湖北省宜昌市葛洲坝明珠中学高三数学理期末试卷含解析

湖北省宜昌市葛洲坝明珠中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量，，若，则的值为（

）

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C【知识点】数量积的定义因为,得

故答案为：C2.设函数f（x）=ex+sinx，g（x）=x﹣2，设P（x1，f（x1）），Q（x2，g（x2））（x1≥0，x2＞0），若直线PQ∥x轴，则P，Q两点间最短距离为(

) A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；点到直线的距离公式．专题：导数的概念及应用．分析：求出导函数f′（x），根据题意可知f（x1）=g（x2），令h（x）=ex+sinx﹣x+2（x≥0），求出其导函数，进而求得h（x）的最小值即为P、Q两点间的最短距离．解答： 解：x≥0时，f'（x）=ex+cosx≥1+cosx≥0，∴函数y=f（x）在[0，+∞）上单调递增，∵f（x1）=g（x2），所以+sinx1=x2﹣2，∴P，Q两点间的距离等于|x2﹣x1|=||，设h（x）=ex+sinx﹣x+2（x≥0），则h'（x）=ex+cosx﹣1（x≥0），记l（x）=h'（x）=ex+cosx﹣1（x≥0），则l'（x）=ex﹣sinx≥1﹣sinx≥0，∴h'（x）≥h'（0）=1＞0，∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（0）=3，∴|x2﹣x1|≥3，即P，Q两点间的最短距离等于3．故选：B．点评：本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3.设α，β是两个不同的平面，m是一条直线，给出下列命题：①若m⊥α，m?β，则α⊥β；②若m∥α，α⊥β，则m⊥β．则（）A．①②都是假命题 B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是真命题参考答案：B【分析】由面面垂直的判定①为真命题；若m∥α，α⊥β，m与β不垂直，【解答】解：由面面垂直的判定，可知若m⊥α，m?β，则α⊥β，故①为真命题；如图m∥α，α⊥β，m与β不垂直，故②是假命题．故选：B．【点评】考查直线与平面、面与面的位置关系，解决此题问题，可以把图形放入长方体中分析，体现了数形结合的思想，属于中档题．4.设函数f（x）=在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f（x）的值不小于常数e的概率是（）A． B．1﹣ C． D．参考答案：B【考点】CF：几何概型．【分析】1≤x≤e，e≤f（x）≤1+e，以长度为测度，即可求出概率．【解答】解：由题意，0≤x＜1，f（x）＜e，1≤x≤e，e≤f（x）≤1+e，∵f（x）的值不小于常数e，∴1≤x≤e，∴所求概率为=1﹣，故选B．【点评】本题考查概率的计算，考查分段函数，确定以长度为测度是关键．5.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）．

．

．

．参考答案：A由三视图知，原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥其中正方体的棱为2，正四棱锥的底面边长为正方体的上底面，高为1.∴原几何体的体积为,选A.6.设，且为正实数，则 A.2

B.1

C.0

D.参考答案：D7.如图，在三棱锥中,两两互相垂直，且,设是底面三角形内一动点，定义：，其中分别表示三棱锥的体积，若，且恒成立，则正实数的最小值是（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C略8.下列命题中的真命题是 （

）

A．对于实数、b、c，若，则B．x2＞1是x＞1的充分而不必要条件C．，使得成立D．，成立参考答案：C9.下列命题：①“”是“存在，使得成立”的充分条件；②“”是“存在，使得成立”的必要条件；③“”是“不等式对一切恒成立”的充要条件.其中所以真命题的序号是（

）A．③

B.②③

C.①②

D.①③参考答案：B10.“成等差数列”是“”成立的

（

）A．充分非必要条件；B.必要非充分条件；C.充要条件

D.既非充分也非必要条件参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.达喀尔拉力赛（TheParisDakarRally)被称为世界上最严酷、最富有冒险精神的赛车运动，受到全球五亿人以上的热切关注.在如图所示的平面四边形中，现有一辆比赛用车从地以的速度向地直线行驶，其中，,.行驶1小时后，由于受到沙尘暴的影响，该车决定立即向地直线行驶，则此时该车与地的距离是

．(用含的式子表示）参考答案：12.已知复数（i为虚数单位），则z的模为___________．参考答案：1，所以.

