高中数学新教材选择性必修第一册第三章《3.1椭圆及其标准方程-简单几何性质》

3.1.1椭圆及其标准方程1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．（重点）2．掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程.（重点、难点）课题引入课题引入·rOA课题引入将一条无弹性的绳子的两端固定在同一个定点上，用笔尖勾起绳子的中点使绳子绷直，围绕定点旋转，笔尖形成的轨迹是圆的引入：圆5课题引入数学实验请将一根无弹性的细绳两端分别固定在两个定点上，用笔尖勾直绳子，使笔尖移动，观察画出的轨迹是什么曲线？

6课题引入请回答以下问题：视笔尖为动点，绳子两端为两定点，在运动过程中，动点始终满足什么条件不变的呢？动点到两定点距离之和为绳长7新课讲授一.椭圆的定义F1F2M平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数的点的集合叫作椭圆。当绳长=|F1F2|时,轨迹是当绳长<|F1F2|时,轨迹不存在线段F1F28新课讲授一.椭圆的定义F1F2M平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数

的点的集合叫作椭圆。这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距9小试牛刀例1：判断分别满足下列条件的动点M的轨迹是否为椭圆。和点的距离之和为6的点的轨迹；（2）到点和点

的距离之和为4的点的轨迹；（3）到点和点

的距离之和为6的点的轨迹；（1）到点（4）到点和点

的距离之和为4的点的轨迹；10F1F2MxOyF1F2MxyOF1F2MxyO新课讲授求圆的标准方程的步骤:(1)建系(2)设点(3)限制条件(4)代入(5)化简检验对称性简洁性11求椭圆的标准方程的步骤:(1)建系(2)设点(3)限制条件(4)代入设M(x,y)

是椭圆上任意一点以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系。设|F1F2|=2c,（问题：接下来怎样化简？）则有F1(-c，0)、F2(c，0)新课讲授F1F2MxOy(5)化简检验11化简移项得:两边平方得:新课讲授13两边再平方，得整理得移项，整理得由椭圆定义可知这说明椭圆上的点的坐标满足以上方程。我们还可以证明，这个方程的每一组解对应的点都在椭圆上。新课讲授椭圆的标准方程14F1F2MxOy化简移项得:两边平方得:新课讲授15两边再平方，得整理得移项，整理得1234一般地，我们把中心在原点、焦点F1，F2在坐标轴上的椭圆的方程叫作椭圆的标准方程。但是，一个椭圆，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以椭圆的标准方程还有其它形式。对“标准”的理解：F1F2MF1F2Mxoy新课讲授16新课讲授焦点在y轴上的椭圆的标准方程是：焦点在x

轴上的椭圆的标准方程是:F1F2MxOyF2F1MxyO17例题讲解例2、判断下列椭圆的焦点在哪个坐标轴上，并写出焦点坐标。18例3、已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，,椭圆上一点M到的距离之和为4，求该椭圆的标准方程。变式1：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点M到的距离之和为4，求该椭圆的标准方程。19例题讲解总结定义标准方程图象焦点坐标a,b,c的关系F1F2MxoyF2F1Mxyo20数形结合思想，分类讨论思想，类比的方法3.1.2椭圆的简单几何性质1.熟悉椭圆的几何性质（范围，对称性，顶点，离心率）.（重点）2.理解离心率的大小对椭圆形状的影响.（重点）3.通过数形结合、观察分析、归纳出椭圆的几何性质，进一步体会数形结合的思想.（难点）椭圆的几何性质这节课让我们一起先来研究：F2F1OB2B1A1A2xy1、范围横坐标的范围：纵坐标的范围：-a

x

a-b

y

b所以

由式子

知从而：-a

x

aaF2F1OB2B1A1A2xycb1、范围容易算得：B2F2=a△B2F2O叫椭圆的特征三角形.2、对称性（Y轴）F2F1Oxy椭圆关于y轴对称.F2F1Oxy椭圆关于x轴对称.2、对称性（x轴）A2A1F2F1Oxy椭圆关于原点对称.2、对称性（原点）F2F1Oxy小结：对称性椭圆关于y轴、x轴、原点对称.所以椭圆即是轴对称图形也是中心对称图形3、顶点OB2B1A1A2xy可得x=

a在

中令y=0，从而：A1(-a，0)，A2(a，0)同理：B1(0，

-b)，B2(0，b)3、顶点OB2B1A1A2xy线段A1A2叫椭圆的长轴，线段B1B2叫椭圆的短轴，长为2a长为2b4、离心率上面椭圆的形状有什么变化？Oxy怎样刻画它们的扁平程度？4、离心率Oxy显然，a不变，b越小，椭圆越扁.也即，a不变，c越大，椭圆越扁.把椭圆的焦距与长轴长的比

称为椭圆的离心率，用e表示，即4、离心率小结1，椭圆的离心率越大椭圆越2，椭圆的离心率的取值范围0<e<1扁(±a，0)

(0，±b)(0，±a)

(±b，0)0<e<1()椭圆的几何性质-a

x

a-b

y

b-a

y

a-b

x

b椭圆方程范围对称性顶点离心率对称轴：x轴、y轴对称中心：原点例1、求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并画出它的图形.解：把方程化为标准方程:所以:a=5，b=4c=顶点坐标为(-5，0)，(5，0)，(0，4)，(0，-4)所以，长轴长2a=10，短轴长2b=8；离心率为0.6；XYO焦点坐标为(-3，0)，(3，0)例2、求符合下列条件的椭圆的标准方程:(1)经过点(-3，0)、(0，-2)；解：易知a=3，b=2又因为长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程为(2)长轴的长等于20，离心率等于0.6(2)由已知，2a=20，e=0.6或因为椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为∴a=10，c=6∴b=8练习1，求适合下列条件的椭圆的标准方程经过点P(2，0)

Q(0，1)；(2)与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距，且离心率为0.8.或11422=+yx练习2：教材