2022年新高考北京数学高考真题变式题16-18题（解析版）

2022年新高考北京数学高考真题变式题1678题

原题16

1.在.ABC中，sin2C=>/3sinC.

⑴求NC；

(2)若匕=6,且ABC的面积为66,求ABC的周长.

变式题1基础

2.ZiMBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acosC+ccosA=2/?cos8.

⑴求B；

(2)若。=屈，ZiABC的面积为G，求AABC的周长.

变式题2基础

3.在.ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且8cosA=(伍-")cos8.

⑴求B；

(2)若人=1,ABC的面积为求A5C的周长.

变式题3基础

4.在.43C中，角4,8,C的对边分别为a,。,c,2c=H为cosB.

(1)求角A；

⑵若a=2,ABC面积5=拿/+"+c)求△ABC的周长.

变式题4基础

5.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin(A+B-C)=csin(8+C).

⑴求角C的值；

⑵若2〃+n6,且一MC的面积为G，求;ASC的周长.

变式题5巩固

6.已知ABC的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,且也1土手=吧0

c-bc-a

(1)求角A的大小；

(2)若〃=2百，且S.c=26，求ABC的周长.

变式题6巩固

7.在一A8C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量5=3,。)，”=(sin8,GcosA),

且帆_1_几

⑴求4;

(2)若a=g,ABC的面积为巫，求一ABC的周长.

2

变式题7巩固

8.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为“，b,c,6c=/«sinA+6cosA).

⑴求B

⑵若6=3,ABC面积为迪，求ABC周长.

4

变式题8巩固

9.在&ABC中，内角A、B、C的对边分别为“、b、c,JL2/?cosB=ccosA+acosC.

(1)求角B的大小；

⑵若a+2c=16,且ABC的面积为86,求ABC的周长.

变式题9提升

、R

10.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知a=2,acosCH--asinC=b-

3

⑴求4;

(2)若点。在8c边上，40平分NBAC,且=求43c的周长.

3

变式题10提升

11./1BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知GsinC—cosC=$a.

a

(1)求角A的大小；

(2)若4。为Nfi4c的平分线，且AD=g,S.=26,求ABC的周长.

变式题11提升

12.在ABC中，角A,B,C的对边分别是“，b,c,且向量胆=(a-c,J)和向量

〃=2-a)互相垂直.

(1)求角C的大小；

(2)若..ABC外接圆的半径是1,面积是正，求43c的周长.

2

变式题12提升

13.在一ABC中，Z?sinB=asin4—(Z?+c)sinC

(1)求角A的大小

⑵若BC边上的中线A»=2X/5,且5枷=26,求ABC的周长

原题17

试卷第2页，共16页

14.如图，在三棱柱ABC-中,侧面BCC'Bi为正方形，平面BCClBi_L平面,

AB=BC=2fM,N分别为A#,AC的中点.

(1)求证：A/N〃平面BCG4；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线A3与平面3MN所成

角的正弦值.

条件①：ABLMN；

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

变式题1基础

15.如图，在三棱柱ABC-A4G中，四边形是边长为4的正方形，48=3.再从

条件①：BC=5、条件②：ABIAA^条件③：平面ABC_L平面MGC、中选择两个

能解决下面问题的条件作为己知，并作答.

(1)求证：平面AAGC;

(2)求直线8c与平面4BG所成角的正弦值.

变式题2基础

16.如图，四棱锥P-A5C。中，平面A8CO,四边形ABCD是矩形，点E,尸分

别是AB,PO的中点，若B4=4)=2,CD=4.

(1)求证：AFV/平面PCE；

(2)求直线FC与平面PCE所成角的正弦值.

变式题3基础

17.如图，在四棱锥P-ABCD中，ABLAD,CDA.AD,PA_L平面ABC。,

PA=AD=CD=2AB=2,M为尸C的中点.

(1)求证：3M//平面%£>；

⑵设点N在平面孙。内，且MNJ_平面P8。，求直线BN与平面A8C。所成角的正弦值.

变式题4巩固

18.在①平面平面A8CE),②AP_LC£>,③BCJ_平面这三个条件中任选一

个，补充在下面的问题中并作答.

如图，在四棱锥P-43co中，底面A8CD是梯形，点E在BC上，AD//BC,ABLAD,

AB1AP,BC=2AB=2AD=2AP=4BE=4,且______.

