湖南省益阳市高三数学（理）5月18日统考试卷

高三数学考试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则（）A．B．5C．D．102.设全集，集合，，则（）A．B．C．D．3.中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年.算筹记数的方法是：个位、百位、万位……的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位……的数按横式的数码摆出，如7738可用算筹表示为.纵式：横式： 12345678919这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则的运算结果可用算筹表示为（）A．B．C．D．4.若双曲线（）的焦距等于离心率，则（）A．B．C.D．5.设有下面四个命题若，则；若，则；若的中间项为20；的中间项为.其中真命题为（）A．，B．，C.，D．，6.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的表面积为（）A．B．C.D．7.已知表示除以余，例如，，则如图所示的程序框图的功能是（）A．求被5除余1且被7除余3的最小正整数B．求被7除余1且被5除余3的最小正整数C.求被5除余1且被7除余3的最小正奇数D．求被7除余1且被5除余3的最小正奇数8.若，且，则（）A．B．C.D．9.设，满足约束条件若的最大值为6，则的最大值为（）A．B．2C.4D．510.若函数与都在区间（）上单调递减，则的最大值为（）A．B．C.D．11.在正方体中，，以为球心，为半径的球与棱，分别交于，两点，则二面角的正切值为（）A．B．C.D．12.设函数，若存在互不相等的4个实数，，，，使得，则的取值范围为（）A．B．C.D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在中，，，且，则．14.现有8本杂志，其中有3本是完全相同的文学杂志，还有5本是互不相同的数学杂志，从这8本里选取3本，则不同选法的种数为．15.在平行四边形中，，，，且，则平行四边形的面积的最大值为．16.为椭圆上一动点，，分别为左、右焦点，延长至点，使得，记动点的轨迹为，设点为椭圆短轴上一顶点，直线与交于、两点，则．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（一）必考题：共60分.17.已知数列是等比数列，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.18.如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，平面平面，且与棱，，分别交于，，三点.（1）过作直线，使得，，请写出作法并加以证明；（2）若将三棱锥19.“某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A水果，然后以15元/千克的价格出管，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了A水果最近50天的日需求量（单位：千克)，整理得下表：日需求量140150160170180190200频数51088775以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率.（1）若该超市一天购进水果150千克，记超市当天水果获得的利润为(单位：元)，求的分布列及其数学期望；（2）若该超市计划一天购进水果150千克或160千克，请以当天水果获得的利润的期望值为决策依据，在150千克与160千克之中选其一，应选哪一个？若受市场影响，剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地，又该选哪一个?20.已知直线经过抛物线的焦点且与此抛物线交于，两点，，直线与抛物线交于，两点在轴的两侧.（1）证明：为定值；（2）求直线的斜率的取值范围；（3）已知函数在（）处取得最小值，求线段的中点到点的距离的最小值（用表示）.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，是的两个零点，证明：.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），曲线的参数方程为（为参数，且）.（1）以曲线上的点与原点连线的斜率为参数，写出曲线的参数方程；（2）若曲线与的两个交点为，，直线与直线的斜率之积为，求的值.23.选修45：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，，求的取值范围.试卷答案一、选择题15:CADAD610:BDBCB11、12：BC二、填空题13.714.2615.16.三、解答题17.解：（1）设等比数列的公比为，则.从而，故.（2）∵，∴.记，则，∴，∴，故18.解：（1）作法：取的中点，连接，则直线即为要求作的直线.证明如下：∵，，且，∴平面.∵平面平面，且平面，平面平面，∴，∴平面，∴.又，为的中点，则，从而直线即为要求作的直线.（2）∵将三棱锥分成体积之比为8：19的两部分，∴四面体的体积与三棱锥的体积之比为8:27，又平面平面，∴.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，令，得.则.故直线与平面所成角的正弦值为.19.解：（1）若水果日需求量为140千克，则元，且.若水果日需求量不小于150千克，则元，且.故的分布列为6807500.10.9元.（2）设该超市一天购进水果160千克，当天的利润为（单位：元），则的可能取值为，，，即660,730,800，的分布列为6607308000.10.20.7元.因为，所以该超市应购进160千克.若剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地，同理可得，的分布列分别为6707500.10.96407208000.10.20.7因为，所以该超市还是应购进1610千克.20.（1）证明：由题意可得，直线的斜率存在，故可设的方程为（），联立得，则，则为定值.（2）解：由（1）知，，，则，即.联立得，∵，两点在轴的两侧，∴，，即.由及可得或，故直线的斜率的取值范围为.（3）解：设，，，则，，∵，∴.又，∴，故点的轨迹方程为（或）.21.（1）解：，当时，，则在上单调递增.当时，，得，则的单调递增区间为.令，得，得的单调递减区间为.（2）证明：由得，设，则，由得；由，得.故.当时，；当时，.不妨设，则，.等价于，∵，且在上单调递增，∴要证，只需证，即，即证.设，，则，令，则，∵，∴，∴在上单调递减，即在上单调递减，∴，∴在上单调递增，∴，∴，从而得证.22.解：（1）将消去参数，得（）.由得.故曲线的参数方程