面切9的法向量为.n=（0,0,1）8分

设平面笈切的法向量为〃2=（x，y，D，

—3x—4z=0

0,得1124八，

由B]C•ri?=0,CD-n2

155*

4一4

所以x=-§,y=4,n2=(--,4,1).10分

\a-b\_3

设二面角3—CD—用的大小为e,cos6=11分

fflP

3

所以二面角8—CO—用的余弦值为二.12分

113

5、(I)

证明：如图，连接CO,AC,.........1分

则四边形ABC。为正方形，.........2分

.-.OC=AB=AlBi,且.•.0C//A8//A4

故四边形44。。为平行四边形，.......3分

A.O//B.C,.........4分

又平面AB。，8ICu平面48c...-5分

4。//平面Age..6分

(II)D}A=2。，。为AO的中点，D01AD,又侧面_L底面ABCD,

故Z)iO_L底面ABC。，.........7分

以。为原点，所。C,OD,在直线分

别为x轴，y轴，Z轴建立如图所示的坐标

系，则“1,0,0),0(0,1,0),

R(0,0,1),A(0,-1,0),........8分

.■.DC(1,-1,O)，西(0,-1,1),

5^4(0,-1,-1),=OC=(1，—1，°)，.......一9分

—►、—►►―.-----x—V=U

设〃z=(x,y,z)为平面CO2G的一个法向量，由,〃z_LOA,得＜',

-y+z=O

令Z=l,则y=l,x=l,r.m=(1,1,1).....10分

又设1=(xi，%,zj为平面ACQ的一个法向量，由［，即，3,前，得

-y.-Z,=0

<令

VM=0

Z]=1,则％=-1，玉=-1,n=(-1,-1,1),.......11分

——-1-14-111

则cos<m,n>--7=_L=——，故所求锐二面角A—CD—C的余弦值为一.......12分

V3-V333

6、解：

(I)；E4_L平面ABC,BMu平面ABC,AEA±BM...........................2分

又BMLAC,EAcAC=A,；.BM，平面ACFE,

而EM<=平面ACFE,BM_LEM........................................3分

VAC是圆0的直径，ZABC=90n.又ABAC=30°,AC=4,

AB=2y/3,BC=2,AM=3,CM=1...............................5分

EA±平面ABC,EC//EA,FC±平面ABC.

...易知△£4M与△FC"都是等腰直角三角形.

:.NEMA=ZFMC=45°.，NEMF=90°,BPEM1MF..............7分

MFCBM=M,/.EM_L平面MBF,而BFu平面MBF,

EM1BF.........................................................8分

(II)由(I)知,平面ACFE,ABM1MF,

又,:BMLAC,

ZCMF为二面角C—BM—F的平面角.................................10分

在△CMf中，由（I）知NCME=450..............................11分

因为ABC。是正方形，

所以AC_LB。，因为。EcBO=O...........4分

从而AC,平面3OE.....................6分

（2）当M是BD的一个四等分点，即48M=8。时，，AM〃平面8E尸......8分

取8E上的四等分点N,使4BN=BE,连结MMNF,则。E〃MN,且。E=4MN,

因为AF〃OE,且。E=4AF,所以AF〃MN,且AF=〃N,

故四边形AMNF是平行四边形.....................10分

所以AM〃尸M

因为4加仁平面3£尸，月7<=平面8后/，.............................11分

所以AM〃平面8EF.........................12分

8、解：（1）设。厂的中点为N,则MNHLcD,又AO//-CD,则MN//AO,MNAO

=。=。=

为平行四边形，.・.OM〃AN,又ANu平面D4尸，。加0平面

OM//平面DAF。

(2)过点尸作尸G，A8于G,平面ABCD_L平面ABEF,

]2

FG-L平面ABCD,VFABCD=—SABCD-FG=—FG,

\-CBl^ABEF,

・"F-CBE=^C-BFE~2SSBFEeCB

=--EFFGCB=-FG

326

•・^F-ABCD:V~c8E=4：1

9、解（D以A为原点，以45,AO,AP为X轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

设A8=L则尸4=4。=2,又设14万1=丁，贝U：尸Z=(1,2,—2),薪=(一1,%0)

T->]

由PC^BE=0,可得lx(—1)+2y+(-2)x0=0,解得y=—

——1

又AE=A,AD=>A=—

4

一]

(ID由⑴知面PAC的法向量为85=(一1,一,0)

2

—>

又因为8P=(—1,0,2)