(1)求证：平面平面PAC；

(2)求直线PE与平面PAC所成角的正弦值.

变式题5巩固

试卷第4页，共16页

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PAJ•平面ABCD,PA=AD=CD=2,BC=3,

PC=2y/3,E为尸8中点，一.

(1)求证：四边形A8C£＞是直角梯形；

(2)并求直线AE与平面PC£＞所成角的正弦值.

从①CDLBC；②BC〃平面PAO这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成

解答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

变式题6巩固

20.如图,在三棱柱ABC-A^C,中，四边形4AGC是边长为4的菱形，AB=BC=而，

点。为棱AC上动点(不与A,C重合)，平面B/。与棱AG交于点E.

(1)求证：BBJIDE；

(2)若袈=今，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直

/IV4

线48与平面所成角的正弦值.条件①：平面ABC,平面AA£C；条件②：

4AC=60。；条件③：AB=后.

变式题7巩固

21.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABC。为平行四边形，AB1AC,抬_L平面

ABCD,S.PA^AB=3,AC=2,点E是PO的中点.

(2)求直线CE与平面R43所成角的正弦值.

变式题8巩固

22.如图，在直三棱柱ABC-A中，D,E分别是棱48,8G的中点，AC=BC=2,

(1)求证：DE//平面4CGA；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得各条件相融.并

求直线DE与平面A8G所成的角的正弦值.

条件①：BCLAC,.条件②：DEJ.BJ条件③：到平面ACC/的距离为1.

变式题9巩固

23.如图，在四棱锥P—MCD中，平面ABC。，AD//BC,ZABC=90°,

PA=AB=BC=2,AQ=1,点M,N分别为棱尸8,OC的中点.

试卷第6页，共16页

AD

(1)求证：AM〃平面PC。；

(2)求直线MN与平面PCD所成角的正弦值.

变式题10提升

24.如图，在四棱锥P-A8CD中，底面ABCD是菱形，PA=AB=2,PA_L平面ABC。，

E为PD的中点.

BC

(1)证明:P8〃平面A£C;

(2)在①NABC=60。，②ECLAD这两个条件中任一个,补充在下面的横线上，并

作答.若_______,求EC与平面PA。所成的角.

注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

变式题11提升

25.如图，在四棱锥P—ABCD中，24,平面ABCQ,E4：=AD=CD=2,BC=3,

PC=2日E为尸B的中点，______.

P

BC

从①CDLBC；②BC〃平面出。这两个条件中选一个，补充在上面问题的横线中，并

完成解答.

注：如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分.

(1)求证：四边形ABC。是直角梯形.

(2)求直线AE与平面PC。所成角的正弦值.

PF

(3)在棱PB上是否存在一点尸，使得AF〃平面PC。？若存在，求的的值；若不存在,

CD

请说明理由.

变式题12提升

26.如图，在四棱锥P-ABCO中，己知底面A3C。为直角梯形，AB//DC,AB±AD,

AB=AD=2CD=2,平面平面ABC。，PALPB,PA=PB.

(1)从下列条件①、条件②中再选择一个作为已知条件，求证：耳■〃平面物8；

条件①：E,尸分别为棱尸。，BC的中点；条件②：E,F分别为棱PC,AO的中点.

(2)若点M在棱(含端点)上运动，当会为何值时，直线CM与平面以。所成角

的正弦值为3.

3

变式题13提升

27.已知底面为菱形的四棱锥P-ABCO中，△%£＞是边长为2的等边三角形，平面

皿)，平面ABC。，E,F分别是棱PC,AB上的点.

(1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立：

①尸是AB的中点；②E是PC的中点；③BE〃平面PFD

(2)若ND48=60。.求P8与平面PQC所成角的正弦值.

原题18

28.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上

(含9.50m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、

乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：

试卷第8页，共16页

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙:9,85,9.65,9.20,9.16.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.

(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E

(X)；

(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证

明)

变式题1基础

29.某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发

展旅游产业,一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平.为

此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，如表是该部门从

去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表.

