随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量的引入与例1

、例2

定义:

设随机实验的样本空间为S={e}，X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值

函数,，X=X(e)为随机变量。

说明

举例与示意图2.2

返回目录

§1

随机变量

第2页,共83页，2024年2月25日，星期天

§2离散型随机变量及其分布

定义：若随机变量的取值是有限个或可列

个，则称之为离散型随机变量。

说明

要掌握离散型随机变量X的统计规律：

①知道X所有可能的取值;

②且知每一可能取值的概率。第3页,共83页，2024年2月25日，星期天分布律

定义：设离散型随机变量X所有可能取值

为xk,且P{X=xk}=pk,k=1,2,…（2.1）

我们称（2.1）式为离散型随机变量X的分布律。由概率定义我们得到以下两性质：

1.pk≧0,k=1,2,…（2.2）

2.(2.3)第4页,共83页，2024年2月25日，星期天

分布律还可以用表格来表示：(2.4)

例1Xx1,x2,…xn,…pKp1,pK,…pn,…第5页,共83页，2024年2月25日，星期天离散型随机变量

a.

(0—1)分布随机变量X只可能取0与1两个值，其分布律表格形式为：（0<p<1）表达式：P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0,1则称X服从参数为p的(0—1)分布重要或两点分布。（说明）X

01pk1-pp

第6页,共83页，2024年2月25日，星期天

b.

伯努利实验、二项分布

说明

举例

一、伯努利实验

定义：设实验结果只有两种可能，则称为伯努利实验。将伯努利实验独立地重复地进行n次，则称这n次实验叫n重伯努利实验。第7页,共83页，2024年2月25日，星期天

二、二项分布

定义：如果随机变量X的分布如下：

P(X=k)=Cnkpkqn-k,k=0,1,2,…n.(2.3)

其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的

二项分布，或用记号

来表示。二项分布的推导过程与说明

举例（例2，例3，例4

）第8页,共83页，2024年2月25日，星期天

C.泊松分布

定义：如果随机变量X的概率密度如下：

,k=0,1,2,…(>0),(2.4)

则称X服从参数为的泊松分布，记作：

说明

举例

返回目录第9页,共83页，2024年2月25日，星期天

§3随机变量的分布函数

定义： 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数：F(x)=P{X≦x}

称为X的分布函数。说明基本性质举例（例1，例2）

返回目录第10页,共83页，2024年2月25日，星期天

为了进一步用数学方法研究随机实验，我们把实验结果与实数对应起来，即将实验结果数量化，引入随机变量的概念。

随机实验的结果很大部分直接与数值有关,如：产品抽样中的次品数目，多次重复抛掷硬币的实验中出现正面次数等等。

而有的实验结果与数值无直接关系，我们可以把它映射为数值来表示，如：硬币抛掷中出现正面用“0”来表示，出现反面用“1”来表示。第11页,共83页，2024年2月25日，星期天例1：在一袋中装有编号分别为1，2，3的3只球，在袋中任取一只球，放回，再取一只球，记录它们的编号。考察两只球的编号之和。则实验的样本空间S={e}={(i,j)}i,j=1,2,3。i,j分别为第一，第二次取到球的号码。以X表示两球号码之和，得到样本空间的每一个样本点e，X都有一值与之对应，如图2-1。第12页,共83页，2024年2月25日，星期天例2：抛掷一硬币3次，考查3次抛掷中，出现H的总次数，并记为X。引用第一章§2的表示法，可得样本空间与X的取值的对应关系，如下表：

样本点HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX的值32221110第13页,共83页，2024年2月25日，星期天此前例1，例2中的X均为随机变量。

例3：某射手每次打中目标的概率为0.8，该射手不断向目标射击，直到打中目标为止，则此手所需射击次数X是一随机变量。

例4：某车站每间隔5分钟有一公共汽车经过。若某人随机到达此站，则他等车的时间X是一随机变量。

例5：某元件的可能寿命X是一随机变量。

例6：一新生婴儿的性别记为X，当是男婴取X为1，当为女婴时取X为0，则未出生前此婴儿的性别X为随机变量。第14页,共83页，2024年2月25日，星期天实值单值函数的映射不是指单射，而是相对于多值函数的一般映射。