设P6与面PAC所成的角为a,则：

.\BE^BP\H+><0+0x212

sina=——=.=-------------=—aG

I向J加p+l+oJP+o+45归

2

二所求P3与面PAC所成的角的正弦值为一

5

10、

解KD以A为原点，建立如图所示的坐标系(y轴〃CB),则A(O,O,O),D(O,O,

2),B(2,2,O),C(2,0,0)，从而E(1,O,1),F(1,1,O)，所以

AC-(2,O,O),E?=(O,1,-1),.............................................................3分

所蛇^•群=2XO+OX1+OX(-D=O,所汉前_L前，因此AC_LEF.…，6分

(2)因为AC=CB且F为AB的中点，所以CFJLAB,又CFJLAD,从而CF,平面

ABD,故元=(1,-1,0)为平面ABD的法向■.又AD=AC,E为CD中点，所以

AEJLCD,又因BC_L平面ACD,所以AEJLBC,从而AE_L平面BCD,

故融=(1,0,1)为平面BCD的一法向量，..........................19分

.........................11分

二面角C-DB-A为60。.........12分

11、

19.M：

连/C交80于N

由40〃6c可得.MNQsMNC、

AQAN\

'---'SE-

BCNC2...............2分

R学答*X1网共4页

•••Pkf^PCPAHMN..............4分

■：PAHMBQ.........................6分

(2)由PA«PO-AD=2.Q为AD的中点，MPQI.

AD.-7分

乂平面PADd_平面ABC。，所以PQJ■平面ABCD.

连BD.

四边形ABCD为菱形.

VAD-=AB.ZBAD-60-ZiABD为正三角形.

Q为AD中点..'.ADXBQ....................8分

以Q为坐标*点,分别以QA、QB.QP所在的直线为

x,y,z柏.建立如图所示的坐标系，则各点坐标为

A(1.0.0).B(0,^,0).Q(0.0.0).P(0.0.&

国平面MQB的法向量为:可用

n-QB=0n-QB=0

,vPAMMN,，a

n-MN=0〃•P/=0

®z=i.解得7=(J5,O,I)10分

取平面ABCD的法向量0A,(0,0.6)设所求二面角为0•

则\Qf»\_1故二面角M-8Q-C的大小为6CT.............1....2...分

12、（1）证明：因为四边形ABCD是菱形,

所以AC1BD.

因为PAJ.平面ABCD,

所有PA_LBD...........

又因为PAcAC=A,

所以BD_L面PAC.—•

而BDu面PBD,

所以面PBD_L面PAC.

（2）如图，设ACcBD=O.取PC的中点Q,连接0Q.

在aAPC中，AO=OC,CQ=QP,0Q为AAPC的中位线，所以OQ//PA.

因为PAJ_平面ABCD,

所以OQ_L平面ABCD,

以OA、OB、OQ所在直线分别为x轴、z轴，建立空间直角坐标系O-*Z.

则A（g,0,0）B（0,l,0）,C（-6,0,0）

P(60,2)

因为BOJ_面PAC,

所以平面PAC的一个法向量为0B=（0,1,0）.

设平面PBC的一个法向量为〃=(x,y,z),

而BC=(-反,-1,0)丽=(-73,1-2)

n±BC,,—V3x-y=0,

由<_一得〈「'

n1PB,[-yJ3x+y-2x=0.

令x=1,则y=-V3,Z=一6.

所以％=（1,-后-闾为平面PBC的一个法向量.

10分

OBnV21

cos<OB.n>

OBx□"1x71+3+3

所以锐二面角A—PC—B的余弦值为12分

7

13、解:连AC交BQ于N,由于〃BC可得,

AANC\BNC,.型=四=_L...2分

BCNC2

PM=-PC,：.PA//MN...4分

3

：.PA//MBQ..............6分

(2)由PA=PD=AD=2,Q为AD的中点，则PQ处AD.......7

又平面PAD平面ABCD,所以PQ平面ABCD,连接BD,

则四边形ABCD为菱形vAD=AB,ZBAD=60°A48O为正三角形

。为的用点，B砌.......8

以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x,y,z轴，

建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A(1,O,0),B(0,60),

Q(0,0,0),P(0,0,73),

—)

设平面MQB的法向量为n可得,y,z),

nQB=0nQB=0fy/3y=0

nMN=OnPA=OU-底=0

取？嘛得n分f=(6,0,1)……10

取平面ABCD的法向量

分=(0,0,6),设所求的二面角为。则cosO=¥2=L

\QP\\n\2

故二面角的大小为优＞°........12

14、(I)证明：在△46C中，因为AB=5,A(=4,BC=3、

所以/+BC=初，所以ACLBC.