老年人中年人青年人

满意度

报团游自助游报团游自助游报团游自助游

满意121184156

一般2164412

不满意116232

(1)由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向

于选择报团游？

(2)为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的游客中，随

机抽取3人征集整改建议，记X表示这3人中老年人的人数，求X的分布列和期望；

(3)若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？

变式题2基础

30.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg

的包裹，除1kg收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg(不足1kg,按1kg计算)需

再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表：

包裹重量（单位：kg）12345

包裹件数43301584

公司对近60天，每天揽件数量统计如表:

包裹件数范

0-100101200201300301400401500

围

包裹件数（近

50150250350450

似处理）

天数6630126

以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.

（1）计算该公司未来1天揽件数在101~400之间的概率；

（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；

②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.

目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不会超过150件，且日工资为100元.公司正在

考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断

裁员是否对提高公司利润更有利？

变式题3基础

31.近期，某中学全体学生参加了“全国节约用水大赛”活动.现从参加该活动的学生中

随机抽取了男、女各25名学生，将他们的成绩（单位：分）记录如下：

成绩[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

男生（人数）25891

女生（人数）ab1032

（1）在抽取的50名学生中，从大赛成绩在80分以上的人中随机取出2人，求恰好男、

女生各1名，且所在分数段不同的概率；

（2）从该校参加活动的男学生中随机抽取3人，设这3人中大赛成绩在80分以上的人

数为X,求X的分布列和数学期望；

（3）试确定6为何值时，使得抽取的女生大赛成绩方差最小.（只写出结论，不需

试卷第10页，共16页

要说明理由)

变式题4基础

32.《中华人民共和国老年人权益保障法》规定，老年人的年龄起点标准是60周岁.为

解决老年人打车难问题，许多公司均推出老年人一键叫车服务.某公司为调查老年人对

打车软件的使用情况，在某地区随机抽取了100位老年人，调查结果整理如下：

[60,65)[65,70)[70,75)[75,80]

年龄/岁80岁以上

使用过打车软件人

41201151

数

未使用过打车软件

13963

人数

(1)从该地区的老年人中随机抽取1位，试估计该老年人的年龄在［65,75)且未使用过打

车软件的概率；

(2)从参与调查的年龄在［70,801且使用过打车软件的老年人中，随机抽取2人进一步了

解情况，用X表示这2人中年龄在［75,80］的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；

(3)为鼓励老年人使用打车软件，该公司拟对使用打车软件的老年人赠送1张10元的代

金券，若该地区有5000位老年人，用样本估计总体，试估计该公司至少应准备多少张

代金券.

变式题5巩固

33.自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的

情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：

20以F[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]70以上

使用人数312176420

未使用人数003143630

(I)现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在［30,50)且未使用自由购的概率；

(II)从被抽取的年龄在［50,70］使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况,

用X表示这3人中年龄在［50,60）的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；

（III）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若

某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.

变式题6巩固

34.某企业为了解职工A款APP和8款AP尸的用户量情况，对本单位职工进行简单随

机抽样，获得数据如下表：

男职工女职工

使用不使用使用不使用

人款APP72人48人40人80人

B款APP60人60人84人36人

假设所有职工对两款APP是否使用相互独立.

（1）分别估计该企业男职工使用A款4Pp的概率、该企业女职工使用A款APP的概率；

（2）从该企业男，女职工中各随机抽取1人，记这2人中使用A款APP的人数为X,

求X的分布列及数学期望；

（3）据电商行业发布的市场分析报告显示，A款APP的用户中男性占52.04%、女性占

47.96%；8款APP的用户中男性占38.92%、女性占61.08%.试分析该企业职工使用A款

APP的男、女用户占比情况和使用8款APP的男、女用户占比情况哪一个与市场分析报

告中的男、女用户占比情况更相符.

变式题7巩固

35.某调研机构就该市工薪阶层对“楼市限购令”的态度进行调查，抽调了5000名市民,

他们月收入人数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表：

月收入（单位：百元）[30,50)[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150)

调查人数500100015001000500500

赞成人数40080012004149987

（1）若从抽调的5000名市民中随机选取一名市民，求该市民赞成“楼市限购令”的概率；

（2）依据上表中的数据，若从该市工薪阶层随机选取两人进行调查，记赞成“楼市限购

试卷第12页，共16页

令''的人数为X,求X的分布列和数学期望;

