2024年九省联考高考数学卷试题真题答案详解（精校打印）

2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试(九省联考)数学试题].答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本数据16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位数为()A.14B.16C.18D.20A.B.√2C.√3A.120B.140C.160D.1804.设a,β是两个平面，m,l是两条直线，则下列命题为真命题的是()A.若α⊥β,m//a,l//β,则m⊥lB.若ma,lCβ,m//l,则a//βC.若α∩β=m,l//a,l//β,则m//l5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有()8.设双曲线的左、右焦点分别为F,F2,过坐标原点的直线与C交于A.√2B.2C.√5D.√7二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得09.已知函数则()A.函数为偶函数10.已知复数z,w均不为0,则()A.z²=|z²B.C.z-w=Z-WD.A.C.函数是偶函数D.函数是减函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 13.已知轴截面为正三角形的圆锥MM'的高与球O的直径相等，则圆锥MM'的体积与球O的体积的比值是,圆锥MM'的表面积与球Q的表面积的比值是.max{b-a,c-b,1-c}的最小值为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个，随机一次取出3个小球.(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；17.如图，平行六面体ABCD-AB₁CD₁中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD(2)求二面角B-AA₁-D的正弦值.18.已知抛物线C:y²=4x的焦点为F,过F的直线l交C于A,B两点，过F与l垂直的直线交C于D,E两点，其中B,D在x轴上方，M,N分别为AB,DE的中点.(1)证明：直线MN过定点；(2)设G为直线AE与直线BD的交点，求。GMN面积的最小值.19.离散对数在密码学中有重要的应用.设p是素数，集合X={1,2,…,p-1},若记为n=log(p)。b.x=y₂×y;(p-2).【分析】由中位数定义即可得.【详解】将这些数据从小到大排列可得：10,12,14,14,16,20,24,30,40,则其中位数为16.2.A【分析】由椭圆的离心率公式即可求解.【详解】由题意;【分析】利用下标和性质先求出a₅+q₂的值，然后根据前n项和公式结合下标和性质求解出S₁₆的值.【详解】因为a₃+a₇=2a₅=6,所以a₃=3,所以a₃+q₁₂=3+17=20,所以4.C【分析】由线面平行性质判断真命题，举反例判定假命题即可.【详解】对于A,m,l可能平行，相交或异面，故A错误，对于B,a,β可能相交或平行，故B错误，对于D,a,β可能相交或平行，故D错误，由线面平行性质得C正确，【分析】分类讨论：乙丙及中间2人占据首四位、乙丙及中间2人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理求得结果.【详解】因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位，①当乙丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，排乙丙有A2种方法，排甲有A!种方法，剩余两个位置两人全排列有A2种排法，所以有A2×A₂×A2=8种方法；②当乙丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，答案第1页，共15页由分类加法计数原理可知，一共有8+8=16种排法，【分析】根据正弦、余弦、正切二倍角公式，将齐次化即可得出答案.【详解】由题,,答案第2页，共15页∠F₂BF,结合余弦定理表示出与a、c有关齐次式即可得离心率.贝,即,故,则有9.AC【分析】利用辅助角公式化简再根据三角函数的性质逐项判断即可.答案第3页，共15页对于A,易知为偶函数，所以A正确；对于C,,y=sin2x单调递减，则,故D错误；【分析】设出z=a+bi、w=c+di,结合复数的运算、共轭复数定义及复数的模的性质逐个计算即可得.对C:z-w=a+bi-c-di=a-c+(b-d)i,则z-w=a-c-(b-d)i,Z=a-bi,W=c-di,则Z-W=a-bi-c+di=a-c-(b-d)i,即有z-w=Z-W,故C正确；,故D正确.,答案第4页，共15页即有即有、y=0,,代入、y=0,,代入、可得即可得函数及函数函数的计算即可得；对B、C、D:令可得即可得函数及函数函数的性质，代入x=1,即可得令令,、,故A正确；,是奇函数，即即函数是减函数，值，得到再得到【分析】由A∩B=A可得A∈B,解出集合B后结合集合的关系计算即可得.【详解】由A∩B=A,故AB,答案第5页，共15页即m的最小值为5.故答案为：5.【分析】设圆锥的底面圆半径r以及球的半径R,用r表示出圆锥的高h和母线1以及球的半径R,然后根据体积公式求出体积比，根据表面积公式求得表面积之比.【详解】设圆锥的底面半径为r,球的半径为R,由题可知：h=2R,所以球的半径所以圆锥的体积圆锥的表面积S₁=πrl+πr²=3πr²,进而根据不等式的性质，分情况讨论求解.进而根据不等式的性质，分情况讨论求解.【详解】令答案第6页，共15页因此,若a+b≤1,则1-n-p+1-m-n-p≤1,即m+2n+2p≥1,时等号成立，时可满足等号成立，;【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法，在b≥2a和a+b≤1前提下进行合理分类讨论，根据题意得(2)单调递增区间,单调递减区间极大值极小值0【分析】(1)结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得；(2)借助导数可讨论单调性，即可得极值.【详解】(1),贝由题意可得解得a=-3;答案第7页，共15页,(2)先确定X的可取值为1,2,3,然后计算出不同取值的概率，注意X的每种取值对应两种情况，由此可当X=1时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球，所以当X=3时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球，所以所以X的分布列为：答案第8页，共15页②②X123P2-717.(1)证明见解析；【分析】(1)根据题意，利用线面垂直的判定定理证明即可.(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的正弦值.【详解】(1)连接BC,DC,因为底面ABCD是边长为2的正方形，所以BC=DC,又因为∠CCB=∠CCD,CC=CC,点O为线段BD中点，所以CO⊥BD,又OC∩BD=0,OCC平面ABCD,BDC平面ABCD,答案第9页，共15页由题知正方形ABCD中AC⊥BD,CO⊥平面ABCD,所以建系如图所示，设二面角B-AA-D大小为θ,所以二面角B-AA₁-D的正弦值为18.(1)证明见解析【分析】(1)设出直线AB与直线CD的方程，联立曲线后得到与纵坐标有关韦达定理，结合题意，表示出直线MN后即可得定点坐标；(2)设出直线AE与直线BD的方程，联立两直线后结合第一问中韦达定理得出点G的横坐标恒为-1,再答案第10页，共15页结合面积公式及基本不等式即可得.故两只直线斜率都存在且不为0,设直线AB、CD分别为x=m,y+1、x=m₂y+1,有mm₂=-1,消去x可得y²-4m,y-4=0,△=16m²+16>0,故y+y₂=4m、yiy₂=-4,故x=3时，有答案第11页，共15页故Xg=-1,过点G作GQ//x轴，交直线MN于点Q,贝答案第12页，共15页有,故此时|₀-x₆|>4,答案第13页，共15页【分析】(1)第一问直接根据新定义来即可.(2)第二问结合新定义、带余除法以及费马小定理即可得证.(3)根据新定义进行转换即可得证.【详解】(1)若p=11,a=2,又注意到2l⁰=1024=93×11+1,所以a⁰-1,=2l⁰,=1.(2)当p=2时，此时X={1},此时b=c=1,b当p>2时，因1,a,a²,…,a⁰-2相异，故a≥2,而a∈X,故a,p互质.则3m,m₂∈N,使得a*=pm故a+=(pm+b)(pm₂+c),故a⁴+₂=bc(modp),设n+n₂=t(p-1)+s,O≤s≤p-2,则n⑥n₂=s