2024年中考数学【热点重点难点】专练重难点02探索规律问题(江苏专用)(原卷版+解析)

2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（江苏专用）重难点02探究规律问题【命题趋势】探究规律型问题是中考数学中的常考问题，题目数量一般是一个题，各种题型都有可能出现，一般以选择题或者填空题中的压轴题形式出现，主要命题方式有数式规律、图形变化规律、点的坐标规律等。基本解题思路：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中规律，进而归纳或猜想出一般结论，最后验证结论的正确性。探索规律题可以说是每年中考的必考题，预计2024年中考数学中仍会作为选择题或填空题的压轴题来考察。所以掌握其基本的考试题型及解题技巧是非常有必要的。【满分技巧】1）从简单的情况入手﹕从简单的情况入手﹕求出前三到四个结果，探究其规律，通过归纳猜想总结正确答案二．新定义型问题一般与代数、坐标、函数知识结合较多，常见的命题背景有：杨辉三角、等差数列、连续n个数的立方和、连续n个数的平方和、阶乘等。2）关注问题中的不变量和变量﹕在探究规律的问题中，一般都会存在变量和不变量（也就是常量），我们要多关注变量，看看这些变量是如何变化的，仔细观察变量的变化与序号（一般为n）之间的关系，我们找到这个关系就找到了规律所在．3）掌握一些数学思想方法规探索律型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律.它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力.题型可涉及填空、选择或解答.【限时检测】A卷（真题过关卷）一．选择题（共6小题）1．(2023•镇江）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（）A．A1 B．B1 C．A2 D．B32．(2023•泗洪县二模）有一列数a1，a2，a3，…，an，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1＝2，则a2022为（）A． B．2 C．﹣1 D．20223．(2023•江阴市校级模拟）正整数构成的数列a1，a2，……，an，……满足：①数列递增，即a1＜a2＜……an＜……；②an＝an﹣1+an﹣2（n≥3），则称为“类斐波拉契数列”，例如：3，4，7，11，18，29，……，则满足a5＝59的“类斐波拉契数列”有（）种．A．1 B．2 C．3 D．44．(2023•江都区三模）若x1＝a+1（a≠0且a≠﹣1），x2＝，x3＝，…，xn＝，则x2020等于（）A．a B．a+1 C． D．5．(2023•丹阳市二模）某校为组织召开初三年级毕业典礼，需用m盆花将圆形主席台围绕一周进行装扮．若花有红色和黄色两种，摆放时要求与每盆花左右相邻的两盆花颜色不同．则m的取值可能是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．20236．(2023•邗江区二模）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，灰色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，如图2，第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20＝5，表示该生为5班学生．表示10班学生的识别图案是（）A． B． C． D．二．填空题（共10小题）7．(2023•宿迁）按规律排列的单项式：x，﹣x3，x5，﹣x7，x9，…，则第20个单项式是．8．(2023•扬州）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为．9．（2018•徐州）如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多个．（用含n的代数式表示）10．(2023•仪征市一模）设a1、a2、a3，…，a2021是从﹣1，0，2这三个数中取值的一列数，若a1+a2+a3+…+a2021＝9，a12+a22+a32+…+a20212＝51，则a13+a23+a33+…+a20213＝．11．(2023•宝应县二模）设a1，a2…an都是正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，an表示第n个数（n为正整数），已知a1＝1，4an＝（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，则a2＝，a2021＝．12．(2023•常州二模）有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．若第一个数是0，第二个数是1，则这2021个数的和是．13．(2023•天宁区校级模拟）已知（x+1）2021＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，则a2+a4+…+a2018+a2020＝．14．(2023•鼓楼区校级三模）如图，每个图案均由相同大小的圆和正三角形按规律排列，依照此规律，第n个图形中三角形的个数比圆的个数多个．（由含n的代数式表示）15．(2023•江阴市校级一模）如图中，分别是由1个、2个、n个正方形连接成的图形，在图1中，x＝70°；在图2中，y＝28°；通过以上计算，请写出图3中a+b+c+…+d＝．（用含n的式子表示）16．(2023•徐州二模）如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“•”的个数为a1，第2幅图形中“•”的个数为a2，第3幅图形中“•”的个数为a3，…，以此类推，则的值为．三．解答题（共9小题）17．(2023•江阴市校级模拟）已知一列数如下规律排列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项20，接下来的两项20，21，再接下来的三象20，21，22，依此类推．（1）第10个1是这列数的第几项；（2）该列数的第2018项为多少？（3）求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该列数的前N项和为2的整数幂．（参考公式：1+q++q2+…+qn）＝18．(2023秋•邗江区期中）如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面．（1）第1个图案用了块灰色的瓷砖，第2个图案用了块灰色的瓷砖，第3个图案用了块灰色的瓷砖；（2）第1个图案用了块白色的瓷砖，第2个图案用了块白色的瓷砖，第3个图案用了块白色的瓷砖；（3）第n个图案中灰色瓷砖和白色瓷砖共用了多少块？19．(2023秋•常州期中）某长方形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色直角三角形地砖排列而成，如图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．【观察思考】如图2，当正方形地砖只有1块时，直角三角形地砖有6块；如图3，当正方形地砖有2块时，直角三角形地砖有8块，……以此类推．【规律总结】（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则直角三角形地砖增加块；（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则直角三角形地砖的块数是（用含有n的代数式表示）．【问题解决】（3）现有2021块直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？剩余直角三角形地砖多少块？20．(2023秋•盐都区月考）阅读理解：我们知道|x|的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和﹣1的两点A和B之间的距离是AB＝|a﹣（﹣1）|＝|a+1|．问题探究：参考阅读材料，解答下列问题．