（3）若从抽调的收入在［30,50）（百元）的市民中随机抽取两名，记赞成“楼市限购令”的

人数为X-期望记作碇|：若从抽调的收入在［50,90）（百元）的市民中随机抽取两名，

记赞成“楼市限购令”的人数为X2,期望记作EX?,比较与EX?的大小关系.（直接写

出结论即可）

变式题8巩固

36.北京市某区针对高三年级的一次测试做调研分析，随机抽取同时选考物理、化学的

学生330名，下表是物理、化学成绩等级和人数的数据分布情况：

物理成绩等级ABC

化学成绩等级ABCABCABC

人数（名）11053255701531210

（1）从该区高三年级同时选考物理、化学的学生中随机抽取1人，已知该生的物理成绩等

级为A,估计该生的化学成绩等级为A的概率；

（2）从该区高三年级同时选考物理、化学的学生中随机抽取2人，以X表示这2人中物理

、化学成绩等级均为A的人数，求X的分布列和数学期望（以上表中物理、化学成绩等

级均为A的频率作为每名学生物理、化学成绩等级均为A的概率）；

（3）记抽取的330名学生在这次考试中数学成绩（满分150分）的方差为1，排名前50%

的成绩方差为s；,排名后50%的成绩方差为sj,则52不可能同时大于.S和s「，这种判

断是否正确.（直接写出结论）.

变式题9提升

37.人类常见的遗传病类型主要分为单基因遗传病、多基因遗传病和染色体异常遗传病

三大类，高度近视（600度以上）、红绿色盲都是较常见的单基因遗传病.某学校课后

实践活动对学生这两种遗传病情况进行统计，分别从男、女同学中各随机抽取100人进

行调查，对患病情况统计如下，其中“小表示是，“x”表示否.

人数男生高度近视红绿色盲

3qXq

2qdX

1474

1XX

2XyjX

(1)分别估计该校男生红绿色盲的发病率和该校女生红绿色盲的发病率；

(2)为做家庭访问，从已调查出患红绿色盲的同学中任选两人，记这两人中男同学人数为

X,求X的分布列及数学期望；

(3)假设该校男生人数为1500,女生人数为2500,试估计该校学生高度近视发病率〃与

该校学生红绿色盲发病率N的大小关系，并说明理由.

某种遗传病的患者数

(注：某种遗传病发病率=某种遗传病的被调查人数x

变式题10提升

38.2021年是北京城市轨道交通新线开通的“大年”，开通线路的条、段数为历年最多.12

月31日首班车起，地铁19号线一期开通试运营.地铁19号线一期全长约22公里，共

设10座车站，此次开通牡丹园、积水潭、牛街、草桥、新发地、新宫共6座车站.在试运营

期间，地铁公司随机选取了乘坐19号线一期的200名乘客，记录了他们的乘车情况，

得到下表(单位：人)：

下车站

牡丹园积水潭牛街草桥新发地新宫合计

上车站

牡丹园///5642724

积水潭12///20137860

牛街57///38124

草桥1399///1638

新发地410162///335

新宫25543///19

合计363656262125200

(1)在试运营期间，从在积水潭站上车的乘客中任选一人，估计该乘客在牛街站下车的概

率；

试卷第14页，共16页

(2)在试运营期间，从在积水潭站上车的所有乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车

的人数为X,求随机变量X的分布列以及数学期望；

(3)为了研究各站客流量的相关情况，用。表示所有在积水潭站上下车的乘客的上、下车

情况，表示上车，“。=0”表示下车.相应地，用&，4分别表示在牛街，草桥站

上、下车情况，直接写出方差屿,。々大小关系.

变式题11提升

39.2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了

“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩''为原型的纪念品在专卖店

进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款

纪念品有购买意向的消费者(以下把对该纪念品有购买意向的消费者筒称为消费者)的

心理价位，并将收集的1()0名消费者的心理价位整理如下：

心理价位(元/件)90100110120

人数10205020

假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时.，该消费者就

会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件

该纪念品.设这款纪念品的销售价格为x(单位：元/件)，90<x<120,且每位消费者是

否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率.

(1)若x=100,试估计消费者购买该纪念品的概率；

(2)在(1)的前提下，某时段有4名消费者进店，X为这一时段该纪念品的购买人数，

试求X的分布列和数学期望E(X)；

(3)假设共有M名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为丫(单位：元)，当该

纪念品的销售价格X定为多少时，y的数学期望E(y)达到最大值？

变式题12提升

40.小明所在学习小组开展社会调查，记录了某快餐连锁店每天骑手的人均业务量.现

随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25,35),[35,45),[45,55),[55,65),[65,75),

[75,85),[85,951匕组，整理得到如图所示的频率分布直方图.

