专题训练9 利用导数研究函数的最值问题 - 2022届高考数学一轮复习 (新高考)

专题训练9利用导数研究函数的最值问题一、单选题1．已知函数在R上可导且，其导函数满足，，若函数满足，下列结论错误的是（）A．函数在上为增函数 B．是函数的极小值点C．时，不等式恒成立 D．函数至多有两个零点2．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5在区间[－4，4]上的最大值是（）A．10 B．－71C．－15 D．－223．函数在上的最小值为（）A． B．-1 C．0 D．4．设函数，则下列结论正确的个数为（）①；②的最大值为；③在，单调递增；④在单调递减．A．1 B．2 C．3 D．45．已知函数，则的最小值是（）A． B． C． D．6．若函数的值域为，则实数的最大值为（）A． B． C． D．7．已知函数，若，，，其中，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．8．已知函数，，在上的最大值为，当时，恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、多选题9．已知函数的导函数的两个零点为1，2，则下列结论正确的有（）A．abc＜0 B．在区间[0，3]的最大值为0C．只有一个零点 D．的极大值是正数10．（多选题）设的最大值为，则（）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，11．若点是函数f（x）的图象上任意两点，且函数f（x）在点A和点B处的切线互相垂直，则下列结论正确的是（）A．x1＜0 B．0＜x1＜1C．最小值为e D．x1x2最大值为e12．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（）A．若，则函数没有极值B．若，则函数有极值C．若函数有且只有两个零点，则实数a的取值范围是D．若函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是三、填空题13．已知函数，则在上的最大值是__________．14．对于一个函数，若存在两条距离为的直线和，使得在时恒成立，称函数在内有一个宽度为的通道．则下列函数在内有一个宽度为1的通道的有______．（填序号即可）①；②；③；④．15．函数在区间（其中）上存在最小值，则实数的取值范围为______16．已知函数，若且，则的最小值是________．四、解答题17．已知函数f(x)=2x3-6x2+m(m∈R)在区间[-2，2]上有最大值3，求它在[-2，2]上的最小值.18．（1）若函数f(x)=ax3+bx-4在x=1处取得极值，且极值为0，求实数a，b的值；（2）已知函数f(x)=ax3-6ax2+b(a≠0)，是否存在实数a，b使f(x)在区间[-1，2]上取得最大值3，最小值-29?若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.19．已知函数，.（1）求函数在上的最值；（2）若对，总有成立，求实数的取值范围.20．已知是函数的极值点.（1）求的值，并证明恒成立；（2）证明：对于任意正整数，参考答案1．C【解析】，，则，由题意得当时，，故在递增，选项A正确；当时，，故在递减，故是函数的极小值点，故选项B正确；由在递减，则在递减，由，得时，，，故，故选项C错误；若，则有2个零点，若，则函数有1个零点，若，则函数没有零点，故选项D正确．故选：C2．A【解析】解析：f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3或，所以的单调递增区间是，单调递减区间是，所以函数的极大值为f(－1)＝10；而f(4)＝－15，所以最大值是f(－1)＝10．故选：A.3．B【解析】因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.故答案为：B.4．B【解析】解：函数，对于①，，故①正确；对于②，，令，所以，则时，不单调；时，，函数单调递减，当时，，所以的最大值，故②错误；由②知：③错误、④正确．故选：B．5．C【解析】由题得，所以当时，单调递增；当时，单调递减.所以取得最小值时，，此时，当时，；当时，；所以的最小值是.故选：C6．B【解析】若函数的值域为，则函数的函数值应能取到所有的正数，易知，，则只需使的最小值小于等于0，，当时，，单减；当时，，单增；则的最小值为，解得，则实数的最大值为故选：B7．B【解析】由题得时，，令，所以函数在单调递增，令，所以函数在单调递减.所以，所以.又，所以.故选：B8．