严格定义中“集合{e|X(e)≦x,任x∈R}有确定的概率”应加入定义。但实际中不满足此情形很少见，固未加入定义。

本书中，一般大写：X，Y，Z,W，…表随机变量，小写：x,y,z,w，…表实数。更多第15页,共83页，2024年2月25日，星期天随机变量取值随实验结果而定，在实验之前不能预知它的结果,且其取值都有一定的概率,固与一般函数有本质区别。L为一实数集，X在L上取值记为{X∈L},它表示事件B={e|X(e)∈L},即B是S中使所有样本点e所组成的事件，此时有P{X∈L}=P(B)=P{e|X(e)∈L}。如：在例2中取X为2，记为{X=2}，它表事件B={HHT,HTH,THH},P{X=2}=P(B)=

P{HHT,HTH,THH}=3/8。第16页,共83页，2024年2月25日，星期天

例1：设一汽车在开往目的地的道路上要经四组信号灯,每组信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过。以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯组数（设各组信号灯的工作相互独立），求X的分布律。

分析：在第i(1,2,3,4)组信号灯前停下时，通过的信灯数为i-1且此事件发生的概率为(1/2)i-11/2(因子(1/2)i-1表示前i-1个允许通过的概率，因子1/2表示被第i个禁止通过的概率)，同理，能到达目的地的概率为(1/2)4。（解答）第17页,共83页，2024年2月25日，星期天

解：以p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，X所有可能取值为0，1，2，3，4。得X的分布律为：P{X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3,P{X=4}=(1-p)4。用表格表示如下：代入p=1/2可得结果，可验证此结果满足分布律两性质。X01234pk

p(1-p)

p

(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4

第18页,共83页，2024年2月25日，星期天

说明：

凡是可以用自然数1，2，…编号的无限数集均为可列的。如某城市120服务台一日内可能收到的呼唤次数是可列的，是一个离散型随机变量。但一灯泡可能的寿命大小却是不可列的，不是离散型随机变量。第19页,共83页，2024年2月25日，星期天

说明：任一实验，若结果只有两个即S={e1,e2},则总可定义：X=X(e)=，显然X服从(0—1)分布。比如新生婴儿是男还是女，明天是否下雨，抛一硬币是否出现正面等。第20页,共83页，2024年2月25日，星期天

说明：

记P()=p(0<p<1),则P()=1-p。n重伯努利实验定义中“重复”是指每次实验中发生的概率不变。“独立”是指各次实验互不影响。记第i次实验结果为ci,ci为，i=1,2,3,…n.由独立得到：P{c1,c2,…cn}=p(ci)p(c2)…p(cn).(2.5)

n重伯努利实验是一个很重要的数学模型，有二项分布，几何分布，巴斯卡分布等常见分布以它为模型。第21页,共83页，2024年2月25日，星期天举例抛掷一个硬币观察正面反面，就是一个伯努利

实验。若抛掷n次就是n重伯努利实验。抛掷一颗骰子，可得到6个点数，但是若我们考

察结果是否为“1点”与“非1点”，则就是一个伯努利

实验。若抛掷n次就是n重伯努利实验。在一批产品中，若做n次放回抽样，观察得到的

产品是否为次品,则为n重伯努利实验;若做n次不

放回抽样，由于各次实验不相互“独立”，故不是n

重伯努利实验。但是若此批产品的数目很大，抽

出的数目相对很小，则此时不放回抽样可看作放

回抽样,如此n次不放回抽样也是n重伯努利实验第22页,共83页，2024年2月25日，星期天

例2：按规定，某种型号的电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品。已知某一大批产品的一级品率为0.2，现在从中随机地抽取20只。问20只元件中恰有k只（k=0,1,…，20）为一级品的概率市多少。