频率

丽

0.03

0.025

0.02

0.015

0.01

0.005

O2535455565758595业务量（单）

(1)随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率;

(2)将上图中的频率作为相应的概率，从该连锁店的骑手中任意选3人，记其中业务量不

少于65单的人数为X,求X的分布列和数学期望.

(3)如果该连锁店的骑手每送1单可以提成3元，试估计一名骑手每天的收入.并说明理

由.

试卷第16页，共16页

参考答案:

1.(1)J

6

⑵6+66

【分析】(1)利用二倍角的正弦公式化简可得cosC的值，结合角C的取值范围可求得角C的

值；

(2)利用三角形的面积公式可求得。的值，由余弦定理可求得，的值，即可求得,MC的周

长.

(1)

解：因为Ce(0,i),贝i」sinC>0,由已知可得GsinC=2sinCcosC,

可得cosC=且，因此，C=^.

26

(2)

解：由三角形的面积公式可得5Azic=g"sinC=|q=66,解得a=4>/L

由余弦定理可得c2=a2+/?2-2McosC=48+36-2x475x6x#=12,:.c=28

所以，A8C的周长为a+〃+c=65/5+6.

2.(l)y;

(2)5+713.

【分析】(1)根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出cos8=；,进而求出B；

(2)根据余弦定理可得到(a+c)2-3ac=13,再根据三角形面积公式得到ac=4,即可求出

a+c=5,进而求出A8C的周长.

(1)

解：由々cosC+coosA=2/?cosB及正弦定理得sinAcosC+sinCeosA=2sinBcosB,

/.sin(A-t-C)=sinB=2sinBcosB,VsinB>0,cosB=—,

答案第1页，共57页

71

VO<B<^,:•B=一

3

（2）

解：由（1）及已知得5人初「=1xacx立=6，ac=4,

△ABC22

由余弦定理知b2=/+/-2。。cos/="+。2_a。=（。+。）2-3ac=13,

；・S+c）~=25,工a+c=5,

・•・△ABC的周长为。+6+。=5+代

3・⑴8=9

4

⑵拒+2

【分析】(1)利用正弦定理得到COS2=YZ,从而求出8=；;(2)利用面积公式求出农=忘,

24

进而用余弦定理求出a+c=&+l，求出周长.

(1)

由正弦定理得：sinBcosA=(夜sinC-sinAjcosB,

因为sin（8+A）=sinC,

所以sinC=>/2sinCcosB

因为C£（0,7l）,

所以sinCw0,

故cosB=—，

2

因为8«0,兀）,

所以B=r

4

（2）

由面积公式得：—acsinB=—,解得：ac=a,

2222

答案第2页，共57页

由余弦定理得：cos8=《±Z=比S竺二£=也

2ac2ac2

将ac=V^，b=l代入，求得：a+c=V24-1»

故.ABC的周长为a+c+Z?=+2

71

4.（l）y；

⑵6

【分析】（1）由正弦定理边角互化化简计算；（2）由面积公式结合余弦定理代入求解b+c,

即可得周长.

（1）

在，ABC中，V2c=b+2acosBf

/.由正弦定理可得2sinC=sinB+2sinAcosB.

又・.・。=兀一（4+3）,sinC=sin（A+B）,

/.2sin(A+B)=sin2sinAcosB.

整理得2cosAsinB=sinB.

VsinB>0,cosA=—fAG(0,K)./.A=y.

(2)

亦艮|33Z?C=力2+。2+4.

又由余弦定理知从+（?一be=4,/.be=4.

/.(b+c)2—3bc=4./.Z?+c=4.

.ABC的周长为q+b+c=6.

IT

5.⑴c=；

⑵6或5+9

【分析】（1）利用正弦定理结合A+B+CMTT,代换整理得sin2C=sinC,再结合倍角公式整

答案第3页，共57页

1\ci=2\a=\

理；⑵根据面积公式S.=”sinC代入整理得"4’结合题意可得修或一

分情况讨论处理.