（1）求数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离；（2）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，求|a+3|+|a﹣5|的值；（3）当|a﹣1|+|a﹣2|取最小值时，相应的数a的取值范围是；（4）求|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的最小值是．实际应用：（5）问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：A1，A2，A3，A4，A5，…A2023，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在紧靠居民家，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母）拓展提升：（6）若数a，b满足|a﹣1|+|a﹣3|+|b﹣4|+|b+5|＝11，求a+b的最小值为．21．(2023秋•秦淮区校级月考）图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层，将图①倒置后与原图拼成图②所示的形状，这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为1+2+3+…+n＝.如果图①﹣④中各有11层．（1）图①中共有个圆圈；（2）我们自上而下，在圆圈中按图④的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边圆圈的数是．（3）我们自上而下，按图④的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣22，﹣21，﹣20，求图④所有圆圈中各数的绝对值之和．22．(2023秋•东台市校级期末）研究下列算式，你会发现有什么规律？①13＝12；②13+23＝32；③13+23+33＝62；④13+23+33+43＝102；⑤13+23+33+43+53＝152…（1）根据以上算式的规律，请你写出第⑥个算式；（2）用含n（n为正整数）的式子表示第n个算式；（3）请用上述规律计算：73+83+93+103．23．(2023秋•工业园区校级期中）[实际问题]某商场在“十一国庆”期间为了鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、……、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、……等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？[问题建模]从1，2，3，……，n（n为整数，且n≥6）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果？[模型探究]我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法．从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？所取的2个整数1，21，32，32个整数之和345如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．（1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果．（2）从1，2，3，……，n（n为整数，且n≥6）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果．（3）归纳结论：从1，2，3，……，n（n为整数，且n≥6）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有种不同的结果．[问题解决]从100张面值分别为1元、2元、3元、……、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有种不同的优惠金额．[问题拓展]从3，4，5，……，n（n为整数，且n≥6）这n﹣2个整数中任取5个整数，使得取出的这些整数之和共有121种不同的结果，求n的值．（写出解答过程）24．(2023秋•邗江区校级期中）[阅读理解]我们知道，1+2+3+…n＝，那么12+22+32+...n2结果等于多少呢？在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n行n个圆圈中数的和，即n2，这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+…n2．[规律探究]将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3（12+22+32+…n2）＝，因此，12+22+32+…n2＝．[解决问题]根据以上发现，计算的结果为．25．(2023秋•邗江区期中）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”．【Ⅰ】如图1，请你用“数形结合”的思想．（1）求的值为；（2）请你利用（1）的这种知结论，求下列各式的值：①＝；②计算：．【Ⅱ】将若干个同样大小的小长方形纸片拼成如图形状的大长方形（小长方形纸片宽为a，长为b），请你仔细观察图形，解答下列问题：（3）a和b之间的关系满足．（4）图2中阴影部分的面积与大长方形面积的比值是．（5）请你仔细观察图中的一个阴影部分，根据面积的不同表示方法，请你写出（b﹣a）2与（b+a）2，ab三个代数式之间的等量关系；（6）应用：根据探索中的等量关系，解决如下问题：x+y＝12，，求x﹣y的值．【限时检测】B卷（模拟提升卷）一．选择题（共8小题）1．(2023•西藏）按一定规律排列的一组数据：，﹣，，﹣，，﹣，…．则按此规律排列的第10个数是（）A．﹣ B． C．﹣ D．2．(2023•牡丹江）观察下列数据：，﹣，，﹣，，…，则第12个数是（）A． B．﹣ C． D．﹣3．(2023•新疆）将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第10行第5个数是（）A．98 B．100 C．102 D．1044．(2023•云南）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（）A．（2n﹣1）xn B．（2n+1）xn C．（n﹣1）xn D．（n+1）xn5．(2023•济宁）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（）A．297 B．301 C．303 D．4006．(2023•广州）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒，则n的值为（）A．252 B．253 C．336 D．3377．(2023•玉林）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是（）A．4 B．2 C．2 D．08．(2023•荆州）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1；第二次，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形AnBn∁nDn的面积是（）A． B． C． D．二．填空题（共10小题）9．(2023•青海）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第n个图中共有木料根．10．(2023•鄂尔多斯）按一定规律排列的数据依次为，，，……按此规律排列，则第30个数是．11．(2023•恩施州）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为an，且满足+＝．则a4＝，a2022＝．12．(2023•泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3，2）表示6，则表示99的有序数对是．13．