因为直三棱柱相e4笈G,所以CGVAC.

Bi

因为BCCAC=C,所以4C_L平面BBCC.

所以ACLRC........4分

(II)证明：连结8G,交.BC于■E,连接〃反

D

因为直三棱柱/a〃是仍中点，B

所以侧面66CC为矩形，然为回的中位线，

所以DE//ACx.

因为DEu平面BCD,16仁平面瓜缪，

所以4G〃平面BED........8分

(III)解：由(I)ACA.BC,如图，以C为原点建立

空间直角坐标系C-xyz.则8(3,0,0),1(0,4,0),

4(0,4,4),5(3,0,4).

设。(a,b,0)(。>0,/?>()),

因为点〃在线段46上，且B二D=上1，即——1―-

AB33

4―•4—■

所以。=2,h=~,BD=(-1,-,O),CB,=(3,0,4),

平面时的法向量为〃।=(0,0,1).设平面3曲的法向量为/J=(x,y,D，

3x+4=0

由CB、•〃,—0,CD-n7=0,得《4

2x+-y=0

4—4%。3

所以x=——，y=2,n=(——,2,1).所以cos9=

3-23Ui=~向^=

所以二面角B-CZ)-B1的余弦值为地L

12分

161

15、(I)证明：因为四边形48co是菱形，所以ACLBO.

又因为以_1平面48(?。,所以PALBD,

所以8O_L平面PAC.4分

(II)设ACCI8O=O.因为NBAO=60。，PA=AB=2,所以80=1,AO=CO=事.

如图，以。为坐标原点，OB、0C所在直线及过点。且与抬平行的直线分别为x轴、

y轴、z轴建立空间直角坐标系。一移z，则

P(0,一小,2),A(0,-A/3,0),B(1,0,0),C(0,

所以=(1,5，-2),=(0,25，0).

设PB与4c所成角为0,则

o_______6_____V6

3。--而诉-4-8分

(III)由(H)知=(―1,小,0).

设P(0,一小，力(z>0),则=(-1,一事,Q.

设平面P8C的法向量机=(x,y,z),则・m=0,m=0.

—x+V5y=0,6

所以l令y=V5,则x=3,z---.

—x—yi3y+tz—0,1

所以加=(3,A/3,yj.

同理，可求得平面POC的法向量"=(一3,小，y).

因为平面P8CL平面PQC,所以"•"=(),即-6+*=0.解得尸灰.

所以当平面小与平面垂直时，PA=y/6..................12分

16、解：(1)找BC中点G点，连接AG,FG

AF,G分别为DC,BC中点

J.VGU-DBi'EA

2

：.四边形EFGA为平行四边形二EF//AG

'：AE1平面ABC,BD//AE：.DB±平面A8C

又；OBu平面BCD

二平面ABCJ.平面BCD

又：G为BC中点且AC=AB=BCAG±BC

AG±平面BCD；.EF1平面BCD

(2)以H为原点建立如图所示的空间直角坐标系

则c(省,O,O),E(O,-：,l),F(g，!，l),ED(-*,-g,l),CF(-g,；,l)

22442244

设平面CEF的法向量为n=(x,y,z)，

且

2——y+z=0

由得5=(6,-1,1)

旦

1八

4——y+z=0

4

平面ABC的法向量为G=(0,0,1)

nu_1_^5

则cos(n,u)=

InIIuI-x/55

平面角ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值为正

5

17、(1)以C为坐标原点建立空间直角坐标系C—xyz,则

11---------------11

4(1,0,1),与(0,1,1),C,(0,0,1),D(-,-,0),则=(-1,1,0),G。=

则病•弓5=0,所以漉,布，则4坊_LGO............6分

(2)M(1,0,刍,E(0,2,0)屈=(《，0,0)，赢=(一1,上一g,

22222

设诲平面般广个法砌E,

小屈=0

则盟一，厂

n-ME=Q,1V3„

i-x+—y----z=()

I22

令我阚做分x=0,z=l,n=(0,61),.........10

又CC1-L平面。£4,西=(0,0,1),

-*--->1

cos<〃i，CG>=一，

所以M-DE-A的大小为工

3

18、解：(I)取BD的中点P,连结EP、

又•:E盘、DC,，EA』PF,

2

•••四边形AFPE是平行四边形，，AF〃EP,

又VEPu面BDE,AF仁平面80E,

.•.AF〃面BDE..................................4分

(H)以CA、CD所在直线分别作为x轴，z轴，以过C点和AB平行的直线作为y釉，建立

如图所示坐标系..............5分

由。。=AC=2AE=2可得：A(2,0,0,),B(2,2,0),E(2,0,1),D(0,0,2)

则AB=(0,2,0),BE=(0,-2,l),5D=(-2,-2,2).............6分

•.•面AC0E1面ABC,面ACOEPI面A8C=AC,，面ACOE.