（1）

Vtzsin（A+B-C）=csin（B+C）,则sinAsin（兀一2C）=sinCsinA

\<0<A<7r,sinAwO

/.sin2C=sinC,B|J2sinCcosC=sinC

VO<C<7i,sinC^O,则cosC=-

2

：.C=-

3

（2）

•.•△ABC的面积为石，则;"sinC=G

：.ab=4

ab=467=2\a=\

根据题意得则6=2或I

2a+b=6

a=2

若八2'则AABC为等边三角形,MC的周长为6；

若|：一|,则c2=a2+〃-2a〃cosC=13,即。=后，ABC的周长为5+后

[b=4

二ABC的周长为6或5+万

71

6.（DA=§

⑵6+26

【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得cosA的值，结合角A的取值范围可求得角A

的值；

（2）利用三角形的面积公式可求得加的值，利用余弦定理可求得b+c的值，进而可求得

ABC的周长.

（1）

答案第4页，共57页

〃力,sinA+sinCsinB

解：由-------——=----，

c-bc-a

利用正弦定理可得(〃+c)(c—〃)=b(c—"),化为/+力2一/=反，

所以，cosA=c~a=-,A£(0,4),A=—.

2bc23

(2)

解：a=2^3,且SMe=/bcsinQ=2>/^,所以，be=89

由余弦定理可W12=tz2=b2+c2-2Z?ccosy=£»2+c2-bc=(b+c)2-3bc,

所以，e+c)2=30c+12=3x8+12=36,解得b+c=6,

因此，ABC周长为a+〃+c=6+2^^.

7.(l)y;

⑵3+S.

【分析】(1)由题意asin8+而cosA=0,再由正弦定理化简得tanA=-石，可得4；

(2)由余弦定理得e+c)2=〃c+7,再由三角形面积公式得反•=2,即可求b+c,进而得

出.ABC的周长.

(1)

由m±n,则asinB+&bcosA=0,

由正弦定理得：sinAsinB+>/3sinBcosA=0>

在.ABC中sin8>0,故sin4=-石cosA,即tanA=-石，

因为0<4〈%，所以A=,；

(2)

由余弦定理得=从+。2一2万ccos4,BPb2+c2+bc=l,可得(/2+cJ=bc+7,

又SA5c=；人。，3A=,得bc=2,则(b+c)2=9,即〃+c=3,

所以4?C的周长为3+77.

答案第5页，共57页

71

8.(1)8=§

⑵9

【分析】（1）根据正弦定理和两角和公式即可得到结果

（2）根据三角形面积公式以及余弦定理即可得到结果

(1)

因为Gc=b(sinA+gcosA),由正弦定理：号=工=『,

\)sinAsin3smC

得V3sinC=sin31inA+GcosA),

又TA+3+C=万，/.V3sin(A4-B)=sinBsinA4-73sinBcosA,

6sinAcosB+y/3cosAsinB=sinBsinA+百sinBcosA,

•••V3sinAcosB=sinAsinB,

0<A<乃,•二sinAW0,/.GcosB=sinB,

又・・・0v〃〈乃，AtanB=>/3,即3

(2)

由题意知==acsinB=ac，**-ac=9

△we244

jr

由余弦定理得/+<?=2accosB,又,：b=3,B=y,

a2+c2=b2+laccosB=18

•'.(«+c)'=a2+c2+lac=36,故a+c=6,

所以ABC的周长a+b+c=9.

9.⑴？

⑵12+4«

【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出cosB的值，结合角8的取值

范围可求得结果；

（2）利用三角形的面积公式结合已知条件可求得。、c的值,再利用余弦定理可求得b的值，

答案第6页，共57页

即可得出，ABC的周长.

(1)

解：因为2/7cosB=ccosA4-tzcosC,

由正弦定理2sinBcosB=sinCcosA4-sinAcosC=sin(A+C)=sin(TF-B)=sinB.

i万

又8«0,4)，sinB>0,所以COS3=5,所以8=5.

(2)

解：因为='acsin8=』acx正=86，所以ac=32,

222

又a+2c=16,所以a=8,c=4,

由余弦定理可得〃=q2+c2-2accos8=82+42-2x8x4x：=48,所以6=46.

所以ABC的周长为a+b+c=8+46+4=12+4G.

1。.呜

⑵指+2

【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换求出角A即可;

（2）利用角平分线分三角形面积等于两个小三角形面积之和得出等式，再用余弦定理联立

求解周长即可.