(2023•呼和浩特）若把第n个位置上的数记为xn，则称x1，x2，x3，…，xn有限个有序放置的数为一个数列A．定义数列A的“伴生数列”B是：y1，y2，y3，…，yn，其中yn是这个数列中第n个位置上的数，n＝1，2，…，k且yn＝并规定x0＝xn，xn+1＝x1．如果数列A只有四个数，且x1，x2，x3，x4依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是．14．(2023•聊城）如图，线段AB＝2，以AB为直径画半圆，圆心为A1，以AA1为直径画半圆①；取A1B的中点A2，以A1A2为直径画半圆②；取A2B的中点A3，以A2A3为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为．15．(2023•大庆）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是．16．(2023•绥化）如图，∠AOB＝60°，点P1在射线OA上，且OP1＝1，过点P1作P1K1⊥OA交射线OB于K1，在射线OA上截取P1P2，使P1P2＝P1K1；过点P2作P2K2⊥OA交射线OB于K2，在射线OA上截取P2P3，使P2P3＝P2K2…按照此规律，线段P2023K2023的长为．17．(2023•十堰）如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，50节链条总长度为cm．18．(2023•常德）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片；从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；…；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为．三．解答题（共9小题）19．(2023•嘉兴）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．（1）尝试：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；③当a＝3时，352＝1225＝；……（2）归纳：与100a（a+1）+25有怎样的大小关系？试说明理由．（3）运用：若与100a的差为2525，求a的值．20．(2023•安徽）观察以下等式：第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．21．(2023•定远县模拟）观察下列等式＝1，＝，＝，将以上三个等式两边分别相加得：++＝1++＝1﹣＝．（1）猜想并写出：＝．（2）直接写出下列各式的计算结果：①+++…+＝；②+++…+＝．（3）探究并计算：+++…+．22．(2023•宁南县模拟）阅读下列材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列2，4，8，16，…为等比数列，其中a1＝2，公比为q＝2．若要求这个等比数列的和，即求2+22+23+…+22020的值．可按照下列方法：解：设S＝2+22+23+…22020①，①×2得：2S＝22+23+24+…+22021②，②﹣①得2S﹣S＝22021﹣2，即S＝2+22+23+…+22020＝22021﹣2．然后解决下列问题．（1）等比数列，…的公比q为，第5项是．（2）如果已知一个等比数列的第一项（设为a1）和公比（设为q），则根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：a1，a1•q，a1•q2，a1•q3，…．由此可得第n项an＝（用a1和q的代数式表示）．（3）已知一等比数列的第3项为10，第6项为60，求这个等比数列的第9项．（4）请你用上述方法求的值（设22022＝m，结果用m表示）．23．(2023•肥东县校级模拟）观察以下等式：第1个等式：1+第2个等式：1+第3个等式：1+第4个等式：1+按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．24．（2023•萧县一模）观察如图中用小黑点摆成的三角形，并根据图中规律回答相关问题．（1）第4个图形对应的等式为；（2）若第n个图形对应的黑点总数为66个，求n的值．25．(2023•定远县校级模拟）【阅读】求值1+2+22+23+…+210．解：设S＝1+2+22+23+…+210①；将等式①的两边同时乘以2得：2S＝2+22+23+24…+211②；由②﹣①得：2S﹣S＝211﹣1；即：S＝1+2+22+23+…+210＝211﹣1；【运用】仿照此法计算：1+5+52+53+…+5100；【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为S1，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2019次，依次得到小正方形S1、S2、S3、…、S2019．完成下列问题：（1）小正方形的面积S2019等于；（2）求正方形S1、S2、S3、…、S2019的面积和．26．(2023•雨山区校级一模）观察下列由黑点组成的图形图1中黑点个数为1，图2中黑点个数为2+3+4＝9，图3中黑点个数为3+4+5+6+7＝25，图4中黑点个数为4+5+6+7+8+9+10＝49…按照以上规律，解决下列问题：（1）图5中黑点个数对应的等式为：；（2）写出你猜想图n中黑点个数对应的等式：．（用含n的等式表示，y＝x2﹣2x+m2+2，且y＝x2﹣2x+m2+2为整数）；（3）我们知道y＝x2﹣2x+m2+2．利用其证明（2）的结论．27．(2023•青岛一模）问题提出：将一组长度是l（l＞4的偶数）的细绳按展如图所示的方法对折n次（n≥1），然后从重叠的细绳的一端开始，每隔1厘米（两端弯曲部分的绳长忽略不计）剪1刀，共剪m刀（m≥1的整数），最后得到一些长1cm和长2cm的细绳，如果长1cm的细绳有222根，那么原来的细绳长度l是多少cm？问题探究：为了解决问题，我们可以先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．探究一：对折1次，可以看成有21根绳子重叠在一起．如果剪1刀（如图①），左端出现了2根长1cm的细绳，右端出现了21﹣1＝1根长2cm的细绳，所以原绳长为2×1+1×2＝4cm；如果剪2刀（如图②），左端仍有2根长1cm的细绳，中间有1×21＝2根长1cm的细绳，右端仍有21﹣1＝1根长2cm的细绳，所以原绳长为（2+2）×1+1×2＝6cm；如果剪3刀（如图③），左端仍有2根长1cm的细绳，中间有2×21＝4根长1cm的细绳，右端仍有21﹣1＝1根长2cm的细绳，所以原绳长为（2+4）×1+1×2＝8cm；以此类推，如果剪m刀，左端仍有2根长1cm的细绳，中间有（m﹣1）×21＝2（m﹣1）根长1cm细绳，右端仍有21﹣1＝1根长2cm的细绳，所以，原绳长为[2+（m﹣1）×21]×1+（21﹣1）×2＝（2m+2）＝2（m+1）cm．探究二：对折2次，可以看成有22根绳子重叠在一起．如果剪1刀（如图④），左端出现了2根长1cm的细绳，两端共出现了22﹣1＝3根长2cm的细绳，所以原绳长为2×1+3×2＝8cm；如果剪2刀（如图⑤），左端仍有2根长1cm的细绳，中间有1×22＝4根长1cm的细绳，两端仍有22﹣1＝3根长2cm的细绳，所以原绳长为（2+4）×1+3×2＝12cm；如果剪3刀（如图⑥），左端仍有2根长1cm的细绳，中间有2×22＝8根长1cm的细绳，两端共有22﹣1＝3根长2cm的细绳，所以原绳长为（2+8）×1+3×2＝16cm；以此类推，如果剪m刀，左端仍有2根长1cm的细绳，中间有（m﹣1）×22＝（4m﹣4）＝4（m﹣1）根长1cm的细绳，两端仍有22﹣1＝3根长2cm的细绳，所以原绳长为[2+（m﹣1）×22]×1+3×2＝（4m+4）＝4（m+1）cm．探究三：．对折3次（如图⑦），可以看成有23根绳子重叠在一起．如果剪m刀，左端有2根长1cm的细绳，中间有（m﹣1）×23＝（8m﹣8）＝8（m﹣1）根长1cm的细绳，两端有23﹣1＝7根长2cm的细绳，所以原绳长为[2+（m﹣1）×23]×1+7×2＝（8m+8）＝8（m+1）cm．