.••丽=(0,2,0)是面CDE的一个法向量.....................8分

设面BDE的一个法向量n=(x,y,z),则n_L屉，n_L而.

nBE=0—2y+z=02y—z=0

_即1,整理，得4令y=1,则z=2,x=1,

nBD=Q,—2x-2y+2z=0,x+y-z=0.

所以n=(l,l,2)是面COE的一个法向量.......................10分

ABn_1x2

故cos〈48,〃〉旦

\AB\\n\2xVl2+l2+226

7T,所以其余弦值为逅

图形可知二面角B-DE-C的平面角0G(0,-)12分

6

19、

TT

解：（I）在梯形ABC。中，由AB=BC,得NBAC=°,

4

TT

：.ZDCA=ZBAC=-.又AC_LAO,故AD4C为等腰直角三角形.

4

DC=42AC=仪CAB）=2AB.

连接8。，交AC于点“，则也=空=2.

MBAB

•••PD〃平面EAC,又平面EACfl平面PO5=ME,；.PDHEM

PEDMc

在.ABPD中,--------2

~EBMB

即PE=2E3时，PO〃平面EAC6分

(II)方法一：在等腰直角\PAB由取P8中点N,藏AN,则ANJ.尸8.••・平面PAB

，平面PCB,月.平面PABPI平面PCB=P8,...AN_L平面P8C.

在平面P8C内，过N作N”,直线CE于H,连结A”，由AN_LC£、NHICE,

得CE_L平面AN”，故A”1CE..•.44HN就是二面角A—CE-P的平面角.

在RfAPBC中，设CB=。，则PB=NPA1+信="/,

BE=-PB=—a,NE=-PB=—a,

3366

CE=yjCB2+BE2=­a,

3

由N”1CE,E6_LCB可知：^NEH\CEB,.•.吧=竺

NECE

代入解得:

在A/AA//N中，AN=—a,

2

tanZAHN=更=E,

NH

cosZAHN=/，=—

Vll+16

...二面角A-CE-P的余弦值为—............12分

6

方法二：以A为原点，所在直线分别为y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系.

设PA=AB=BC=a,则A(0,0,0),B(0,a,0),

C(cz,a,0),尸(0,0,a),《0,学

设/=(苍乂1)为平面E4c的一个法向量，y

则n[±AC,%±AE,

ax+ay=0,[[

'2aya，解得x=7,y=-彳，

---1—=0.22

33

设％=（"y；l）为平面P8C的一个法向量，则n21BC,n2lBP,

------/、—.6ZX'=0,

又3C=(〃,0,0),8P=(0,—a,a),・・・《，，解得V=0,y=l

-ay+a=0,

.一/八[八一一n,-n71

..=(0,1,1)./.cos<>=~2=—

212

ln,l.lrt2l6

...二面角A-CE-P的余弦值为上............12分

6

20、证明：⑴取DED中点G,建系如图,则A(0,m,。)、B(0,T,0)、C(l,0,0)、

D(-l,0,1),E(1,0,3)、F(0,m,2)、G(0,0,2),

笳=(2,02),DF=(l，V3,1).

设平面DEF的一法向量iit二

呼0即x+z=O,、

则<

x+/y+z=。,不妨取x=l,则y=0,z=-l,

^•DF=O

.*.2=(1,0,-1),平面ABC的一法向量3=(0,0,1),6A=(O，V3,0).

0A»n=0,AOAln.又OA<z平面DEF,.;OA//平面DEF.

⑵显然,平面BCED的一法向量为三=(0,1,0),H=0,.,.平面DEF_L平面BCED

⑶由⑴知平面DEF的一法向量3=(1,0,-1),平面ABC的一法向量2=(0,0,1),

->-»、AM

cos<zm,n>^——=--V

|m|.|n|2

求平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值为坐.