(1)

n

由正弦定理得sinAcosC+——sinAsinC=sinB,

3

在aABC中，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA,

n

化简为——sinAsinC=sinCcosA,又sinCwO,

3

tanA=73,又Aw(0,兀)

兀

'.A=—；

3

(2)

依题意得S,』AsinA='A。・csinABAD+』A。力sinACAD,

222

即y/3bc=(0+c),

答案第7页，共57页

由余弦定理得4="+c2—Ac,

r.S+c)2-^'(b+c)=4,解得b+c-y/6

ABC的周长为痛+2.

H.⑴年

(2)6+2"

【分析】（1）由正弦定理将边化为角，结合三角恒等式的化简可得sin（A+2）=g,进而可

得结果；

（2）通过三角形面积公式可得be=8,b+c=6,结合余弦定理求出。即可得出周长.

(1)

•・•^sinC-cosC=—,由正弦定理可得出sinC-cosC=smCrinB

asinA

即y/3sinCsinA-sinAcosC=sinC-sinB=sinC-sin(A+C),

化简得GsinCsinA=sinC-cosAsinC,

又・・,在一43c中，sinC^O,

•**V3sinA=1一cosA,即百sinA+cosA=1,

,sin(A+?)=g,结合Ae(O,乃)，可知&

(2)

：4。为za4c的平分线，A=与，AZBAD^ZDAC^^,

又,：SAK=20,AD=1,

Lex旦L/旦U立=2y/3，

22232232

•*.bc=8,b+c=6,

：./=/+c?-2bccosA=(6+c)2-次+be=36-8=28,

:.a=2币,

二一AfiC的周长为6+24.

答案第8页，共57页

12.(1)!

⑵3+6

【分析】(1)根据a_LZ?＜=＞玉z+x%=°，并结合余弦定理运算求解;

(2)根据正弦定理可得c=6,在结合面积公式和余弦定理运算处理，注意

a2+b2=(a+Z?)~-2ab的使用.

(1)

因为加，〃互相垂直，所以〃?•〃=(a—c)•等+，。一。)=0,

则合+/一才=帅.

由余弦定理得cosC=Sc-=迫=1

2ablab2

因为0＜。＜兀，所以C=].

(2)

"rj=2,则c=2sinC=g

sinC

=—absin—=^~,所以昉=2.

因为S.

232

a2+h2-c2即。2+。2_3=々力，则(a+bj-2。人一3=。匕,

因止匕(。+人)~=3々力+3=9,EPa+b=3.

故ABC的周长〃+»+<?=3+".

13.(1)A=^-

⑵8+6万

【分析】(1)利用正弦定理将角化边，再由余弦定理可求角A的大小；

(2)由面积公式可得历=8,再在和一AOC中，由余弦定理可得从+02,最后用完

全平方公式可求b+c的值，即可求得三角形的周长.

(1)

由已知bsinb=asinA—(b+c)sinC,

答案第9页，共57页

由正弦定理得：b2=a2-hc-c2,

由余弦定理得：cosA="苛:二

2bc2

在,ABC中，因为Aw(0,1)，

所以A=m27r；

(2)

由S^ABC=gsinA=今bc=2yfi,得bc=8①,

由(1)知从=/一匕。一。2,即/+/=/-8②，

在△A8O中，由余弦定理得：c2=(^)2+(2^3)2-2-2^3-^-cosZADB,

在，AOC中，由余弦定理得：b2=(^)2+(2A/3)2-2-243--cosZADC,

2

因为cosZAD8=-cosZADC,+c2=—+24@,

2

由①②③，得a=8,。？+/=56,0c=8,

所以b+c=js+c)2=1。2+©2+»0=用=6&,

所以.ABC的周长a+i>+c=8+6夜•

14.(1)见解析

(2)见解析

(分析】(1)取A8的中点为K,连接MK,NK,可证平面MKNH平面BCC4,从而可证MNH

平面8CG4.

(2)选①②均可证明平面ABC,从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间

向量可求线面角的正弦值.

(1)

取AB的中点为K,连接”K,NK,

答案第10页，共57页

由三棱柱ABC-ABC可得四边形48四4为平行四边形，

而用M=M4,,8K=K4,则MKHBB、,

而MKO平面BCG耳，B81U平面BCG耳，故MK