2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第48讲椭圆及其性质学生版

第48讲椭圆及其性质思维导图知识梳理1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.2．椭圆的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．3．椭圆的几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)范围|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤a对称性关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称顶点坐标(a,0)，(－a,0)，(0，b)，(0，－b)(b,0)，(－b,0)，(0，a)，(0，－a)焦点坐标(c,0)，(－c,0)(0，c)，(0，－c)半轴长长半轴长为a，短半轴长为b，a＞b离心率e＝eq\f(c,a)a，b，c的关系a2＝b2＋c2题型归纳题型1椭圆的定义及其应用【例1-1】已知F1（﹣3，0），F2（3，0）动点M满足|MF1|+|MF2|＝10，则动点M的轨迹方程．【例1-2】设F1，F2为椭圆C：+＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为．【跟踪训练1-1】已知△ABC的周长为20，且顶点B（0，﹣4），C（0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A．（x≠0） B．（x≠0） C．（x≠0） D．（x≠0）【跟踪训练1-2】已知椭圆+＝1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为．【名师指导】椭圆定义的应用技巧椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．题型2椭圆的标准方程【例2-1】如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，则椭圆C的标准方程为．【例2-2】过点（，﹣），且与椭圆+＝1有相同的焦点的椭圆的标准方程．【例2-3】椭圆以坐标轴为对称轴，经过点（3，0），且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为（）A． B． C．或 D．或【跟踪训练2-1】已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝3|BF2|，|BF1|＝5|BF2|，则椭圆C的方程为（）A． B． C． D．【跟踪训练2-2】若直线x﹣2y+2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（）A．+y2＝1 B．+＝1 C．+y2＝1或+＝1 D．以上答案都不对【跟踪训练2-3】经过两点A（0，2）、B（，）的椭圆的标准方程为．【名师指导】根据条件求椭圆方程的2种方法定义法根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程待定系数法待定系数法是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，再用待定系数法求出m，n的值即可题型3椭圆的几何性质【例3-1】已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，，线段MF2的延长线交椭圆C于点N，若|MF1|，|MN|，|NF1|成等差数列，则椭圆C的离心率为（）A． B． C． D．【例3-2】已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点（异于左、右顶点），若存在以为半径的圆内切于△PF1F2，则椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【例3-3】已知F1，F2椭圆的左右焦点，|F1F2|＝4，点在椭圆C上，P是椭圆C上的动点，则的最大值为（）A．4 B． C．5 D．【跟踪训练3-1】已知O为椭圆C的中心，F为C的一个焦点，点M在C外，＝3，经过M的直线l与C的一个交点为N，△MNF是有一个内角为120°的等腰三角形，则C的离心率为（）A． B． C．﹣1 D．【跟踪训练3-2】设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N满足∠F1MF2＝∠F1NF2＝，则椭圆C离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【跟踪训练3-3】已知P是椭圆上一动点，A（﹣2，1），B（2，1），则的最大值是（）A． B． C． D．【名师指导】一、求椭圆离心率的三种方法1．直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．2．构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．3．通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．二、与椭圆有关的最值或范