新冀教版八年级上册初中数学1 4 . 3 实数

14.3实数

第1课时有理数、无理数和实数

【教学目标】

1.说出无理数和实数的概念，能正确识别无理数.

2.通过实际问题，认识到数的扩充的必要性.

3.经历从有理数逐步扩充到实数，体会人类对数的认识是不断发展的，体验数学的发展源于

生活实际，又作用于生活实际.

【重点难点】

重点：了解无理数和实数的概念.

难点：对无理数的认识.

I教学过程设计I

教学过程设计意图

一、创设情境，导入新课

1.在纸上画一个直角三角形ABC,使得两条直角边AC=BC=2；

2.作斜边48上的高必；

3.沿切剪开，将两部分拼成一个正方形.

做好后思考，正方形的面积是多少，边长是多少？

学生：自己动手操作，利用面积公式与开平方法计算正方形的

面积与边长.

二、师生互动，探究新知

1.、也是整数吗？对于整数一3,-2,-1,0,1,2,3,它们的平方

分别等于什么？结果是怎样的数？有平方后等于2的整数吗？

2.也是分数吗?对于分数一1,——＜，弓，它们的

平方分别等于什么？结果是怎样的数？有平方后等于2的分数引导学生认识有理数可以

吗？

化成有限小数或无限循环

.正是有理数吗？

3小数的形式，使学生类比

4.借助计算器，算一算啦等于多少.有理数的特点，总结出无

学生活动：小组讨论，共同探究，回答问题.理数的概念.

1.整数的平方是整数.没有平方后等于2的整数.

2.分数的平方是分数，没有平方后等于2的分数.

3.平方等于2的数不是有理数，从而知道小不是以前熟悉的有

理数.

4.通过计算器算得：/=1.414213562…是一个无限不循环

小数.

思考：你还能举出我们熟悉的无限不循环小数吗？

学生回答：n,小,小，乖,书...

想一想：让学生认识无理数是无限

(1)什么叫做有理数？不循环小数，理解它的概

(2)任何分数都可以写成小数吗？(举例说明)念.

学生举例说明.

让学生把一1而-3T7,高3一本1京2区7化成小数，并观察其

特点.

学生总结：任意一个分数都可以写成有限小数或无限循环小数

的形式.

思考：小数中除了有限小数和无限循环小数之外还包括什么样

的小数？

学生思考后回答.

教师总结：我们把无限不循环小数叫做无理数.

例如,#=1.73205-,乖=2.23606-,m=2.449

尽可能多地让学生举例，

48-,般=1.25992…等.掌握无理数的特点.

巩固所学知识，提高学生

让学生举一些无理数的例子并加以说明.

的判断能力.

请同学们判断以下说法是否正确：

(1)有理数都是有限小数;(2)0.101001000…是无理数；

(3)无理数都是小数；(4)带根号的数都是无理数.

答：(1)错.有理数是有限小数或无限循环小数.

(2)正确.0.101001000…这个小数看似循环实际不循环,这样

的小数也是无理数.

引导学生明确不一定带根

(3)正确.通过无理数的定义可以进行判断.

号的数都是无理数，无理

(4)错.带根号的数不一定是无理数，如重,汨.

数和有理数一样也有正负

之分.

教师指出：像牛，木,n……这些都是正无理数.像一正，-

了解数的扩展和实数的意

折，-n……这些都是负无理数.

义，提高学生对实数的理

学生举一些正无理数和负无理数的例子.

解.

现在我们不仅学过了有理数，而且又定义了无理数，显然我们

所学的数的范围又扩大了，我们把有理数和无理数统称实数，

这是我们今天学习的又一新的概念.

三、运用新知，解决问题强化训练，巩固所学知

教材71页“练习”.识，进一步掌握无理数的

让学生独立完成，有困难的进行小组讨论交流.意义.

四、课堂小结，提炼观点

锻炼学生的归纳能力.

指导学生总结本节的知识点，让学生畅所欲言，互相补充.