总结规律：对折n次，可以看成有根绳子重叠在一起．如果剪m刀，左端有根长1cm的细绳，中间会有根长1cm的细绳，两端会有根长2cm的细绳，所以原绳长为cm．问题解决：如果长1cm的细绳有222根，根据以上探究过程可以推算出细绳可能被对折了次，被剪了刀，原来的细绳的长度l是cm．拓展应用：如果长1cm的细绳有2024根，那么原来的细绳的长度l是cm．2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（江苏专用）重难点02探究规律问题【命题趋势】探究规律型问题是中考数学中的常考问题，题目数量一般是一个题，各种题型都有可能出现，一般以选择题或者填空题中的压轴题形式出现，主要命题方式有数式规律、图形变化规律、点的坐标规律等。基本解题思路：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中规律，进而归纳或猜想出一般结论，最后验证结论的正确性。探索规律题可以说是每年中考的必考题，预计2024年中考数学中仍会作为选择题或填空题的压轴题来考察。所以掌握其基本的考试题型及解题技巧是非常有必要的。【满分技巧】1）从简单的情况入手﹕从简单的情况入手﹕求出前三到四个结果，探究其规律，通过归纳猜想总结正确答案二．新定义型问题一般与代数、坐标、函数知识结合较多，常见的命题背景有：杨辉三角、等差数列、连续n个数的立方和、连续n个数的平方和、阶乘等。2）关注问题中的不变量和变量﹕在探究规律的问题中，一般都会存在变量和不变量（也就是常量），我们要多关注变量，看看这些变量是如何变化的，仔细观察变量的变化与序号（一般为n）之间的关系，我们找到这个关系就找到了规律所在．3）掌握一些数学思想方法规探索律型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律.它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力.题型可涉及填空、选择或解答.【限时检测】A卷（真题过关卷）

一．选择题（共6小题）1．(2023•镇江）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（）A．A1 B．B1 C．A2 D．B3【分析】把A1，A2，B1，B3的式子表示出来，再结合值等于789，可求相应的n的值，即可判断．【解答】解：由题意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789，整理得：2n＝260，则n不是整数，故A1的值不可以等于789；A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789，整理得：2n＝254，则n不是整数，故A2的值不可以等于789；B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789，整理得：2n＝256＝28，则n是整数，故B1的值可以等于789；B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789，整理得：2n＝252，则n不是整数，故B3的值不可以等于789；故选：B．2．(2023•泗洪县二模）有一列数a1，a2，a3，…，an，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1＝2，则a2022为（）A． B．2 C．﹣1 D．2022【分析】分别求出a1＝2，a2＝，a3＝﹣1，a4＝2，可得规律每3个数循环一次，则a2022＝a3＝2．【解答】解：∵a1＝2，∴a2＝1﹣＝，a3＝1﹣2＝﹣1，a4＝1+1＝2，……∴每3个数循环一次，∵2022÷3＝674，∴a2022＝a3＝﹣1，故选：C．3．(2023•江阴市校级模拟）正整数构成的数列a1，a2，……，an，……满足：①数列递增，即a1＜a2＜……an＜……；②an＝an﹣1+an﹣2（n≥3），则称为“类斐波拉契数列”，例如：3，4，7，11，18，29，……，则满足a5＝59的“类斐波拉契数列”有（）种．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由题可发现数列存在an＝an﹣1+an﹣2（n≥3）的规律，满足a5＝59的“类斐波拉契数列”有多少种．【解答】解：满足a5＝59的“类斐波拉契数列”应满足：①数列递增，即a1＜a2＜a3＜a4＜a5；②an＝an﹣1+an﹣2（n≥3），故：①10，13，23，36，59；②7，15，22，37，59；③4，17，21，38，59；④1，19，20，39，59．故选：D．4．(2023•江都区三模）若x1＝a+1（a≠0且a≠﹣1），x2＝，x3＝，…，xn＝，则x2020等于（）A．a B．a+1 C． D．【分析】根据题意对前面几个数进行计算，发现结果每三个数一循环，由此得出规律，用2020除以4即可得到是第几个循环数，即可得到结果．【解答】解：∵x1＝a+1，∴x2＝＝＝﹣，x3＝＝＝，x4＝＝＝a+1＝x1，…由上可知，x1，x2，x3，…，xn，这列数依次按a+1，﹣，三个结果进行循环，∵2020÷3＝673…1，∴x2020＝x1＝a+1，故选：B．5．(2023•丹阳市二模）某校为组织召开初三年级毕业典礼，需用m盆花将圆形主席台围绕一周进行装扮．若花有红色和黄色两种，摆放时要求与每盆花左右相邻的两盆花颜色不同．则m的取值可能是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【分析】由题意得花盆摆放的情况有：红红黄黄或黄黄红红，只有当m是4的倍数时满足．【解答】解：由题意得：花盆摆放的情况有：红红黄黄，或黄黄红红，要满足条件，m只能是4的倍数，而只有2020是4的倍数，故选：A．6．(2023•邗江区二模）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，灰色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，如图2，第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20＝5，表示该生为5班学生．表示10班学生的识别图案是（）A． B． C． D．【分析】根据题中的规律分别计算出四个选项所表示的班级序号即可．【解答】解：由题知，A选项班级序号为1×23+0×22+1×21+0×20＝10，B选项班级序号为0×23+1×22+1×21+0×20＝6，C选项班级序号为1×23+0×22+0×21+1×20＝9，D选项班级序号为0×23+1×22+1×21+1×20＝7，故选：A．二．填空题（共10小题）7．(2023•宿迁）按规律排列的单项式：x，﹣x3，x5，﹣x7，x9，…，则第20个单项式是﹣x39．【分析】观察指数规律与符号规律，进行解答便可．【解答】解：根据前几项可以得出规律，奇数项为正，偶数项为负，第n项的数为（﹣1）n+1×x2n﹣1，则第20个单项式是（﹣1）21×x39＝﹣x39，故答案为：﹣x39．8．(2023•扬州）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为1275．【分析】首先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n个图形中的黑色圆点的个数为，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．【解答】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，第②个图形中的黑色圆点的个数为：＝3，第③个图形中的黑色圆点的个数为：＝6，第④个图形中的黑色圆点的个数为：＝10，…第n个图形中的黑色圆点的个数为，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，…，其中每3个数中，都有2个能被3整除，33÷2＝16…1，16×3+2＝50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即＝1275，故答案为：1275．9．