分析：这是不放回抽样。由于元件总数很大，而抽取的元件数量相对很少，检查20只元件相当于做20重伯努利实验。记X表抽取的20只元件中一级品的个数，则：（解答）第23页,共83页，2024年2月25日，星期天解：以X表示20只元件中一级品的个数。则。将结果列表如下：P{X=0}=0.012P{X=1}=0.058P{X=2}=0.137P{X=3}=0.205P{X=4}=0.218P{X=5}=0.175P{X=6}=0.109P{X=7}=0.055P{X=8}=0.022P{X=9}=0.007P{X=10}=0.02

P{X=k}<0.001,当k≥11时第24页,共83页，2024年2月25日，星期天

例3：

某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率。

分析：400次射击可看成400重伯努利实验。击中的次数。“至少击中2次”等价于“击中次数不是0或1次”。（解答）

结论：a.决不可轻视小概率事件。b.当所求事件的概率很小或很大时，可以根据实际推断原理来判断实验的假设。第25页,共83页，2024年2月25日，星期天

解：设击中次数为X，则，

即：所求事件概率：

P{X≥2}=1－P{X=0}－P{X=1}=1－(0.98)400－400(0.02)(0.98)399

=0.9972第26页,共83页，2024年2月25日，星期天分析:

对第一种方法，“不能及时维修”等价于“4人中任1人负责的20台中有2台或2台以上的设备发生故障”。对第二种方法，“不能及时维修”等价于“80台中有4台或4台以上的设备发生故障”。（解答）例4：设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4个人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维护的概率大小。第27页,共83页，2024年2月25日，星期天解答：对第一种方法.以Ai(i=1,2,3,4,)表示“第i人维护的20台机器中发生故障不能及时维修”。则第一人维护的20台中同时刻发生故障的台数则发生故障不能及时维修的概率为（转下页）

第28页,共83页，2024年2月25日，星期天对第二种方法.80台中同时刻发生故障的设备台数 则发生故障不能及时维修的概率为比较第一、第二种方法。第二种方法虽然平均个人任务更重，工作效率却更高。

第29页,共83页，2024年2月25日，星期天分析：由分布函数定义，可根据随机变量X的分布律求出分布函数。再由随机变量落在任一区间上的概率与其分布函数的关系[如(3.1)]易求解。（解答）（结论）例1：设随机变量X的分布律为求X的分布函数，并求P{X≤1/2}，P{3/2<X≤5/2}，P{2≤X≤3}。X-123pk1/41/21/4第30页,共83页，2024年2月25日，星期天解：X仅在x=-1,2,3三点的概率≠0，根据分布函数定义及概率的有限可加性：即：F(x)的图形如图2—5，是一条阶梯形曲线，有x=-1,2,3三个跳跃点，跳跃值分别为1/4，1/2，1/4。（转下页）第31页,共83页，2024年2月25日，星期天由分布函数定义：P{X≤1/2}=F(1/2)=1/4,P{3/2<X≤5/2}=F(5/2)－F(3/2)=3/4－1/4=1/2,P{2≤X≤3}=F(3)－F(2)＋P{X=2}=1－3/4＋1/2=3/4.结论：对已知离散型随机变量X的分布律：P{X=xk}=pk,k=1,2,…由概率的可列可加性可得出X的分布函数：F(x)=P{X≤x

}=(3.2)它在x=x(k=1,2,…)处有跳跃点，跳跃值为P{X=xk}=pk。第32页,共83页，2024年2月25日，星期天分析：由题目已知可得:1.随机变量X的实际取值范围为[0，2]，故F(x)=0,x<0；F(x)=1,x≥2；

