2020-2021学年广西钦州市高一（下）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年广西钦州市高一(下)期末数学试卷

一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分).

1.已知直线过点A(-2,3«)和点8(1,0),则直线/的斜率为()

A--V3B.V3C.-哮D.除

OO

2.圆C：(x+2)2+(y-4)2=2的圆心关于原点的对称点为()

A.(4,-2)B.(-2,4)C.(2,-4)D.(-4,2)

3.已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16,侧棱长为10,则该棱台的侧面积为

()

A.80B.240C.320D.640

4.若机，〃表示直线，a表示平面，则下列命题中，正确的是()

A.若m〃n,m//a,贝B.若m_La,〃_La,则加〃〃

C.若mua,m//n,贝U〃〃aD.若根〃a,m.Lnf贝!Jzz_La

5.已知｛。"｝为等差数列，若43=1,S4=0,则46的值为()

A.6B.7C.8D.9

6.若机=2N+1,〃=N+2x,p=-x-3,贝!J()

A.n^m>pB.n>m>pC.m2p2nD.m^n>p

7.如图，在直角三角形ABC中，ZC=90°,ZB=30°,。为3C边上一点，已知30=2,

A.V6W2B.遍-&C.^3+1D.-/3-I

8.下列说法正确的有()

①棱台的各条侧棱所在的直线交于同一点；

②经过球面上不同的两点只能作一个面积最大的截面圆；

③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正四棱柱；

④正三棱锥的各个侧面一定是全等的正三角形.

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.在△A3C中，内角A,B,。所对的边分别为〃，b,c.若〃=遮，b=近,5=45

则角C的值为()

A.75°B.15°C.135°D.75°或15°

10.过点尸(2,1)作圆(X-1)2+y2=4的最短弦，延长该弦与无轴、y轴分别交于A,

8两点，则的面积为()

A.2B.3C.4D.5

11.已知圆锥的底面半径为1,高为2,该圆锥的顶点和底面圆周上的点都在球。的表面上，

则此球的半径为()

A.返B.退C.—D.—

3344

12.已知。>0,b>Q,若不等式1+22恒成立，则上的最大值等于()

ab2a+b

A.10B.9C.8D.7

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.过点(1,1),且倾斜角为60°的直线/的方程为.

2

14.函数/(x)=生_」支(%>0)取得最小值时x的取值为.

x

15.已知数列｛an｝满足ai=3,an+i=2an-1,则数列｛an｝的通项公式

为.

16.在锐角△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，b=M，且角A,B,C顺次

成等差数列，则△ABC周长的取值范围是.

三、解答题：本大题共6题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.设/(x)—ax2-ax-2,(aWO).

(1)当。=1时，解关于x的不等式/(x)>0；

(2)若不等式/(x)W0对一切实数尤恒成立，求实数。的取值范围.

18.在平面直角坐标系内，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,2),2(4,0),C

(m,0).

(1)求A8边的垂直平分线所在的直线/的方程；

(2)若△A8C的面积为5,求点C的坐标.

19.已知等差数列｛雨｝的前〃项和为S“，公差d/0,&=20,且0，的，。7成等比数列.

(1)求数列｛小｝的通项公式；

2

(2)求数列｛-------｝的前”项和为

anan<-l

20.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,

我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.为测得如图所示的海洋蓝洞口径(图中42两点间的

距离)，现在珊瑚群岛上取两点C和Q,测得CD=45加，ZADB=135°,/BDC=/

DCA=15°,ZACB=120°.

(1)求A、。两点的距离；

(2)判断此海洋蓝洞的口径是否超过100帆.

21.如图是一个圆柱沿圆柱的轴截去一半后所得的几何体，点M是底面的半圆弧而上异于

C,D的点，连接M4,MB,MC,MD.

(1)证明：平面BCM；

(2)若点P是线段AM中点，求证：〃平面尸3。.

