湖南省株洲市大京乡大京中学高三数学理联考试卷含解析

湖南省株洲市大京乡大京中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2+x-6=0},则P∩Q等于(

)A.{2}

B.{1，2}

C.{2，3}

D.{1,2,3}参考答案：选A

.

P={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},Q={-3,2},P∩Q={2}.2.在等差数列｛an｝中，，公差，若前n项和Sn取得最小值，则n的值为（

）

7

8

7或8

8或9参考答案：C,由得，即。即，当时，。所以要使Sn取得最小值，则有最小，选C.3.已知某简单几何体的三视图如图所示，若主视图的面积为1，则该几何体最长的棱的长度为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C4.若集合，，则集合等于（）A.

B.

C.

D.参考答案：D5.是虚数单位，A.

B.

C.

D.参考答案：D6.设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A．20 B．35 C．45 D．55参考答案：D【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】先画出满足约束条件的平面区域，结合几何意义，然后求出目标函数z=2x+3y取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：令z=2x+3y可得y=，则为直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线l：2x+3y=0把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，由可得x=5，y=15，此时z=55故选D【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．7.已知实数满足，若目标函数的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A【知识点】简单的线性规划问题E5作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．

由目标函数z=-mx+y得y=mx+z，则直线的截距最大，z最大，直线的截距最小，z最小．

∵目标函数z=-mx+y的最大值为-2m+10，最小值为-2m-2，∴当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，-2）时，取得最小值，

∴目标函数z=-mx+y的目标函数的斜率m满足比x+y=0的斜率大，比2x-y+6=0的斜率小，即-1≤m≤2，【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，由z=-mx+y的最大值为-2m+10，即当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，-2）时，取得最小值，利用数形结合确定m的取值范围．8.下列命题说法正确的是（

）

A．命题“若,则”的否命题为：“若,则”

B．“”是“”的必要不充分条件

C．命题“,使得”的否定是：“,均有”

D．命题“若，则”的逆命题为真命题参考答案：【知识点】命题及其关系；充分、必要条件；含量词的命题的否定.

A2

A3【答案解析】B

解析：命题“若,则”的否命题为：“若,则”，故A不正确；因为，所以B正确；命题“,使得”的否定是：“,均有”,所以C不正确；显然D不正确.故选B.

【思路点拨】根据命题及其关系，充分、必要条件，含量词的命题的否定，逐个判断各说法的正误.9.若不重合的四点，满足，，则实数的值为

A.

B.

C.

D.参考答案：B，，，所以m-2=1,所以m=310.如图是某个集合体的三视图，则这个几何体的表面积是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点A是曲线上任意一点，则点A到直线=4的距离的最小值是________.参考答案：12.如图，一个树形图依据下列规律不断生长：

1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点．则第11行的实心圆点的个数是

．参考答案：5513.设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是

.参考答案：或14.已知函数若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_______参考答案：本题考查了数形结合的数学思想，难度较大．易知函数的图像如下图所示：

由上图可知．15.已知定义在R上的函数g（x）=2x+2﹣x+|x|，则满足g（2x﹣1）＜g（3）的x的取值范围是．参考答案：【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．【解答】解：∵g（x）=2x+2﹣x+|x|，∴g（﹣x）=2x+2﹣x+|﹣x|=2x+2﹣x+|x|=g（x），则函数g（x）为偶函数，当x≥0时，g（x）=2x+2﹣x+x，则g′（x）=ln2（2x﹣2﹣x）+1，则当x≥0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在[0，+∞）上为增函数，则不等式g（2x﹣1）＜g（3）等价为g（|2x﹣1|）＜g（3），即|2x﹣1|＜3，即﹣3＜2x﹣1＜3，解得﹣1＜x＜2，即x的取值范围是（﹣1，2），故答案为：（﹣1，2）．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．16.的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中常数项为▲参考答案：10略17.已知向量夹角为，且=_________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知函数f(x)=x3－ax2，a∈R.（1）当a=2时，求曲线y=f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；（2）设函数g(x)=f(x)+(x－a)cosx－sinx，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.参考答案：解：（Ⅰ）由题意，所以，当时，，，所以，因此，曲线在点处的切线方程是，即.（Ⅱ）因为

g（x）=f（x）+（x-a）cosx-sinx，所以

=x（x-a）-（x-a）sinx

=（x-a）（x-sinx），令

h（x）=x-sinx，则

，所以

h（x）在R上单调递增.因为

h（0）=0.所以

当x＞0时，h（x）＞0；

当x＜0时，h（x）＜0.（1）当时，，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.所以，当时，取到极大值，极大值是，当时，取到极小值，极小值是.（2）当时，，当时，，单调递增；所以，在上单调递增，无极大值也无极小值.（3）当时，，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.所以，当时，取到极大值，极大值是；当时，取到极小值，极小值是.综上所述：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.

19.（13分）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．参考答案：考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）查出正品数，利用古典概型的概率计算公式即可得出；（Ⅱ）（i）生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A次B次，利用相互独立事件的概率计算公式及数学期望的定义即可得出；（ii）先求出生产5件元件B所获得的利润不少于140元的正品数，再利用二项分布列的计算公式即可得出．解答： 解：（Ⅰ）元件A为正品的概率约为．

元件B为正品的概率约为．

（Ⅱ）（ⅰ）∵生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A次B次．∴随机变量X的所有取值为90，45，30，﹣15．

∵P（X=90）==；P（X=45）==；P（X=30）==；P（X=﹣15）==．∴随机变量X的分布列为：EX=．

（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有5﹣n件．依题意得50n﹣10（5﹣n）≥140，解得．所以n=4或n=5．

设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A，则P（A）==．点评：熟练掌握分类讨论的思想方法、古典概型的概率计算公式、相互独立事件的概率计算公式、数学期望的定义、二项分布列的计算公式是解题的关键．20.(本题满分12分)如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，则。（）若点Q的坐标是，求的值。（）设函数，求的值域。参考答案：(Ⅰ)由已知可得.所以

......6分(Ⅱ).因为，则，所以.故的值域是.......12分

21.如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，，E为棱AP的中点，且AD⊥CE.（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）当直线PB与底面ABCD成30°角时，求二面角B-CE-P的余弦值.参考答案：解：(Ⅰ)取的中点，连，，为等边三角形，，又，，又，又PD⊥平面ABCD，又PD平面PAD平面PAD⊥平面ABCD.………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，设菱形的边长为2，则，因为直线与底面成角，即…………………6分设为平面的一个法向量，则，令，则………………8分设为平面的一条法向量，则，令，则

……10分，由题可知二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为.………12分22.

已知椭圆：的离心率，且由椭圆上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知，过点作直线交椭圆于、两点（异于），直线、的斜率分别为、.试问是否为定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.参考答案：：（Ⅰ）由题意得，解得,，

所以椭圆的方程为.

………5分（Ⅱ