（2018•徐州）如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多（4n+3）个．（用含n的代数式表示）【分析】利用给出的三个图形寻找规律，发现白色正方形个数＝总的正方形个数﹣黑色正方形个数，而黑色正方形个数第1个为1，第二个为2，由此寻找规律，总个数只要找到边与黑色正方形个数之间关系即可，依此类推，寻找规律．【解答】解：方法一：第1个图形黑、白两色正方形共3×3个，其中黑色1个，白色3×3﹣1个，第2个图形黑、白两色正方形共3×5个，其中黑色2个，白色3×5﹣2个，第3个图形黑、白两色正方形共3×7个，其中黑色3个，白色3×7﹣3个，依此类推，第n个图形黑、白两色正方形共3×（2n+1）个，其中黑色n个，白色3×（2n+1）﹣n个，即：白色正方形5n+3个，黑色正方形n个，故第n个图案中白色正方形比黑色正方形多4n+3个，方法二第1个图形白色正方形共8个，黑色1个，白色比黑色多7个，第2个图形比第1个图形白色比黑色又多了4个，即白色比黑色多（7+4）个，第3个图形比第2个图形白色比黑色又多了4个，即白色比黑色多（7+4×2）个，类推，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多[7+4（n﹣1）]个，即（4n+3）个，故第n个图案中白色正方形比黑色正方形多（4n+3）个．10．(2023•仪征市一模）设a1、a2、a3，…，a2021是从﹣1，0，2这三个数中取值的一列数，若a1+a2+a3+…+a2021＝9，a12+a22+a32+…+a20212＝51，则a13+a23+a33+…+a20213＝69．【分析】设这一列数中有x个﹣1，y个2，根据已知列方程组得，解方程组可得x和y的值，最后代入可得答案．【解答】解：设这一列数中有x个﹣1，y个2，∵a1+a2+a3+…+a2021＝9，a12+a22+a32+…+a20212＝51，∴﹣x+2y＝9，（﹣1）2•x+22•y＝51，∴，解得：，∴a13+a23+a33+…+a20213＝x•（﹣1）3+y•23＝﹣x+8y＝﹣11+80＝69．故答案为：69．11．(2023•宝应县二模）设a1，a2…an都是正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，an表示第n个数（n为正整数），已知a1＝1，4an＝（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，则a2＝3，a2021＝4041．【分析】先将4an＝（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，变形，结合a1＝1，a1，a2，a3……是一列正整数，得出递推公式an+1＝an+2，进而可得an＝2n﹣1，将n＝2021代入即可求得答案．【解答】解：∵a1＝1，4an＝（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，a1，a2，a3……是一列正整数，∴an﹣1≥0，（an+1﹣1）2＝（an﹣1）2+4an＝（an+1）2，∴an+1﹣1＝an+1，∴an+1＝an+2，∵a1＝1，∴a2＝3，a3＝5，a4＝7，a5＝9，…，∴an＝2n﹣1，∴a2021＝2×2021﹣1＝4041．故答案为：3；4041．12．(2023•常州二模）有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．若第一个数是0，第二个数是1，则这2021个数的和是1．【分析】根据题意和题目中的数据，可以写出这列数的前几个数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可求得这2021个数的和．【解答】解：由题意可得，第一个数是0，第二个数是1，则第三个数是1﹣0＝1，第四个数是1﹣1＝0，第五个数是0﹣1＝﹣1，第六个数是﹣1﹣0＝﹣1，第七个数是﹣1﹣（﹣1）＝0，第八个数是0﹣（﹣1）＝1，…，由上可得，这列数依次以0，1，1，0，﹣1，﹣1循环出现，每六个数一个循环，∵2021÷6＝336…5，∴这2021个数的和是：0+1+1+0+（﹣1）+（﹣1）+…+0+1+1+0+（﹣1）＝[0+1+1+0+（﹣1）+（﹣1）]×336+[0+1+1+0+（﹣1）]＝0×336+1＝0+1＝1，故答案为：1．13．(2023•天宁区校级模拟）已知（x+1）2021＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，则a2+a4+…+a2018+a2020＝22020﹣1．【分析】分别令x＝1代入得a0+a1+a2+a3+…+a2021，令x＝﹣1代入得a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020﹣a2021，令x＝0，a0＝1；从而可以得出答案．【解答】解：令x＝1，a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021＝a0+a1+a2+a3+…+a2021＝22021；令x＝﹣1，a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021＝a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020﹣a2021＝0；∴a0+a1+a2+a3+…+a2021+a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020﹣a2021＝2（a0+a2+a4…+a2020），令x＝0，a0＝1；∴a2+a4+…+a2018+a2020＝22021÷2﹣1＝22020﹣1，故答案为：22020﹣1．14．(2023•鼓楼区校级三模）如图，每个图案均由相同大小的圆和正三角形按规律排列，依照此规律，第n个图形中三角形的个数比圆的个数多（2n+1）个．（由含n的代数式表示）【分析】每个图形可以看成是1个圆配3个正三角形，再额外加1个三角形，根据其规律，可求其值．【解答】解：根据题意有，第1个图形，圆的个数为：1；正三角形的个数为：1×3+1；第2个图形，圆的个数为：2；正三角形的个数为：2×3+1；第3个图形，圆的个数为：3；正三角形的个数为：3×3+1；……，第n个图形，圆的个数为：n；正三角形的个数为：n×3+1；n×3+1﹣n＝3n﹣n+1＝2n+1，∴第n个图形中三角形的个数比圆的个数多（2n+1）个．故答案为：（2n+1）．15．(2023•江阴市校级一模）如图中，分别是由1个、2个、n个正方形连接成的图形，在图1中，x＝70°；在图2中，y＝28°；通过以上计算，请写出图3中a+b+c+…+d＝90°n．（用含n的式子表示）【分析】根据图形的变化规律归纳出有n个小正方形时各夹角的度数和是90°n即可．【解答】解：连接各小正方形的对角线，如下图：图1中，61°+119°+20°+x+45°×2＝360°，即20°+x＝90°，图2中，61°+119°+31°+121°+y+45°×4＝360°，即31°+121°+y＝180°＝2×90°，…，以此类推，a+b+c+…+d＝n×90°＝90°n，故答案为：90°n．16．(2023•徐州二模）如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“•”的个数为a1，第2幅图形中“•”的个数为a2，第3幅图形中“•”的个数为a3，…，以此类推，则的值为．【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求出即可．【解答】解：a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…，an＝n（n+2）；∴+++…+＝+++…+＝++…++++…+＝（1﹣）+（﹣）＝，故答案为：，三．解答题（共9小题）17．(2023•江阴市校级模拟）已知一列数如下规律排列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项20，接下来的两项20，21，再接下来的三象20，21，22，依此类推．（1）第10个1是这列数的第几项；（2）该列数的第2018项为多少？