21、解法一：向量法

由AD_L面DEFG和直角梯形EFGD可知，AD、DE、DG两两垂直，建立如图的坐标系，

则A(0,0,2),B(2,0,2),C(0,1,2),E(2,0,0),G(0,2,0),F(2,1,0)

(1)BF=(2,1,0)-(2,0,2)=(0,1,-2)

CG=(0,2,0)-(0,1,2)=(0,1,-2)

：.BF=CG,即四边形BCGF是平行四边形.

故四点B、C、F、G共面.................4分

(2)FG=(0,2,0)-(2,1,0)=(-2,1,0),

设平面BCGF的法向量为=(x,y,z)，

则［亍!!72=0,

nx-FG=—2x+y=0

令y=2,贝【J/=(1,2,1),

而平面ADGC的法向量*=7=(1,0,0)

-------n.-n?1x1

..cos<n,,n0>=-=r―=z-=,=——；=-----------------

■V12+22+12XV12+02+026

故面ADGC与面BCGF所组成的二面角余弦值为如................8分

6

(3)设DG的中点为M,谶AM、FM,则%面体ABCQEFG=V:棱柱ZEF+V

=DEXS△9+ADXs=2x—x2xl+2x—x2xl=4.12分

解法二：(1)设DG的中点为M,崂AM、FM,则由已知条件易证四边形DEFM

是平行四边形，所以MF//DE,且MF=DE

XVAB//DE,且AB=DE；.MF//AB,且MF=AB

...四边形ABMF是平行四边形，即BF〃AM,且BF=AM

又：M为DG的中点，DG=2,AC=1,面ABC〃面DEFG

.♦.AC//MG,且AC=MG,即四边形ACGM是平行四边形

AGC//AM,月.GC=AM

故GC//BF,且GC=BF,

即四点B、C、F、G共面............4分

(2)1•四边形EFGD是直角梯形，ADJ^iDEFG

ADEIDG,DE±AD,即DE_L面ADGC,

VMF//DE,且MF=DE,，MF_L而ADGC

在平面ADGC中，过M作MN_LGC,垂足为N,连接NF,

显然/MNF是所求二面角的平面角.

:在四边形ADGC中,AD±AC,AD1DG,AC=DM=MG=1

.GC2+GD2-CD25+4-5V5

CD=CG=也,••cos4DGC------------------------------=-------T=---------------

2xGCxGD2x^5x25

2尺

：.sin/DGC=X・・・MN=MG•sinZDGC=1

55

DMG

2

在直角三角形MNF中，MF=2,MN=、y一

5

tanNMNF="==石，cos4MNF=—

MN2-756

5

娓

故而ADGC与面BCGF所组成的二面角余弦值为8分

6

(3)彩面体ABC-DEFG=丫：枝柱A1WIBEF+ABC-MFG

；=DExS△和M+ADxSMFG

=2x—x2xl+2x—x2xl=4.

22

22、解：依题意可知，AA|J_平面ABC,ZBAC=90°,

空间向量法如图建立空间直角坐标系。一xyz，因为AB=AC=AA=4,

则A(0,0,0),8(4,0,0)£(0,4,2),0(2,2,0),4(4,0,4)

(I)西=(-2,2,-4丽=(2-2-2,XO=(2,2,0)

而的=(-2烟X(-2>(-4)(-2/0,.•.而_L由，:.BQ工EO

B}0A0=(-2W2C2+(-4)0=0,ABXOLAO,：.BtO1AO

VAOC\EO=O,4。,后。匚平面/1七0与。，平面AEO

(II)平面AEO的法向量为4。=(-22,-4),设平面B|AE的法向量为

n-AE=02y+z=0

n-(x,y,z).\<即.

“•81A=0x+z=0

令x=2,则z=-2,y,，彳=(21-2)

元旧06V6

cos<n,B0>

}79X724-6

...二面角B,—AE—F的余弦值为—(8分)

6

(HI)因为瓦丽=2x2—2x2+0=0,...加，丽，...AO1EO

,/AO=1XO1=V22+22+0=2V2,EO=\'EO\=26

匕BOF=%AOF=LSMOF•B\()=、Lx2也x2«>=8

n—«jjC/E/>|-/it/zl3txnlyc.I32。2分)

23、(I)取AE的中点M,连接&M,因为BA=4D=OC=』BC=a,AA3E为等边

'2

三角形，则又因为面与4£_1面4后。。，所以用知_1面AEC。，…2分

「…，，1J3