安徽省合肥市润安公学高三数学文期末试题含解析

安徽省合肥市润安公学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为，它们的平均数为，方差为；其中扫码支付使用的人数分别为，，，，，它们的平均数为，方差为，则，分别为（

）A.， B.， C.， D.，参考答案：C【分析】由样本数据的平均数和方差的公式，化简、运算，即可求解，得到答案.【详解】由平均数的计算公式，可得数据的平均数为数据的平均数为：，数据的方差为，数据的方差为：故选C.【点睛】本题主要考查了样本数据的平均数和方差的计算与应用，其中解答中熟记样本数据的平均数和方差的计算公式，合理化简与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.如图是某几何体的三视图，则其体积为

．参考答案：3.已知函数且则（

）

A.0

B.1

C.4

D.参考答案：A4.已知函数，则关于的方程的实根个数不可能为（

）（A）个

（B）个

（C）个

（D）个参考答案：A5.已知，且非p是非q的充分条件，则a的取值范围为（

）

A.

-1<a<6

B.

C.

D.

参考答案：答案：B6.设复数，则的共轭复数（

）A、

B、

C、

D、参考答案：D7.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（）A． B． C．2 D．参考答案：B【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据直三棱柱的性质和球的对称性，得球心O是△ABC和△A1B1C1的外心连线段的中点，连接OA、OB、OC、O1A、O1B、O1C．在△ABC中利用正、余弦定理算出O1A=1，由球O的体积算出OA=，然后在Rt△O1OA中，用勾股定理算出O1O=2，得三棱柱的高O1O2=4，最后算出底面积S△ABC=，可得此直三棱柱的体积．【解答】解：设△ABC和△A1B1C1的外心分别为O1、O2，连接O1O2，可得外接球的球心O为O1O2的中点，连接OA、OB、OC、O1A、O1B、O1C△ABC中，cosA==﹣∵A∈（0，π），∴A=根据正弦定理，得△ABC外接圆半径O1A==1∵球O的体积为V==，∴OA=R=Rt△O1OA中，O1O==2，可得O1O2=2O1O=4∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积S△ABC=AB?ACsin=∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为S△ABC×O1O2=故选：B【点评】本题给出直三棱柱的底面三角形的形状和外接球的体积，求此三棱柱的体积，着重考查了球的体积公式式、直三棱柱的性质和球的对称性等知识，属于中档题．8.若则实数的取值范围是（

）A．

B.

C.

D.参考答案：B9.已知集合且,若，则(

)A.－3≤m≤4

B.－3<m<4

C.2<m<4 D.2<m≤4参考答案：D10.函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的递减区间是()A.

B.

C.

D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的最大值是__________．参考答案：5略12.过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，则=______。参考答案：设及；则点到准线的距离为，得：

又。【命题立意】本题考查等直线与抛物线相交问题的运算。13.已知变量，满足，则的最小值为

．参考答案：0画出表示的可行域，如图，由，可得平移直线，由图知，当直线经过点，直线在以y轴上截距最小，此时最小值为，故答案为0.

14.已知，则=

.

参考答案：15.当函数取得最大值时，

.参考答案：16.已知命题p：“对?x∈R，?m∈R使4x－2x＋1＋m＝0”，若命题p是假命题，则实数m的取值范围是__________．参考答案：(－∞，1]略17.若将一颗质地均匀的骰子(各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷两次，向上的点数依次为m，n，则方程x2＋2mx＋n＝0无实数根的概率是________．参考答案：共有36种等可能基本事件，其中要求方程x2＋2mx＋n＝0无实根，即m2＜n的事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)共7个基本事件，因此所求概率为.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题14分)已知数列{an}中,a1=6,an+1=an+1,数列{bn},点(n,bn)在过点A(0,1)的直线l上,若l上有两点B、C,向量=(1,2).(1)求数列{an},{bn}的通项公式；(2)设cn=2,在ak与ak+1之间插入k个ck,依次构成新数列,试求该数列的前2013项之和;(3)对任意正整数n,不等式(1+)(1+)·…·(1+)?a3030恒成立,求正数a的范围.参考答案：解:(1)∵an+1?an=1且a1=6,\an=n+5

………1分设l上任意一点P(x,y),则=(x,y?1),由已知可得//.\y=2x+1,又过点(n,bn)\bn=2n+1

………4分(2)新数列：a1,c1,a2,c2,c2,a3,c3,c3,c3,a4,…,ak,ck,…,ak+1,共计项数：k+1+·k经估算k=62,k+1+·k=2016,项数接近2013,

………5分\S2013=(a1+a2+…+a62)+(1′c1+2′c2+…+62′c62)?2c62

………6分令T=1′c1+2′c2+…+62′c62,T=1′23+2′25+3′27+…+62′21254T=

1′25+2′27+…+61′2125+62′2127两式相减得：T=

………8分\S2013=+?2′2125=2263+

………9分(3)变量分离得：a￡恒成立.

………10分令g(n)=

………11分\=′=31

………13分

{g(n)}递增数列。\a?(0,g(1))=(0,]

………14分

略19.（本题12分）已知锐角中内角的对边分别为，且，向量,,且∥.

（1）求的大小；

（2）若，求的值.参考答案：∴又,且为锐角，∴∴

………………12分略20.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，CD=2，AC与BD交于O，且AC⊥BD，矩形ACEF⊥底面ABCD，M为EF上一动点，满足=λ．（Ⅰ）若AM∥平面EBD，求实数λ的值；（Ⅱ）当λ=时，锐二面角D﹣AM﹣B的余弦值为，求多面体ABCDEF的体积．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（I）连结OE，根据线面平行的性质可知OE∥AM，故而四边形EMAO为平行四边形，于是；（II）以O为原点建立空间坐标系，求出平面ADM和平面ABM的法向量，根据二面角的大小，列方程求出CE，代入棱锥的体积公式即可．【解答】解：（Ⅰ）连接OE，在梯形ABCD中，AB∥CD，∴△DOC∽△BOA，∴．∵AM∥平面BDE，平面ACM∩平面BDE=OE，AM?平面ACM，∴AM∥OE．又ME∥AO，∴四边形MEOA为平行四边形，∴EM=AO．∴==，即λ=．（Ⅱ）∵距形ACEF⊥底面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，∴CE⊥底面ABCD．∵，∴OM⊥底面ABCD．以O为原点，以OA，OB，OM所在直线为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系，设CE=a（a＞0），∵△DAB≌△CBA，∴∠OBA=OAB，∴OA=OB=2，同理OC=OD=，∴A（2，0，0），B（0，2，0），D（0，﹣，0），M（0，0，a），∴=（﹣2，0，a），=（﹣2，﹣，0），=（﹣2，2，0）．设平面AMD的法向量为=（x1，y1，z1），平面AMB的法向量为=（x2，y2，z2）．则，，∴，令x1=x2=a，得=（a，﹣2a，2），=（a，a，2）．∴cos＜，＞==，∴||=，解得：a=2．∴多面体的体积为V=VD﹣ACEF+VB﹣ACEF=+===12．21.

已知函数的最小正周期是，将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象．

(I)的解析式；

(Ⅱ)在△ABC.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，△ABC的面积为3，求边长a的值．参考答案：略22.如图（1），在平面四边形ABCD中，AC是BD的垂直平分线，垂足为E，AB中点为F，，，，沿BD将折起，使C至位置，如图（2）.（1）求证：；（2）当平面平面ABD时，求直线与平面所成角的正弦值.参考答案：（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）折叠过程中，保持不变，又由线面垂直，从而得证线线垂直。（2）由两平面垂直可得两两垂直，以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，由线面角的向量法求