2.p{0≤X≤x}=kx2,其中k待定且0≤x≤2；

3.p{0≤X≤2}=1（必然事件概率为1）。由1,2,3三点易求X的分布函数。（解答）（结论）例2：

一个靶子是半径为2米的圆盘，射击中靶上任一个同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数。第33页,共83页，2024年2月25日，星期天解：由于随机变量X的实际取值范围为[0，2]，当x<0时,F(x)=0；当x≥2时，F(x)=1；当0≤x≤2时，P{0≤X≤x}=kx2,其中k待定。由于X必然落在[0，2]上，必然事件概率为1，所以p{0≤X≤2}=1=22k,故k=1/4。此时F(x)=P{X≤x}=P{X<0}+P{0≤X≤x}=F(0)+1/4x2=1/4x2

。综上所述：第34页,共83页，2024年2月25日，星期天

F(x)图形是一个连续曲线如图2—6所示。

F(x)还可写成以下形式：其中

F(x)恰是非负函数f(t)在区间(-∞,x]上积分，此时，我们称X为连续型随机变量。第35页,共83页，2024年2月25日，星期天基本性质：F(x)是一个增函数.0≤F(x)≤1且

3.F(x+0)=F(x),即F(x)是右连续的.

证明性质1，2，3分别要利用概率的：1.非负性，2.规范性，3.可列可加性.故分布函数的三个基本性质正好对应于概率的三个基本性质。第36页,共83页，2024年2月25日，星期天证明：第37页,共83页，2024年2月25日，星期天分布函数F(x)表示事件{X≤x}(即X的取值落在区间(－∞,x]上)的概率。对于任意实数x1,x2(x1<x2)，有

p{x1<X≤x2}=p{X≤x2}－p{X≤x1}

=F(x2)－F(x1)。(3.1)已知X的分布函数，就能知道X落在任一区间

(x1,x2]上概率，分布函数完整描述了随机变量的统计规律性。通过分布函数，我们能更进一步利用数学分析方法研究随机变量。第38页,共83页，2024年2月25日，星期天二项分布的数学背景

在n重伯努利实验中，p为事件A在每次实验中发生的概率，定义随机变量X为：“n重伯努利实验中事件A发生的次数”，此时X所满足的分布律就是二项分布。公式中参数n,p分别表示伯努利实验的重数，事件A发生的概率。当n=1时，二项分布退化为

P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0,1.

成为（0—1）分布。（转下页）第39页,共83页，2024年2月25日，星期天二项分布分表达式中Cnkpkqn-k刚好是二项式(p+q)n的展开式中出现的pk那一项，故称X服从参数n,p为的二项分布。X所有可能取值为0，1，2，…，n。显然

1.P{X=k}≥0，k=0,1,2,…n;

二项分布满足分布律两性质。第40页,共83页，2024年2月25日，星期天

求P{X=k}，即是求n重伯努利实验中事件A发生k次的概率。事件A发生k次的实验的可能方式有种，它们是两两互不相容的，且每种发生的概率相同。由于各次实验相互独立,故每种方式发生的概率为:pk(1－p)n-k。记q=1－p，即有：第41页,共83页，2024年2月25日，星期天为泊松

分布参数且必大于0；X所有可能取值为0，1，2，…；易证

1.P{X=k}≥0，k=0,1,2,…n;

满足分布律性质。k=0时P{X=k}取最大值;当

以k与P{X=k}分别作为横纵轴的图形呈“峰”形。第42页,共83页，2024年2月25日，星期天现已发现许多随机现象服从泊松分布。这情形特别集中在两个领域中。一是社会生活中：如电话交换台中收到的呼叫次数，公共汽车站到来的乘客数，某地区某时间间隔内发生的交通事故等等。二是物理学领域：放射性物质经过某区域的质点数，热电子的发射，显微镜下某区域的微生物或血球数目等等。因此，泊松分布在运筹学，管理科学，物理学等方面有重要地位。第43页,共83页，2024年2月25日，星期天back第44页,共83页，2024年2月25日，星期天

§4连续型随机变量及其概率概布

定义概率密度的性质注意几种重要的连续型随机变量

1）均匀分布

2）指数分布

3）正态分布

第45页,共83页，2024年2月25日，星期天定义：

若对随机变量的分布函数F(x)，存在非负数f(x)，使对于任意实数x有

(4.1)