五、布置作业，巩固提升

1.教材71页“习题”A组.

2.教材72页“习题”B组.

【板书设计】

有理数、无理数和实数

一、无理数的定义

无限不循环小数叫做无理数.

二、实数的定义

有理数和无理数统称实数.

【教学反思】

有理数可以化成有限小数和无限循环小数.在无限小数中，无限不循环的小数是无理数.在教

学中教师充分地让学生进行类比感知它们的区别和联系，加深对无理数的理解和掌握，同时

学生发挥探究的能力，自己归纳出无理数的概念，有利于学生对知识的理解和掌握.另外，

在整个教学过程中，教师要适时、适量地补充习题，进行有针对性的训练，以提高学生的能

力和对知识的掌握.

第2课时实数的计算和分类

【教学目标】

1.知道实数与数轴上的点具有一一对应关系.

2.能正确对实数进行分类.

3.能求出实数的绝对值、相反数、倒数.

4.通过在数轴上画出表示Jt和也的点，理解实数和数轴上的点一一对应，体会数形结合的

思想.

【重点难点】

重点：实数的分类.

难点：实数与数轴上的点一一对应.

I教学过程设计I

教学过程设计意图

一、创设情境，导入新课

投影显示下面一组对话：

以对话形式引入，

小明说：“有理数和数轴上的点是一一对应的."

吸引学生注意力，

小丽说：“你说的不对，应是实数和数轴上的点是一一对应的."

提高学生的学习兴

同学们，两人到底谁说得对呢？我相信，当你认真学完本节后，答案

趣.

自然能见分晓.

点评：以两人对话的形式引入本节课题，易提高同学们的学习兴趣.

二、师生互动，探究新知通过探究过程得出

生：我们设想直径为1个单位长度的圆的周长就是无理数也可以在数

OGOO轴上表示出来，激

01230'发学生的学习兴趣

若让这个圆从原点沿数轴向右滚动1周，圆上的一点就由原点到和主动性.

0',00'的长度就是JI,则0'的坐标就是H.

因此得出这样的结论：无理数又可以用数轴上的点表示出来.

师：非常好！用这种方法我们还可以在数轴上找到与加有关的无理

数所对应的点.

点评：让学生自己设计方案，寻求问题的答案.

师：那么，是否可以在数轴上找出与土电对应的点呢？

以单位长度1为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线

为半径画弧，与正半轴的交点就表示明，与负半轴的交点就表示一

乖.

,嗜/

哼

1

-2-1012,

师：事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，数轴

上的点有些表示有理数，有些表示无理数.因此，我们可以猜想一

下，数轴上的点与实数的关系是什么？

生：实数包括有理数和无理数，任何一个有理数都可以用数轴上的一

个点来表示，任何一个无理数也都可以用数轴上的一个点来表示.数

轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，总之，数轴上的点表示

实数.

师：你们总结得非常好！当数的范围从有理数扩充到实数以后，实数

与数轴上的点就一一对应了，即每一个实数都可以用数轴上的一个点

来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.

在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和在有理数范围内的相

反数、绝对值、倒数的意义是一样的.

出示教材74页“大家谈谈”，学生合作完成.

师：出示：啦的相反数是________,172=________，2的倒数是

-"的相反数是_______,-n|=_________,n的倒数是

。的相反数是________,lol-____.

生独立完成，并归纳总结出如何求一个实数的相反数，以及如何求一

个实数的绝对值和倒数.

(1)当a为实数时，a的相反数为一a；

(2)当a为大于0的实数时，|a|=a；

(3)当a为小于0的实数时，|a|=-a；

⑷当a=O时，a=0；

(5)当a#0时，a的倒数是2

a

有理数、无理数统称为实数，你能把我们学过的数进行一下分类吗？

生1:

件整数

整数＜0

…有理数I负整数

实数4

'J正分散

1负分数

无理数

生2：

强调概念的实际背

景，帮助学生进一

步理解概念，改变

［正彳j理数机械记忆概念的学

行理数《0

习习惯.