（3）求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该列数的前N项和为2的整数幂．（参考公式：1+q++q2+…+qn）＝【分析】（1）根据第1个1是第1项，第2个1是第2项，第3个1是第4项，第4个1是第7项，…，这个规律推算结果便可；（2）根据“1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…”将其数列分组，使每组第一项均为1，第一组：20，第二组：20，21，第三组：20，21，22，…，第k组：20，21，22，…，2k﹣1，由此得到此数列前n项和计算即可；（3）由题意求得数列的每一项，及前n项和Sn＝2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂，只需将﹣2﹣n消去即可求得N的值．【解答】解：（1）由题意可知，第1个1是第1项，第2个1是第1+1＝2项，第3个1是第1+2+1＝4项，第4个1是第1+2+3+1＝7项，…由此规律可知：第10个1是第1+2+3+…+9+1＝46项，故第10个1是第46项；（2）将其数列分组，使每组第一项均为1，第一组：20，第二组：20，21，第三组：20，21，22，…第k组：20，21，22，…，2k﹣1，共有项数为1+2+3+…+k＝，当k＝63时，，则2018项应该为第64组的第二项，∴该列数的第2018项为2；（3）由题意得，前n组的和为：S＝20+21+22+，…，+2n﹣1＝2n+1﹣n﹣22n+1为2的整数幂，只需将﹣2﹣n消去即可．∴第n+1组为：1，2，4，8，…，2n∴前n+1组的和为：2n+2﹣n﹣3∴只需要再加上第n+2组的前两项即可消除，此时共有项数：1+2+3+…+n+n+1+2＝∵N＞100，∴令≥100∴n≥14，由题意2+n＝2k+1﹣1，可得n的最小值为29，k的最小值为4，，此时N＝+5＝440综上所述，N的最小值为440．18．(2023秋•邗江区期中）如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面．（1）第1个图案用了4块灰色的瓷砖，第2个图案用了6块灰色的瓷砖，第3个图案用了8块灰色的瓷砖；（2）第1个图案用了5块白色的瓷砖，第2个图案用了8块白色的瓷砖，第3个图案用了11块白色的瓷砖；（3）第n个图案中灰色瓷砖和白色瓷砖共用了多少块？【分析】（1）根据所给的图案进行求解即可；（2）根据所给的图案进行求解即可；（3）不难看出每增加一个图案，则灰色瓷砖增加2块，白色瓷砖增加3块，据此可求解．【解答】解：（1）由题意得：第1个图案用了4块灰色的瓷砖，第2个图案用了6块灰色的瓷砖，第3个图案用了8块灰色的瓷砖；故答案为：4，6，8；（2）第1个图案用了5块白色的瓷砖，第2个图案用了8块白色的瓷砖，第3个图案用了11块白色的瓷砖；故答案为：5，8，11；（3）由题意得：第n个图案中灰色瓷砖的数量为：4+2（n﹣1）＝（2n+2）块，第n个图案中白色瓷砖的数量为：5+3（n﹣1）＝（3n+2）块，则一共所用的瓷砖为：2n+2+3n+2＝（5n+4）块．答：第n个图案中灰色瓷砖和白色瓷砖共用了（5n+4）块．19．(2023秋•常州期中）某长方形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色直角三角形地砖排列而成，如图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．【观察思考】如图2，当正方形地砖只有1块时，直角三角形地砖有6块；如图3，当正方形地砖有2块时，直角三角形地砖有8块，……以此类推．【规律总结】（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则直角三角形地砖增加2块；（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则直角三角形地砖的块数是2n+4（用含有n的代数式表示）．【问题解决】（3）现有2021块直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？剩余直角三角形地砖多少块？【分析】（1）观察图形规律，即可得其值；（2）观察图形规律，可以把图形看成是每块正方形地砖配两块直角三角形地砖，再额外加4块直角三角形地砖，进而可得出其表达式；（3）当使用的正方形地砖数量最多时，剩余直角三角形地砖最少，只需求出n的最大值即可．【解答】解：（1）根据题意可得，每增加1块正方形地砖，则直角三角形地砖增加2块．故答案为：2；（2）根据题意可得，直角三角形地砖的块数是2n+4．故答案为：2n+4；（3）根据题意可得，2n+4＝2021，解得：n＝＝1008.5，∵n为整数，∴n＝1008，当n＝1008时，2n+4＝2×1008+4＝2020，2021﹣2020＝1，∴需要正方形地砖1008块，剩余直角三角形地砖1块．20．(2023秋•盐都区月考）阅读理解：我们知道|x|的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和﹣1的两点A和B之间的距离是AB＝|a﹣（﹣1）|＝|a+1|．问题探究：参考阅读材料，解答下列问题．（1）求数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离；（2）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，求|a+3|+|a﹣5|的值；（3）当|a﹣1|+|a﹣2|取最小值时，相应的数a的取值范围是1≤a≤2；（4）求|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的最小值是2．实际应用：（5）问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：A1，A2，A3，A4，A5，…A2023，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在紧靠A1012居民家，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母）拓展提升：（6）若数a，b满足|a﹣1|+|a﹣3|+|b﹣4|+|b+5|＝11，求a+b的最小值为﹣4．【分析】（1）由两点间距离直接求解即可；（2）根据绝对值的性质化简绝对值，再计算便可；（3）由题意两点距离的意义进行解答；（4）当a取2时代数式的值最小，据此计算便可；（5）取最中间点便可；（6）在a≤1，b≤﹣5范围内，解方程|a﹣1|+|a﹣3|+|b﹣4|+|b+5|＝11便可．【解答】解：（1）数轴上表示2与﹣3两点之间的距离为|2+3|＝5；（2）∵﹣3≤a≤5，∴|a+3|+|a﹣5|＝a+3+5﹣a＝8；（3）|a﹣1|+|a﹣2|表示数a的点与表示数1和2的点的距离之和，当a位于1与2之间时，其距离之和最小，∴|a﹣1|+|a﹣2|取最小值时，相应的数a的取值范围是1≤a≤2，故答案为：1≤a≤2；（4）当a＝2时，|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|取最小值为：1+0+1＝2，故答案为：2；（5）点P选在A1012居民家．才能使这2023户居民到点P的距离总和最小，故答案为：A1012；（6）∵|a﹣1|+|a﹣3|+|b﹣4|+|b+5|＝11，∴当a≤1，b≤﹣5时，1﹣a+3﹣a+4﹣b﹣b﹣5＝11，∴a+b＝﹣4，∴若数a，b满足|a﹣1|+|a﹣3|+|b﹣4|+|b+5|＝11，a+b的最小值为﹣4，故答案为：﹣4．21．(2023秋•秦淮区校级月考）图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层，将图①倒置后与原图拼成图②所示的形状，这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为1+2+3+…+n＝.如果图①﹣④中各有11层．（1）图①中共有66个圆圈；（2）我们自上而下，在圆圈中按图④的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边圆圈的数是56．