第03讲 二次函数（含解析）-【提高班精讲课】2021-2022学年高一数学重点专题18讲（沪教版2020必修第一册上海专用）

第3讲二次函数的区间最值第3讲二次函数的区间最值知识梳理与应用主要考察：二次函数的区间最值一元二次函数在给定区间上的值域（以为例）：设，1．当时，的值域为；2.当时,，；此时根据二次函数的轴对称性，两个区间端点，距离对称轴较远的那一个端点函数值更大，即： （1）当时，； （2）当时，；3.当时，的值域为.基本思路：判断二次函数的对称轴与给定区间的位置关系；判断二次函数在给定区间上的单调性；确定二次函数在给定区间的最值；基础类型：不含参二次函数的区间最值【例1】（2021·上海市延安中学高一期末）★★☆☆☆函数在区间上的值域为____________.【答案】【详解】函数的对称轴为，所以可知函数在上是减函数，在上是增函数，所以函数最小值为，又因为时，；时，，所以函数最大值为，所以值域为.故答案为：.【练习】（2020·上海高一专题练习）★★☆☆☆求函数的值域______________．【答案】【详解】由题意，知：且，∴，所以函数值域为.进阶类型一：含参情况下二次函数的的区间最值当含有参数的时候，二次函数的对称轴与区间的位置关系无法确定，此时需要分类讨论对称轴与区间的位置关系：（1）轴动区间定【例2】（2017·上海市七宝中学高一期中）★★★☆☆设二次函数在区间上的最大值、最小值分别为，集合.（1）若，且，求；（2）若，且，记，求的最小值.【答案】（1）；（2）【详解】（1），，，有两根为1，2．由韦达定理得（2）若，方程有两相等实根，根据韦达定理得到，，所以，，，，其对称轴方程为，则（）又（）在区间，上为单调递增的，当时，（）（2）轴定区间动【例3】（2017·上海曹杨二中）★★★☆☆设，函数的最小值为.（1）求的解析式（2）画出函数的大致图形（3）求函数的最值【答案】（1）；（2）作图见详解；（3）最小值为，无最大值【详解】（1）由于函数对称轴为，当时，函数在闭区间上单调递增，故函数的最小值为；当，即时，故函数的最小值；当，即时，函数在闭区间上单调递减，故函数的最小值为；综上所述，，（2）作出的图像，如图所示：（3）由（2）的图像，函数的最小值为，无最大值.综上所述，函数的最小值为，无最大值.（3）已知区间最值求参数【例4】（2016·上海华师大二附中高一期中）★★★★☆已知函数；（1）若函数在区间上的最小值为，求实数的取值范围；（2）是否存在整数，，使得关于的不等式的解集恰好为，若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在整数，，，或，，使得关于的不等式的解集恰好为【详解】解：（1）函数的对称轴为，①当，即时，，不满足，②当，即时，符合题意.③，即时，.综上：实数的取值范围：.（2）假设存在整数，，使得关于的不等式的解集恰好为，即的解集为.可得，.即的两个实数根为，.即可得出.，.，当时，不存在，舍去，当时，，或，.故存在整数，，且，或，，使得关于的不等式的解集恰好为.【练习】1、（2021·上海市大同中学高一期末）★★★☆☆已知，，，.（1）当时，求函数的最小值；（2）当时，求函数的最大值.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）当时，，其中.①当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时，；②当时，函数在区间上单调递增，此时，.综上所述，；（2）当时，，其中.①当时，函数在区间上单调递增，；②当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，；③当时，函数在区间上单调递减，所以，.综上所述，.【练习】2、（2020·上海市行知中学高一月考）★★★☆☆已知函数．（1）若，求函数在区间上的值域；（2）若函数在区间上有最小值，求的值．【答案】（1）值域为；（2）或或．【详解】（1）当时，，其对称轴为所以，所以函数在区间上的值域为（2）函数图象的对称轴为当，即时，在区间上单调递增，解得或（舍）当，即时，在区间上单调递减，区间上单调递增解得当，即时，在区间上单调递减，解得或（舍）综上：或或进阶类型二：复合二次形式函数最值【例5】（2018·上海市罗店中学高一期末）★★★☆☆已知函数（1）若，求的值域；（2）当时，求的最小值.【答案】（1）（2）【详解】解：（1）当时,则因为,所以,.（2）令,因为,故,函数可化为,当时,；当时,；当时,；综上,.【练习】（2021·上海高三三模）★★★★☆已知函数.（1）设是图像上的两点，直线斜率存在，求证：；（2）求函数在区间上的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）当时，；当时，.【详解】（1）∵单调递增，单调递减，∴在定义域上是单调增函数，而，∴恒成立，结论得证.（2）由题意，有且，令，则，开口向上且对称轴为，∴当，即时，，即；当，即时，，即；

1、（2020·上海市嘉定区第二中学高一月考）★★★★☆已知函数.（1）若时，函数的最大值也是，求的值.（2）若函数，求函数的最小值.（提示，或）（3）若函数，，求函数的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）时，函数的最大值为；时，函数的最大值为.【详解】（1）在上递增，的最大值为，