22.在平面直角坐标系xOy中，已知圆N过点(-1,0),(1,0),且圆心N在直线/：

x+y-1=0上；圆M：(x-3)2+(y-4)2=8.

(1)求圆N的标准方程，并判断圆M与圆N的位置关系；

(2)直线上是否存在点2,使得过点B分别作圆M与圆N的切线，切点分别为T,

S(不重合)，满足BS=28T?若存在，求出点B的坐标，若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.

1.已知直线过点A（-2,3«）和点2（1,0）,则直线/的斜率为（）

A--V3B.V3C.一坐D.除

OO

解：：直线过点A（-2,3立）和点8（1,0）,

直线I的斜率为3娓一。=-如,

-2-1

故选：A.

2.圆C：（x+2）2+（j-4）2=2的圆心关于原点的对称点为（）

A.(4,-2)B.(-2,4)C.(2,-4)D.(-4,2)

解：圆C：(x+2)2+(y-4)2=2的圆心(-2,4),

所以圆C：（x+2）2+（＞-4）2=2的圆心关于原点的对称点为（2,-4）.

故选：C.

3.已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16,侧棱长为10,则该棱台的侧面积为

()

A.80B.240C.320D.640

解：作出一个侧面等腰梯形的高，也是棱台的斜高，

则由等腰梯形的性质，可得斜高”=J]02_（1^±）2=&

再用棱台侧面积公式，得棱台的侧面积为S恻=焉（3X4+3X16）X8=240.

4.若相，”表示直线，a表示平面，则下列命题中，正确的是（）

A.若相〃〃，m//a,则〃〃aB.若机_La,〃_La,贝加〃几

C.若mua,m//n,贝!J〃〃aD.若加〃a,则〃J_a

解：若根〃mm//a,则〃〃a或〃ua,故A错误;

若根J_a,n_La,由直线与平面垂直的性质可得加〃几，故3正确;

若机ua,m//n,贝U〃〃a或〃ua,故。错误;

若m//a,m±n,则〃ua或〃〃a或〃与a相交，相交也不一定垂直，故。错误.

故选：B.

5.己知｛3｝为等差数列，若的1,S4=0,则。6的值为（）

A.6B.7C.8D.9

ao=lai+2d=laj=-3

解：设等差数列｛斯｝的公差为d,由<，得《，解得，

s4=o4a1+6d=0d=2

所以期=-3+2X5=7.

故选：B.

6.若m=2x2+1,〃=N+2X,p=-x-3,则（）

A.n^m>pB.n>m>pC.m2P2〃D.m^n>p

解：由加-〃=2N+1-(x2+2x)=x2-2x+l=(x-1)220,得

又w-p=N+2尤-(-x-3)=N+3x+3=(x+—)2+—>0,得w>p,

24

所以m》n>p.

故选：D.

7.如图，在直角三角形ABC中，ZC=90°,N5=30。，。为3c边上一点，已知30=2,

(

娓c.V3+1D.V3-1

解：法一：在△48。中,ZB=30°,ZADC=45°：.ZBAD=15°，

由正弦定理得「卑BD-sin3014

_AD_：.AD=2X—XL

sini5sin30sinl502V6-V2

V6+V2-

在直角三角形AOC中，VZC=90°,NAZ)C=45°,

.•.AC=AD«sin45o=(近+我)义堂=遮+1.

故选：c.

法二：设AC=x,在RtZXACD中，VZADC=45°，：.CD^x,

在RtZXACB中，VZABC=30°,：.AB=2x,BC=心,

2+x=y[2>c,

看=E

故选：C.

8.下列说法正确的有（）

①棱台的各条侧棱所在的直线交于同一点；

②经过球面上不同的两点只能作一个面积最大的截面圆；

③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正四棱柱；

④正三棱锥的各个侧面一定是全等的正三角形.

A.1个B.2个C.3个D.4个

解：对于①：因为棱台是用平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，

故延长一个棱台的各条侧棱，它们相交于一点，①正确.