C【解析】因为，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减.，所以，在上恒成立，由知，，由可得，所以，在时恒成立，令，，则，所以，函数在上为增函数，故，故.故选：C.9．BC【解析】因为，且，，所以，化简得，解得，，因为，所以，所以abc>0，故A错误；由，可知为开口向下的二次函数，且零点为1，2，则当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以x=1为极小值点，x=2为极大值点，则的极大值为，故D错误；由函数的单调性可知，函数在单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，，所以在区间[0，3]的最大值为0，故选项B正确；函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，，，所以只有一个零点0，故C正确；故选：BC.10．AB【解析】对于选项A，当时，则，，在区间上，所以在区间上递减，所以，故选项A正确.对于选项B，当时，，则，在区间上递增，即，故选项B正确.对于选项C，当时，当时，恒成立，所以，所以，故选项C错误.对于选项D，当时，，则，在区间上递增，，故选项D错误.故选：AB.11．CD【解析】因为,点所以因为在点A和点B处的切线互相垂直由导数几何意义可知,在点A和点B处的切线的斜率之积为所以时,满足,即.因为,所以所以,所以A、B错误;对于C,可知,令,所以令,得所以当时,,则在时单调递减所以在时取得极小值,即最小值为,所以C正确;对于D,可知令,则令,解得所以当时,,则在时单调递减当时,,则在时单调递增所以在时取得极小值,即最小值为.当时取得最大值,,所以D正确.当时,满足,即此方程无解,所以不成立.综上可知,D为正确选项.故选:CD12．ABD【解析】解：由题意得，函数的定义域为，且，当时，恒成立，此时单调递减，没有极值，又当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，∴有且只有一个零点，当时，在上，，单调递减，在上，，单调递增，当时，取得极小值，同时也是最小值，∴，当x趋近于0时，趋近于，趋近于，当x趋近于时，趋近于，当，即时，有且只有一个零点；当，即时，有且仅有两个零点，综上可知ABD正确，C错误．故选：ABD．13．【解析】由题意可知，，，．当时，，函数在区间上单调递增，则．故答案为：14．②③④【解析】解：对于①，，，则在两条直线和之间，两直线的距离，所以不存在宽度为1的通道，故①错误；对于②，函数，研究函数在上的最大值，函数在时取得极大值点即最大值点，，时，函数，，故存在两直线和，，故②正确；对于③，函数；函数随的增大而增大，渐近线为，取两条直线，，故，故③正确；对于④，函数，所以，由此得到两直线的距离，故存在两条直线，，两条直线的距离.故④正确．故答案为：②③④．15．【解析】因为，所以，，所以在单调递减，在单调递增，因为在区间（其中）上存在最小值，所以解得：，故答案为：.16．【解析】作出函数的大致图象如图所示，设，则．由，可得；由，可得．令，其中，则．由，得．当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增．所以．即的最小值为．故答案为：17．.【解析】，令，则，当，，为增函数，当，，为减函数，在(-2，2)上，只有x=0是f(x)的极值点，且为极大值点，∴极大值.又，.容易判断，∴，即最小值是.18．（1）；（2）存在，a=2，b=3或a=-2，b=-29.【解析】(1)由于，所以.依题意，可得且.即解得(2)存在,，令，解得x1=0，x2=4(舍去).①当a>0，x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表x(-1，0)0(0，2)+0-f(x)↗极大值↘所以当x=0时，f(x)取得最大值.所以b=3.又f(2)=-16a+3，f(-1)=-7a+3，f(-1)>f(2)，所以当x=2时，f(x)取得最小值，所以-16a+3=-29，即a=2.②当a<0，x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表:x(-1，0)0(0，2)-0+f(x)↘极小值↗所以当x=0时，f(x)取得最小值.所以b=-29.又f(2)=-16a-29，f(-1)=-7a-29，f(2)>f(-1)，所以当x=2时，f(x)取得最大值，所以-16a-29=3，即a=-2.综上所述，a=2，b=3或a=-2，b=-29.19．（1），；（2）.【解析】解：（1）因为单调递增；令得，.当时，，单调递减；当时，，单调递增.又因为，，，所以，.（2）因为