实数《1负有理数

无理数

生3：无3里数也像有理数一样，分为正无理数和负无理数，*是正无

理数，一也是负无理数，因此我们将这一组的分类完善为：

［正有理数

一理数《0

彳1

1负有理数

实物

J正无理数

1负无理数

实数的分类不仅是列出的这两种，还有其他的分类方法，由学生课下

完成，课堂学习引申到课外学习.

三、运用新知，解决问题

教材74页“练习”.

四、课堂小结，提炼观点

1.今天的探究学习，你们有哪些收获？

2.根据你们对有理数、无理数、实数的理解，你们认为实数还可以怎

样分类？

3.实数的相反数：若a表示一个正实数，那么一a表示一个负实数；a

与一a互为相反数，0的相反数为0.

4.实数的绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对

值是它的相反数；0的绝对值是0.

5.实数的倒数：非零实数a的倒数是上

a

五、布置作业，巩固提升

教材75页“习题”A组、B组.

【板书设计】2.按正负分:

实数的计算和分类［示/刈蚪J正整数

实数的分类：1正数，1正分数

1.按定义分：正无理数

1正整数实数（0

产数伟益负整数

负有理数八*

有理数1负整数1负数，1负分数

11正分数负无理数

实叫"丐负分数

/正无理数

（无理数Q

1负尢理数

第3课时实数的大小比较

【教学目标】

1.会用有理数估计一下无理数的大致范围.

2.能够对实数进行大小比较，提高逻辑思维能力和运算能力.

3.让学生在实数的大小比较中，体会知识的迁移、类比和扩展.

4.通过师生活动，学生自我探究，让学生充分参与到学习过程中来.

【重点难点】

重点：实数的大小比较.

难点：两个无理数的大小比较.

I教学过程设计|

教学过程设计意图

一、复习导入新知

想一想：两个有理数怎样比较大小？复习回顾比较有理数

有理数可以利用数轴进行比较，在数轴上右边的数总比左边的数大小的方法，进而引

大；还可以利用正数大于零，负数小于零，正数大于负数，对于两出问题怎么比较实数

个正数绝对值大的那个数大，对于两个负数绝对值大的反而小，这的大小，激发学生的

些规律进行比较.现在有理数扩展到了实数，那么怎样比较两个实学习兴趣.

数的大小呢？

二、师生互动，探究新知经历比较无理数的大

互动一：小，总结出比较实数

由两个正方形的面积（3和2）的大小，能不能得到它们的边长（水和大小的方法，提高学

[5）的大小？生学习的主动性和参

让学生在数轴上表示出小和4，展示作法，很容易得到与性，活跃课堂教

学

观察数轴上水,作这两点的位置，回答：

（1）/和4都位于哪两个整数之间？

（2）在整数1和2之间的无理数有多少？

说明：让学生通过观察明确任何一个无理数都在两个相邻的整数之

间，便于对两个实数的大小进行比较.

任意拿两个面积分别为a和6（a＞力的正方形，摆放在数轴上，它们

的边长F和、/有怎样的大小关系？（5＞的）

教师强调：一般地，两个正数a和6,如果给心那么JaX/l；反

过来，如果爪＞或，那么a＞b.同样的，在数轴上的两个点，右边的

数总比左边的数大.

说明：两个正数可以用数轴来进行大小比较，从而扩展到任意两个

实数的大小比较，即两个负实数、有理数和无理数等.

互动二：

在数轴上表示出一工,y[2,3,乖,0,乖,~y[s,一乖各点的

位置，将各数用按从小到大的顺序排列起来.

教师对土乖、一乖的表示要做适当的指导.

让学生思考：两个实数的比较，除了利用数轴比较之外，还有没有

其他的方法呢？

互动三：

例1（教材76页例1）比较下列各组数中两个数的大小：

（1）2（和巾；（2）一亚和一汽.

先回忆（、八）2（a—0）的结果是多少？—（