（3）我们自上而下，按图④的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣22，﹣21，﹣20，求图④所有圆圈中各数的绝对值之和．【分析】（1）根据图形中圆圈的个数变化规律求解；（2）11层时最底层最左边这个圆圈中的数是第10层的最后一个数加1；（3）由（1）得出圆圈的总个数，从而分析出23个负数后，又有多少个正数．【解答】解：（1）×11×（11+1）＝66，故答案为：66；（2）×10×（10+1）＝55，55+1＝56，故答案为：56；（3）图4中共有66个数，其中23个负数，1个0，42个正数，所以图4中所有圆圈中各数的和为：|﹣23|+|﹣22|+…+|﹣1|+0+1+2+…+42＝（1+2+3+…+23）+（1+2+3+…+42）＝276+903＝1179．22．(2023秋•东台市校级期末）研究下列算式，你会发现有什么规律？①13＝12；②13+23＝32；③13+23+33＝62；④13+23+33+43＝102；⑤13+23+33+43+53＝152…（1）根据以上算式的规律，请你写出第⑥个算式；（2）用含n（n为正整数）的式子表示第n个算式；（3）请用上述规律计算：73+83+93+103．【分析】（1）利用类比的方法得到第⑥个算式为13+23+33+43+53+63＝212；（2）同样利用类比的方法得到第n个算式为；（3）将73+83+93+...+103转化为（13+23+33+43+...+103）﹣（13+23+33+43+...+63）后代入总结的规律求解即可．【解答】解：（1）①当n＝1时，13＝12，即，②n＝2时，13+23＝32，即，③n＝3时，13+23+33＝62，即，④n＝4时，13+23+33+43＝102，即，⑤n＝5时，13+23+33+43+53＝152，即，∴当n＝6时，，故第⑥个算式为13+23+33+43+53+63＝212；（2）根据（1）中的规律可得第n个式子为：；（3）73+83+93+103＝（13+23+33+43+...+103）﹣（13+23+33+43+...+63）＝＝552﹣212＝（55﹣21）×（55+21）＝34×76＝2584．23．(2023秋•工业园区校级期中）[实际问题]某商场在“十一国庆”期间为了鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、……、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、……等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？[问题建模]从1，2，3，……，n（n为整数，且n≥6）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果？[模型探究]我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法．从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？所取的2个整数1，21，32，32个整数之和345如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．（1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有7种不同的结果．（2）从1，2，3，……，n（n为整数，且n≥6）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有（3n﹣8）种不同的结果．（3）归纳结论：从1，2，3，……，n（n为整数，且n≥6）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有（5n﹣24）种不同的结果．[问题解决]从100张面值分别为1元、2元、3元、……、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有476种不同的优惠金额．[问题拓展]从3，4，5，……，n（n为整数，且n≥6）这n﹣2个整数中任取5个整数，使得取出的这些整数之和共有121种不同的结果，求n的值．（写出解答过程）【分析】（1）根据整数的总个数n，与任取的a个整数，分别计算这a个整数之和的最大值、最小值，进而得出共有多少种不同结果情况，然后延伸到一般情况．（2）根据整数的总个数n，与任取的a个整数，分别计算这a个整数之和的最大值、最小值，进而得出共有多少种不同结果情况，然后延伸到一般情况．（3）根据整数的总个数n，与任取的a个整数，分别计算这a个整数之和的最大值、最小值，进而得出共有多少种不同结果情况，然后延伸到一般情况．【解答】解：（1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，则这2个整数之和最小值为：1+2＝3，最大值为：4+5＝9，则这2个整数之和共有9﹣3+1＝7种不同情况，故答案为：7；（2）从1，2，3，……，n（n为整数，且n≥6）这n个整数中任取3个整数，则这3个整数之和最小值为：1+2+3＝6，最大值为：n﹣2+n﹣1+n＝3n﹣3，则这3个整数之和共有不同结果的种数为：3n﹣3﹣6+1＝（3n﹣8）种，故答案为：（3n﹣8）；（3）归纳总结：从1，2，3，……，n（n为整数，且n≥6）这n个整数中任取5个整数，则这5个整数之和的最小值为：1+2+3+4+5＝15，最大值为n+（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）+（n﹣4）＝5n﹣10，则这5个整数之和共有不同结果的种数为：5n﹣10﹣15+1＝（5n﹣24）种，故答案为：（5n﹣24）；问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、……、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，则这5张奖券的和的最小值为：1+2+3+4+5＝15（元），最大值为：100+99+98+97+96＝490（元），则这5张奖券的和共有不同优惠金额的种数为：490﹣15+1＝476（种），故答案为：476；问题拓展：从3，4，5，……，n（n为整数，且n≥6）这（n﹣2）个整数中任取5个整数，则这5个整数之和的最小值为：3+4+5+6+7＝25，最大值为n+（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）+（n﹣4）＝5n﹣10，则这5个整数之和共有不同结果的种数为：5n﹣10﹣25+1＝（5n﹣34）种．24．(2023秋•邗江区校级期中）[阅读理解]我们知道，1+2+3+…n＝，那么12+22+32+...n2结果等于多少呢？在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n行n个圆圈中数的和，即n2，这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+…n2．[规律探究]将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为2n+1，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3（12+22+32+…n2）＝，因此，12+22+32+…n2＝．[解决问题]根据以上发现，计算的结果为．【分析】【规律探究】将同一位置圆圈中的数相加即可，所有圈中的数的和应等于同一位置圆圈中的数的和乘以圆圈个数，据此可得，每个三角形数阵和即为三个三角形数阵和的，从而得出答案；【解决问题】运用以上结论，将原式变形为，化简计算即可得．【解答】解：【规律探究】由题意知，每个位置上三个圆圈中数的和均为n﹣1+2+n＝2n+1，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3（12+22+32+…+n2）＝（2n+1）×（1+2+3+…+n）＝（2n+1）×，因此，12+22+32+…+n2＝；故答案为：2n+1，，；【解决问题】原式＝＝×(2023×2+1）＝，故答案为：．