湖南省常德市农场联校高三数学理上学期摸底试题含解析

湖南省常德市农场联校高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知随机变量服从正态分布,则A．0．21

B．0．58

C．0．42

D．0．29参考答案：D2.已知变量满足：的最大值为A. B.1C. D.4参考答案：D3.如果a=（1，x），b=（-1，3），且（2a+b）∥（a－2b），则x=（

）A．-3

B．3 C．-

D．参考答案：A4.已知等比数列各项都为正数，且为与的等差中项，则（

）A．27

B．21C．14

D．以上都不对参考答案：C试题分析：由题意得，选C.考点：等比数列性质5.分别是的中线，若，且与的夹角为，则=（

）（A）

(B)

(C)

(D)参考答案：C由解得.6.已知x，y满足，则3x+4y的最小值为（）A．5 B．6 C．8 D．11参考答案：C【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（0，2），令z=3x+4y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为8．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7.过点A（2,1）作曲线f(x)=x-x的切线的条数最多是（

）A.3

B.2

C.1

D.0参考答案：A设切点为，，所以切线方程为，把点A（2,1）代入得：，整理得：，即，次方程有三个解，所以过点A（2,1）作曲线f(x)=x-x的切线的条数最多是三条。8.在边长为4的正方形ABCD内任取一点M，则∠AMB＞90°的概率为（）A．B．1﹣C．D．1﹣参考答案：A考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：画出满足条件的图形，结合图形分析，找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积．解答：解：如图正方形的边长为4：图中白色区域是以AB为直径的半圆当P落在半圆内时，∠APB＞90°；当P落在半圆上时，∠APB=90°；当P落在半圆外时，∠APB＜90°；故使∠AMB＞90°的概率P===．故选：A．点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．9.（5分）若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（） A． B． C． D． 参考答案：B考点： 直线的斜率．专题： 计算题．分析： 根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，根据tan120°利用诱导公式及特殊角的三角函数值得到直线l的斜率即可．解答： 因为直线的斜率等于直线倾斜角的正切值，所以直线l的斜率k=tan120°=tan（180°﹣60°）=﹣tan60°=﹣．故选B点评： 此题比较简单，要求学生掌握直线的斜率等于直线倾斜角的正切值，以及灵活运用诱导公式及特殊角的三角函数值进行化简求值．10.(文)如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为．A.

B.

C．4

D．8参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量，，若向量与垂直，则m=

．参考答案：112.我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是． 参考答案：195【考点】进行简单的合情推理． 【分析】由题意，给每个人的钱数组成首项为3，公差为1的等差数列，由此求出等差数列的前n项和，列出方程求解． 【解答】解：设共有n人，根据题意得； 3n+=100n， 解得n=195； ∴一共有195人． 故答案为：195． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和的应用问题，也考查了方程思想的应用问题，是基础题目． 13.已知向量，且∥，则实数的值是

。参考答案：易知：，因为∥，所以。14.已知为直线的倾斜角，，则_______________.参考答案：15.已知函数若实数m，则函数有（

）个零点.参考答案：3略16.已知为锐角，为钝角，，，则的值为

.参考答案：17.已知△ABC中，3sin2B+7sin2C=2sinAsinBsinC+2sin2A，则sin（A+）=．参考答案：﹣【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】3sin2B+7sin2C=2sinAsinBsinC+2sin2A，由正弦定理可得：3b2+7c2=2bcsinA+2a2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，化为：2（sinA﹣2cosA）==+，再利用基本不等式的性质即可得【解答】解：3sin2B+7sin2C=2sinAsinBsinC+2sin2A，由正弦定理可得：3b2+7c2=2bcsinA+2a2，∴a2=，又a2=b2+c2﹣2bccosA，∴=b2+c2﹣2bccosA，化为：2（sinA﹣2cosA）==+≥2=2，当且仅当b=c时取等号．即2sin（A﹣θ）≥2，其中tanθ=2，sinθ=，cosθ=．即sin（A﹣θ）≥1，又sin（A﹣θ）≤1，∴sin（A﹣θ）=1．∴A﹣θ=+2kπ，即A=θ++2kπ，k∈N*．∴sin（A+）==cos==×=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数（1）求函数极值；（2）当恒成立，求实数a的取值范围.参考答案：（1）f极大=f(—1)=—4.

f极小=f(—)=；（2）a的范围为本题考查利用导数研究函数的极值以及由函数恒成立的问题求参数的取值范围，求解本题关键是记忆好求导的公式以及极值的定义，对于函数的恒成立的问题求参数，要注意正确转化，恰当的转化可以大大降低解题难度．（Ⅰ）先求出函数的导数，再令导数大于0求出单调增区间，导数小于0求出函数的减区间，再由极值的定义判断出极值即可；（2）设F(x)=f(x)—g(x)=x3+(2—a)x2+4利用不等式恒成立构造新函数，求解函数的最值得到结论。解：（1）∵f(x)=x3+2x2+x-—4∴=3x2+4x+1，…………2分令=0，得x1=—1,x2=—.

x（－∞,－1）－1（－1,－）－（－,+∞）+0—0+极大极小∴f极大=f(—1)=—4.

f极小=f(—)=…………6分（2）设F(x)=f(x)—g(x)=x3+(2—a)x2+4

解得a≤5

∴2<a≤5………10分，当x=0时，F(x)=4∴a的范围为…………1４分19.+为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）.

（Ⅰ）求；（Ⅱ）若从抽取的人中选2人作专题发言，（i）列出所有可能的抽取结果；（ii）求这二人都来自高校C的概率．参考答案：（Ⅰ）由题意知，，所以.（Ⅱ）（i）记抽取的人为，，，则从抽取的人中选2人作专题发言所有可能的抽取结果是：共15种（ii）“这二人都来自高校C”记为事件，其包含的所有可能结果是，共3种，所以，

略20.已知函数f（x）=的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足+=n时，求7a+4b的最小值．参考答案：考点：基本不等式；函数的定义域及其求法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x﹣3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出．解答： 解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x﹣3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3）|=4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4．（2）由（1）知n=4，∴7a+4b===，当且仅当a+2b=3a+b，即b=2a=时取等号．∴7a+4b的最小值为．点评：本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.

如图，已知半椭圆C1：的离心率为，曲线C2是以半椭圆C1的短轴为直径的圆在y轴右侧的部分，点P(x0，y0)是曲线C2上的任意一点，过点P且与曲线C2相切的直线与半椭圆C1交于不同点A，B．

(I)求a的值及直线l的方程(用x0，y0表示)；

(Ⅱ)△OAB的面积是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．参考答案：解：（I）半椭圆的离心率为，,

………………2分

设为直线上任意一点，则，即

，

……………4分

又，

………6分（II）①当P点不为（1,0）时，，得，

即

设，

……8分==

…………9分=

……10分

………………11分②当P点为（1,0）时，此时，.

…………………12分综上，由①②可得，面积的最大值为.

…………13分略22.（12分）已知曲线C：y.(1)求函数f(x)(a≠0)的单调递增区间;(2)若曲线C在点(3,f(3))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积大于18，求实数a的取值范围.

参考答案：解析：（1）∵f(x),∴.

………1分①当a<0时,>0,∴f(x)在R上是增函数；…………………3分②当a>0时,由>0,得

………………5分∴f(x)在上是增函数，……