对于②：如果这两点是球的直径上的2个点，

经过球面上的这两点作无数个面积最大的截面圆，故②错误；

对于③：各侧面都是正方形的四棱柱，

如果底面是菱形，一定不是正方体，故③错误；

对于④：若一个三棱锥是正三棱锥，

则底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形，故④错误；

所以正确的只有一个，

故选：A.

9.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若.=«,b=近,8=45

则角C的值为()

A.75°B.15°C.135°D.75°或15°

解：：。=遂，b=近,8=45°,

由正弦定理可得：sinA=a・sinB=«X~^~=返,

卜~^f2~2

VAe(45°,180°),

：.A=60°,或120°,

.•.C=180°-A-8=15°或75°.

故选：D.

10.过点尸(2,1)作圆M：(X-1)2+y2=4的最短弦，延长该弦与无轴、y轴分别交于A,

8两点，则的面积为()

A.2B.3C.4D.5

解：过点P(2,1)作圆M：(尤-1)2+y2=4的最短弦，的向量为：1,弦所在直线

的斜率为：-1,

所以y-l=-(x-2),即x+y-3=0,

所以A(3,0),B(0,3),M到AB的距离为：d=

则的面积为：亚=3,

故选：B.

11.已知圆锥的底面半径为1,高为2,该圆锥的顶点和底面圆周上的点都在球。的表面上,

则此球的半径为()

A.返B.退C.—D.—

3344

解：当圆锥顶点与底面在球心。的两侧时，如图，

设球O的半径为R,则(2-R)2+12=R2,

解得讨

当圆锥顶点与底面在球心。的同侧时，如图,

s

圆锥SO的底面半径04=1,高SO1=2,

设球。的半径为R,则（R-2）2+12=R2,

解得R-^-.

4

综上，此球的半径为

4

故选：D.

12.已知a>0,b>0,若不等式工+2》—^恒成立，则左的最大值等于（）

ab2a+b

A.10B.9C.8D.7

解：由于a>0,b>0,所以2a+6>0,

故不等式』+2'/一等价于左W（2a+b）（-+-）,

ab2a+bab

不等式工+2、）一恒成立，等价于左（2a+b）（工+2）

ab2a+bab

由于（2a+b）（—+—）=4+2■全*2+2、回冕=8,

ababVab

（当且仅当2a=6时“=”成立），

故人W8.

故选：C.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.过点（1,1）,且倾斜角为60。的直线/的方程为、隔丘+1=0.

解：过点（1,1）,且倾斜角为60°的直线/的方程为y-l=tan60°（x-1）,

即y-1=^3（尤-1），即，日+1=0,

故答案为：J§+i=0.

21

14.函数/（x）=AX4a>o）取得最小值时尤的取值为

x2

解：Vx>0,

21.-

,f(x)=4^=4x+l>2CJ=4)当且仅当即x9时等号成立.

故答案为：，■.

15.已知数列｛斯｝满足。1=3,斯+i=2a〃T,则数列｛3｝的通项公式为_an=2n+l_

解：由an+i—2an-1,得an+i-1=2(an-1),

"."ai-l=2W0,

可得数列｛斯-1｝是以2为首项，以2为公比的等比数列,

则an-l=2・2kl=2n，

n

an=2+l.

n

故答案为：an=2+l.

16.在锐角△ABC中，a,b,。分别是角A,B,C所对的边，b=«,且角A,B,C顺次

成等差数列，则△ABC周长的取值范围是(3+妙，3日.

解：B,C成等差数列，

：.A+C^2B.

又A+B+C=TI,

a近

・・•在△ABC中，由正弦定理•=如=2,

sinAsinC

2

/.AABC的周长/=〃+Z?+c=2sinA+^/^+2sinC=2sinA+^/^+2sin(^--A)=2«sin

o

(A+T)+仃

•/△ABC为锐角三角形,

.I2

o<"-A<4

32

解得，

62

63

.•.返<sin(AH-----)Wl,

26

...△ABC的周长的取值范围(3+遮，3«].