13.将边长为1米的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则的最小值是________．参考答案：略14.《九章算术》卷第五《商功》中，有“假令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺：下底面宽3尺，长4尺，高1尺（如图，刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体）”．若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的表面积为

．参考答案：由已知得球心在几何体的外部，设球心天几何体下底面的距离为，则，解得，，该球体的表面积．15.已知等差数列的前n项和为，且．数列的前n项和为，且，．（Ⅰ）求数列,的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．参考答案：解：（Ⅰ）由题意，，得．

…………3分

，，，两式相减，得数列为等比数列，．

…………7分（Ⅱ）．

……………8分

……………13分

略16.已知为正实数，函数在上的最大值为，则在上的最小值为

．参考答案：略17.学校拟安排六位老师至5月1日至5月3日值班，要求每人值班一天，每天安排两人，若六位老师中王老师不能值5月2日，李老师不能值5月3日的班，则满足此要求的概率为

．参考答案：【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】六位老师值班每天两人的排法有种，求出满足要求的排法有42种，即可求出概率．【解答】解：六位老师值班每天两人的排法有种，满足要求的排法有：第一种情况，王老师和李老师在同一天值班，则只能排在5月1号，有种；第二种情况，王老师和李老师不在同一天值班，有种，故共有42种．因此满足此要求的概率．故答案为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)＝－x＋log2，求f()＋f(－)的值．参考答案：f(x)的定义域为(－1,1)，∵f(－x)＝－(－x)＋log2＝－(－x＋log2)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，∴f()＋f(－＝0.19.

设函数，其中.

（1)若在处取得极值，求常数的值；

（2）设集合，，若元素中有唯一的整数，求的取值范围.

参考答案：略20.设a＞0，a≠1为常数，函数f(x)＝loga．(1)讨论函数f(x)在区间(－∞，－5)内的单调性，并给予证明；(2)设g(x)＝1＋loga(x－3)，如果方程f(x)＝g(x)有实根，求实数a的取值范围．参考答案：(1)设x1＜x2＜－5，则－＝·10·(x2－x1)＞0.若a＞1，则f(x2)－f(x1)＞0.∴f(x2)＞f(x1)，此时f(x)在(－∞，－5)内是增函数；若0＜a＜1，则f(x2)－f(x1)＜0，∴f(x2)＜f(x1)，此时f(x)在(－∞，－5)内是减函数．(2)由g(x)＝1＋loga(x－3)及f(x)＝g(x)得1＋loga(x－3)＝loga?a＝．由?x＞5.令h(x)＝，则h(x)＞0.由＝＝(x－5)＋＋12≥4＋12，当且仅当?x＝5＋2时等号成立．∴0＜h(x)≤．故所求a的取值范围是0＜a≤．21.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如表：试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？资金单位产品所需资金（百元）空调机洗衣机月资金供应量（百元）成本3020300劳动力（工资）510110单位利润68

参考答案：【考点】简单线性规划的应用．【分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．【解答】解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P，则P=6x+8y，由题意有30x+20y≤300，5x+10y≤110，x≥0，y≥0，x、y均为整数．由图知直线y=﹣x+P过M（4，9）时，纵截距最大．这时P也取最大值Pmax=6×4+8×9=96（百元）．故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元．22.本小题满分14分）已知，设函数．（Ⅰ）若在(0,2)上无极值，求t的值；（Ⅱ）若存在，使得是在[0,2]上的最大值，求t的取值范围；（Ⅲ）若为自然对数的底数)对任意恒成立时m的最大值为1，求t的取值范围．参考答案：（Ⅰ）1;（Ⅱ）（Ⅲ）【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性解析：（Ⅰ），又在(0,2)无极值

…………3分（Ⅱ）①当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，由得：在时无解②当时，不合题意；③当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，即④当时，在单调递增，在单调递减，满足条件综上所述：时，存在，使得是在[0,2]上的最大值.

…8分（Ⅲ）若对任意恒成立，即对