则称X为连续型随机变量。其中f(x)称为的概率密度函数。返回第46页,共83页，2024年2月25日，星期天定义：

若对随机变量的分布函数F(x)，存在非负数f(x)，使对于任意实数x有

(4.1)

则称X为连续型随机变量。其中f(x)称为的概率密度函数。返回第47页,共83页，2024年2月25日，星期天

解:

(1),

(2),(3)第48页,共83页，2024年2月25日，星期天

注意：1改变f(x)的个别值并不影响F(x)的取值。

2P{x1<X≤x2}表示在区间(x1,x2]上曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积.第49页,共83页，2024年2月25日，星期天3P{x<X≤x+△x}≈f(x)△x

4P{X=a}=0,其中a为任意实数。

5P{a<X≤b}=P{a<X<b}=P{a≤X≤b}.返回第50页,共83页，2024年2月25日，星期天（一）均匀分布

1定义：连续型随机变量X具有概率密度

则称X在(a,b)上服从均匀分布，

记为：

X～U(a,b).

几种重要的连续型随机变量2分布函数

F(x)=第51页,共83页，2024年2月25日，星期天

3性质：X落在(a,b)中任意等长度的子区间上的等可能性相同。对任意L，若a≤c<c+L≤b,即在长度为L的子区间（c,c+L）上有

P{c<X≤c+L}=

4例题2返回第52页,共83页，2024年2月25日，星期天（二）指数分布1

定义：设连续型随机变量X的概率密度为

其中为常数，则称X服从参数为的指数分布。2分布函数

返回第53页,共83页，2024年2月25日，星期天

3性质：指数分布的无记忆性对于任意s,t>0,有P{X>s+t|X>s}=P{X>t}证明：P{X>s+t|X>s}=P{X>s+t,X>s}/P{X>s}=P{X>s+t}/P{X>s}=[1-F(s+t)]/[1-F(s)]=

=P{X>t}.

第54页,共83页，2024年2月25日，星期天1定义：设连续型随机变量X的概率密度为

(4.1)

其中为常数，则称X服从参数为的

正态分布或高斯分布，记为X~N()。2分布函数

F(X)=（三）正态分布返回第55页,共83页，2024年2月25日，星期天(1)f(x)≥0

(2)

(3)曲线关于x=对称。3正态分布概率密度的性质(4)当x=取得最大值

(5)改变对图形的影响。（制图）第56页,共83页，2024年2月25日，星期天4标准正态分布若X~N(),当

则称X服从标准正态分布。5

定理

若X~N（），则Z=

Z~N（0，1）。

第57页,共83页，2024年2月25日，星期天

6标准正态分布的性质及应用

第58页,共83页，2024年2月25日，星期天（3）3法则（4）标准正态分布的分位点（定义）

返回目录第59页,共83页，2024年2月25日，星期天

例3将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器整定在液体的温度（以计）是一个随机变量，且XN（d,0.5)（1）若d=90,求X小于89的概率。

（2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99,问至少为多少？

求解第60页,共83页，2024年2月25日，星期天

（1）P{X<89}第61页,共83页，2024年2月25日，星期天

(2)

第62页,共83页，2024年2月25日，星期天第63页,共83页，2024年2月25日，星期天返回第64页,共83页，2024年2月25日，星期天第65页,共83页，2024年2月25日，星期天第66页,共83页，2024年2月25日，星期天第67页,共83页，2024年2月25日，星期天定义：设X~N（0，1），若满足条件

则称点为标准正态分布的分位点。（图形）0.0010.0050.010.0250.050.103.0902.5762.3271.9601.6451.282例如：第68页,共83页，2024年2月25日，星期天

§5随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数分布连续型随机变量的函数概率分布定理第69页,共83页，2024年2月25日，星期天

离散型随机变量的函数分布