安徽省合肥市张家集中学高三数学理月考试题含解析

安徽省合肥市张家集中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，则等于（

）A．0

B.1

C.

D.参考答案：A2.设向量，若，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略3.函数，的反函数（

）

（A）

，1]

（B）

，1]

（C）

，1]

（D）

，1]参考答案：答案：D4.设函数f（x）满足2x2f（x）+x3f′（x）=ex，f（2）=，则x∈[2，+∞）时，f（x）（）A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值参考答案：B【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】推出f'（x）的表达式，当x=2时，f（2）=，构造辅助函数，求导，由g′（x）≥0在x∈[2，+∞）恒成立，则g（x）在x=2处取最小值，即可求得f（x）在[2，+∞）单调递增，即可求得f（x）的最小值．【解答】解：由2x2f（x）+x3f'（x）=ex，当x＞0时，故此等式可化为：f'（x）=，且当x=2时，f（2）=，f'（2）==0，令g（x）=e2﹣2x2f（x），g（2）=0，求导g′（x）=e2﹣2[x2f′（x）+2xf（x）]=e2﹣=（x﹣2），当x∈[2，+∞）时，g′（x）＞0，则g（x）在x∈[2，+∞）上单调递增，g（z）的最小值为g（2）=0，则f'（x）≥0恒成立，∴f（x）的最小值f（2）=，故选：B．5.若命题“”为假命题，则实数m的取值范围是A. B. C. D.参考答案：A略6.已知函数，命题p：，，若p为假命题，则实数a的取值范围是（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】为假命题，即不存在，使，根据这个条件得出实数的取值范围.【详解】解：因为为假命题，所以为真命题，即不存在，使，故，且解得：或，故选C.【点睛】本题考查了命题的否定，解题的关键是要将假命题转化为真命题，从而来解决问题.7.曲线y=在点（1，－1）处的切线方程为

（A）y=x－2

(B)y=－3x+2

(C)y=2x－3

(D)y=－2x+1参考答案：D略8.已知向量，，若，则的值为（

）A．

B．1

C．

D．参考答案：D试题分析：由于，因此，得，故答案为D．考点：平面向量垂直的应用．9.＝(

)A.5

B.10

C.1

D.2参考答案：C10.集合

A．{0，1，2}

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.执行如图所示的程序库框图，输出的S是

.参考答案：-612.将的图像向右平移2个单位后得曲线，将函数的图像向下平移2个单位后得曲线，与关于轴对称，若的最小值为，且，则实数的取值范围为

.参考答案：13.函数.给出函数下列性质：⑴函数的定义域和值域均为；⑵函数的图像关于原点成中心对称；⑶函数在定义域上单调递增；⑷（其中为函数的定义域）；⑸、为函数图象上任意不同两点，则.请写出所有关于函数性质正确描述的序号

参考答案：⑵⑷14.的展开式中的系数等于8，则实数_________．参考答案：中含的一项为，令，则，即．15.若函数f（x）=+为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围为．参考答案：a＞1【考点】函数奇偶性的性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用函数f（x）=+为偶函数且非奇函数，结合函数的定义域，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=+为偶函数且非奇函数，∴f（﹣x）=f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），又，∴a≥1．a=1，函数f（x）=+为偶函数且奇函数，故答案为：a＞1．【点评】本题考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16.如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第1层），第2层每边有两个点，第3层每边有三个点，依次类推．试问第层的点数为___________个；如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有___________层．参考答案：(1)

(2)略17.已知tan（+α）=，α∈（，π），则tanα的值是；cosα的值是．参考答案：﹣；﹣。考点： 两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．专题： 三角函数的求值．分析： 利用两角和与差的正切函数及任意角的三角函数的定义，即可求得tanα与cosα的值．解答： 解：tan（+α）=，∴tanα=tan[（+α）﹣]===﹣；又α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣．故答案为：；．点评： 本题考查两角和与差的正切函数及任意角的三角函数的定义，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥中，，，是等边三角形，，，.（Ⅰ）求的长度；（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值参考答案：（I）取中点F，连，∵是等边三角形，∴

……2分又∵∴平面，∵平面，∴………4分∴…………6分

（II）∵AD⊥平面PFB，AD?平面APD∴平面PFB⊥平面APD…………………8分作BG⊥PF交PF为G，则BG⊥平面APD，AD、BC交于H，∠BHG为直线与平面所成的角

…………10分由题意得PF=BF=

又∵BP=3∴∠GFB=30°，BG=，

……12分∵，∴CD=1，∴∴

……15分19.已知函数R．（1）若，①当时，求函数f(x)的极值（用a表示）；②若f(x)有三个相异零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）函数f(x)图象上点A处的切线与f(x)的图象相交于另一点B，在点B处的切线为，直线的斜率分别为，且，求a，b满足的关系式．参考答案：解：（1）①由及，得，

令，解得或.由知，，单调递增，，单调递减，，单调递增，因此，的极大值为，的极小值为.②当时，，此时不存在三个相异零点；当时，与①同理可得的极小值为，的极大值为.要使有三个不同零点，则必须有，即.

不妨设的三个零点为，且，则，，

①，②，③②-①得，因为，所以，

④同理，

⑤⑤-④得，因为，所以，

又，所以.

所以，即，即，因此，存在这样实数满足条件.

（2）设A（m，f(m)）,B(n，f(n))，则，，又，由此可得，化简得，因此，，

所以，，所以.

20.（本小题满分10分）

已知曲线（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标为。（1）把的参数方程化为极坐标方程；（2）求与交点的极坐标。参考答案：21.（本小题满分12分）在直三棱柱（侧棱垂直底面）中，，，且异面直线与所成的角等于．（Ⅰ）求棱柱的高；（Ⅱ）求与平面所成的角的大小．参考答案：（Ⅰ）由三棱柱是直三棱柱可知，即为其高.如图，因为∥，所以是异面直线与所成的角或其补角.连接，因为，所以.在Rt△中，由，，可得.……………3分又异面直线与所成的角为，所以，即△为正三角形.于是.在Rt△中，由，得，即棱柱的高为.……6分（Ⅱ）连结，设，由（Ⅰ）知，，所以矩形是正方形，所以.

又由得，于是得平面.故就是与平面所成的角.

…………9分在Rt△中，由，，可得.在Rt△中，由，，得，故.因此与平面所成的角.…………

12分略22.已知函数f（x）=x3+bx2+cx（b，c∈R）的图象在点x=1处的切线方程为6x﹣2y﹣1=0，f′（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）设g（x）=aex（a∈R）（e=2.71828…是自然对数的底数），若存在x0∈[0，2]，使g（x0）=f′（x0）成立，求a的取值范围．参考答案：考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由f′（x）=3x2+2bx+c，知f（x）在x=1处的切线方程为y=（3+2b+c）x﹣2﹣b，故，由此能求出f（x）．（Ⅱ）若存在x0∈（0，2]使g（x0）=f′（x0）成立，即方程g（x）=f′（x）在（0，2]上有解，故a=，令h（x）=，则h′（x）=，由此能求出a的取值范围．解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x2+2bx+c，∴f（x）在x=1处的切线方程为y﹣（1+b+c）=（3+2b+c）（x﹣1），即y=（3+2b+c）x﹣2﹣b，∴，即b=﹣，c=3．（Ⅱ）若存在x0∈（0，2]使g（x0）=f′（x0）成立，即方程g（x）=f′（x）在（0，2]上有解，∴a?ex=3x2﹣3x+3，∴a=，令h（x