25．(2023秋•邗江区期中）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”．【Ⅰ】如图1，请你用“数形结合”的思想．（1）求的值为；（2）请你利用（1）的这种知结论，求下列各式的值：①＝；②计算：．【Ⅱ】将若干个同样大小的小长方形纸片拼成如图形状的大长方形（小长方形纸片宽为a，长为b），请你仔细观察图形，解答下列问题：（3）a和b之间的关系满足．（4）图2中阴影部分的面积与大长方形面积的比值是．（5）请你仔细观察图中的一个阴影部分，根据面积的不同表示方法，请你写出（b﹣a）2与（b+a）2，ab三个代数式之间的等量关系；（6）应用：根据探索中的等量关系，解决如下问题：x+y＝12，，求x﹣y的值．【分析】（1）根据图形面积得出这些数的和即为1与的面积差，即可解答；（2）①根据（1）中总结的规律，进行计算即可；②将算式变形为符合（1）中规律的形式，再进行计算即可；（3）由大长方形的长的不同拼图即可解答；（4）根据b＝3a，将大长方形的长和宽用a表示，求出面积；再将阴影部分的面积为用a表示，即可解答；（5）将阴影部分面积表示为大正方形减去四个小长方形即可解答；（6）根据（5）中得出的结论，代入进行计算即可．【解答】解：（1）．故答案为：；（2）①分析得：＝＝＝．故答案为：；②分析得：＝＝＝＝＝．（3）由大长方形的长的不同拼图可得4b＝3a+3b，即b＝3a，（4）由于b＝3a，大长方形的长为4b＝12a，宽为3a+b＝6a，因此面积为12a×6a＝72a2；阴影部分的面积为3（b﹣a）2＝3（2a）2＝12a2；因此其比值为，故答案为：；（5）如图，阴影正方形的边长为（b﹣a），因此面积为（b﹣a）2，正方形ABCD的边长为（b+a），因此面积为（b+a）2，四个小矩形的面积为4ab，因此有（b﹣a）2＝（b+a）2﹣4ab，（6）∵x+y＝12，，∴，∵112＝121，（﹣11）2＝121，∴x﹣y＝11或﹣11．【限时检测】B卷（模拟提升卷）一．选择题（共8小题）1．(2023•西藏）按一定规律排列的一组数据：，﹣，，﹣，，﹣，…．则按此规律排列的第10个数是（）A．﹣ B． C．﹣ D．【分析】把第3个数转化为：，不难看出分子是从1开始的奇数，分母是n2+1，且奇数项是正，偶数项是负，据此即可求解．【解答】解：原数据可转化为：，﹣，，﹣，，﹣，…，∴＝（﹣1）1+1×，﹣＝（﹣1）2+1×，＝（﹣1）3+1×，..．∴第n个数为：（﹣1）n+1，∴第10个数为：（﹣1）10+1×＝﹣．故选：A．2．(2023•牡丹江）观察下列数据：，﹣，，﹣，，…，则第12个数是（）A． B．﹣ C． D．﹣【分析】根据给出的数据可以推算出第n个数是×（﹣1）n+1所以第12个数字把n＝12代入求值即可．【解答】解：根据给出的数据特点可知第n个数是×（﹣1）n+1，∴第12个数就是×（﹣1）12+1＝﹣．故选：D．3．(2023•新疆）将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第10行第5个数是（）A．98 B．100 C．102 D．104【分析】由三角形的数阵知，第n行有n个偶数，则得出前9行有45个偶数，且第45个偶数为90，得出第10行第5个数即可．【解答】解：由三角形的数阵知，第n行有n个偶数，则得出前9行有1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45个偶数，∴第9行最后一个数为90，∴第10行第5个数是90+2×5＝100，故选：B．4．(2023•云南）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（）A．（2n﹣1）xn B．（2n+1）xn C．（n﹣1）xn D．（n+1）xn【分析】根据题目中的单项式，可以发现系数是一些连续的奇数，x的指数是一些连续的整数，从而可以写出第n个单项式．【解答】解：∵单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，…，∴第n个单项式为（2n﹣1）xn，故选：A．5．(2023•济宁）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（）A．297 B．301 C．303 D．400【分析】首先根据前几个图形圆点的个数规律即可发现规律，从而得到第100个图摆放圆点的个数．【解答】解：观察图形可知：摆第1个图案需要4个圆点，即4+3×0；摆第2个图案需要7个圆点，即4+3＝4+3×1；摆第3个图案需要10个圆点，即4+3+3＝4+3×2；摆第4个图案需要13个圆点，即4+3+3+3＝4+3×3；…第n个图摆放圆点的个数为：4+3（n﹣1）＝3n+1，∴第100个图放圆点的个数为：3×100+1＝301．故选：B．6．(2023•广州）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒，则n的值为（）A．252 B．253 C．336 D．337【分析】根据图形特征，第1个图形需要6根小木棒，第2个图形需要6×2+2＝14根小木棒，第3个图形需要6×3+2×2＝22根小木棒，按此规律，得出第n个图形需要的小木棒根数即可．【解答】解：由题意知，第1个图形需要6根小木棒，第2个图形需要6×2+2＝14根小木棒，第3个图形需要6×3+2×2＝22根小木棒，按此规律，第n个图形需要6n+2（n﹣1）＝（8n﹣2）根小木棒，当8n﹣2＝2022时，解得n＝253，故选：B．7．(2023•玉林）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是（）A．4 B．2 C．2 D．0【分析】分别计算红跳棋和黑跳棋过2022秒钟后的位置，红跳棋跳回到A点，黑跳棋跳到F点，可得结论．【解答】解：∵红跳棋从A点按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，∴红跳棋每过6秒返回到A点，2022÷6＝337，∴经过2022秒钟后，红跳棋跳回到A点，∵黑跳棋从A点按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，∴黑跳棋每过18秒返回到A点，2022÷18＝112•••6，∴经过2022秒钟后，黑跳棋跳到E点，连接AE，过点F作FM⊥AE，由题意可得：AF＝AE＝2，∠AFE＝120°，∴∠FAE＝30°，在Rt△AFM中，AM＝AF＝，∴AE＝2AM＝2，∴经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是2．故选：B．8．(2023•荆州）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1；第二次，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形AnBn∁nDn的面积是（）A． B． C． D．【分析】连接A1C1，D1B1，可知四边形A1B1C1D1的面积为矩形ABCD面积的一半，则S1＝ab，再根据三角形中位线定理可得C2D2＝C1，A2D2＝B1D1，则S2＝C1×B1D1＝ab，依此可得规律．【解答】解：如图，连接A1C1，D1B1，∵顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，∴四边形A1BCC1是矩形，∴A1C1＝BC，A1C1∥BC，同理，B1D1＝AB，B1D1∥AB，∴A1C1⊥B1D1，∴S1＝ab，∵顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2，∴C2D2＝C1，A2D2＝B1D1，∴S2＝C1×B1D1＝ab，……依此可得Sn＝，故选：A．二．填空题（共10小题）9．(2023•青海）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第n个图中共有木料根．【分析】观察图形可得：第n个图形最底层有n根木料，据此可得答案．【解答】解：由图可知：第一个图形有木料1根，第二个图形有木料1+2＝3（根），第三个图形有木料1+2+3＝6（根），第四个图形有木料1+2+