故答案为：(3+遮，3«].

三、解答题：本大题共6题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.设/(无)—ax2-ax-1(a#0).

(1)当。=1时，解关于x的不等式/(无)>0；

(2)若不等式/(x)W0对一切实数无恒成立，求实数。的取值范围.

解：(1)由题意，当。=1时，不等式/(x)>0,即N-尤-2>0,

/.(尤-2)(x+1)>0,解得尤<-1或x>2.

.•.不等式/(无)>0的解集为(-8,-1)U(2,+8).

(2),/cz#0,f(x)W0即or?--2W0恒成立，

即函数/(x)的图象在x轴的下方，且至多与x轴一个交点，

,'a<0

、△=a2-4a(-2)40

解得-8Wa<0；

，实数。的取值范围为[-8,0).

18.在平面直角坐标系内，己知△A8C的三个顶点坐标分别为A(0,2),8(4,0),C

(机，0).

(1)求A8边的垂直平分线所在的直线/的方程；

(2)若△ABC的面积为5,求点C的坐标.

解：(1);△A8C的三个顶点坐标分别为A(0,2),B(4,0),C(机，0),

线段A8的中点M的坐标为(2,1),

又•.•线段AB的斜率为笑=-4，

4-02

设AB边的垂直平分线所在的直线/的斜率为左，则左=2,

可得/的方程为y-1=2(尤-2),

即2x-y-3=0.

・••边A8的垂直平分线所在的直线I的方程2x-y-3=0.

(2)边所在的直线方程为y-2=(x-0),x+2y-4=0,

\AB\(0-4)2+(2-0)2=2泥，

设AB边上的高为d,即点C到直线AB的距离为1=母乳=上驶L,

Vl+4V5

AABC的面积为5=£XXd=掂％

解得d=泥，即疾=।,...m=9,或%=-1,

故点C的坐标为(9,0)或(-1,0).

19.已知等差数列｛斯｝的前〃项和为S“，公差dWO,S5=20,且g,g,由成等比数列.

(1)求数列｛小｝的通项公式；

2

(2)求数列｛-------｝的前w项和为4.

anaiH-l

解：(1)等差数列｛斯｝的前〃项和为公差dWO,

由题意，得41,。3,〃7成等比数列，

所以(〃+2d)2=ai(ai+6d),

整理得：2d2=aid,

又因为dWO,

所以ai=2d,

由于S5=20,

所以5al•^41=20，

解得41=2,d=l,

所以斯=〃+1.

(2)由于斯=〃+1,

所以：=7~4-1'if4-9'i=2(~~TV一~Zo"),

anan1_1(n+1)(n+2)n+1n+2

故中X®W4+...TrY?)=备・

20.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,

我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.为测得如图所示的海洋蓝洞口径(图中A,8两点间的

距离)，现在珊瑚群岛上取两点C和。，测得CO=45"z,ZADB=135°,/BDC=N

DCA=15°,ZACB=nO°.

(1)求A、O两点的距离；

（2）判断此海洋蓝洞的口径是否超过100w.

在△ACD中，ZADC=ZADB+ZBDC=135°+15°=150°,

因为/£>CA=15°,

所以/D4c=15°,

所以△AOC为等腰三角形，

所以AO=CO=45(m),

A、D两点的距离为45〃z；

(2)在△BCD中，ZBZ)C=15°，ZBCD=ZACB+ZACD=120°+15°=135°

所以NC3Z)=30°,

CDBD

由正弦定理可得

sinZCBDsinZBCD

45X

CD-sinl35°当

解得BD=45y(m),

sin300

2

在△A3Z)中，AD=45mfBD=45/^jn,

ZADB=135°,由余弦定理可得

AB2=AD2+BD2-2AD•BDcosZADB=452+(45^)2-2X45X45«X(-浮)

=5X

452,

解得