福建省漳州市龙华中学高三数学理测试题含解析

福建省漳州市龙华中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若向量与的夹角为120°，且，则有

A.

B.

C.

D.参考答案：A略2.已知数列{an}为等比数列，a4+a7=2，a5?a6=﹣8，则a1+a10的值为(

)A．7 B．﹣5 C．5 D．﹣7参考答案：D【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】利用数列的通项公式，列方程组求解a1，q的值，在求解a1+a10的值【解答】解：a4+a7=2，a5?a6=﹣8，由等比数列的性质可知a5?a6=a4?a7a4?a7=﹣8，a4+a7=2，∴a4=﹣2，a7=4或a4=4，a7=﹣2，a1=1，q3=﹣2或a1=﹣8，q3=a1+a10=﹣7故选：D【点评】本题考查了数列的基本应用，典型的知三求二的题型．3.已知等差数列的前项和为，且,则（

）A．

B．

C．

D．4参考答案：4.设集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x2+2x﹣3＜0}，则A∩B=（）A．{﹣1} B．{﹣1，0} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0}参考答案：B【分析】分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x2+2x﹣3＜0}={x|（x﹣1）（x+3）＜0}={x|﹣3＜x＜1}，∴A∩B={x|﹣1＜x＜0}={﹣1，0}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．5.若函数的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为（

）A

（

B（）

C（）

D（0，0）参考答案：答案：C解析：因为的周期为1，所以的对称中心为（x，0）而

6.复数z=的共轭复数是(

)A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi的形式，然后求法共轭复数即可．【解答】解：复数z====﹣1+i．所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i．故选D．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．7.若a＜b＜0，则下列结论中正确的是（）A．a2＜b2 B．ab＜b2 C．（）a＜（）b D．+＞2参考答案：D考点：不等式比较大小．专题：不等式的解法及应用．分析：利用不等式的性质、函数的单调性即可判断出．解答：解：∵a＜b＜0，∴a2＞b2，ab＞b2，，=2．因此只有D正确．故选：D．点评：本题考查了不等式的性质、函数的单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为1.49元，1.31元，2.19元，3.40元，0.61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数n==10，再利用列举法求出其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的情况种数，帖经能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率．【解答】解：所发红包的总金额为10元，被随机分配为1.49元，1.81元，2.19元，3.41元，0.62元，0.48元，共6份，供甲、乙等6人抢，每人只能抢一次，基本事件总数n==10，其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的情况有：（0.61，3.40），（1.49，3.40），（1.31，3.40），（2.19，3.40），共有4种，∴甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率p==．故选：A．9.已知函数的图像是下列四个图像之一，且其导函数的图像如左图所示,则该函数的图像是（）

A

B

C

D参考答案：B10.在复平面内复数、(是虚数单位)对应的点在（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.tanα＝2，则＋cos2α＝_________________.参考答案：16/512.定义域是一切实数的函数，其图像是连续不断的，且存在常数使得对任意实数x都成立，则称是一个“的相关函数”。有下列关于“的相关函数”的结论：（1）是常值函数中唯一一个“的相关函数”;(2)是一个“的相关函数”；（3）“的相关函数”至少有一个零点。其中结论正确的是_________参考答案：(3)_.略13.在直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在唯一一点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的非零横坐标是．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相切，根据两圆的半径长，能求出结果．【解答】解：设点M（x，y），由MA=2MO，知：=2，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，圆C上存在唯一一点M，使|MA|=2|MO|，∴圆C与圆D相切，∴|CD|=1或CD=3，∵|CD|=，∴解得a=0或a=．∴圆心C的非零横坐标是．故答案为：．14.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

．参考答案：由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高为4，，底面梯形的上底为4，下底为5，腰,所以梯形的面积为，梯形的周长为，所以四个侧面积为，所以该几何体的表面积为。15.已知双曲线的左右焦点，是双曲线右支上一点，在上投影的大小恰好为，且它们夹角为，则双曲线离心率是

.参考答案：16.函数f（x）=sin2（x+）﹣sin2（x﹣），x∈（，）的值域是．参考答案：（，1]【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角函数中的恒等变换可求得f（x）=sin2x，x∈（，）?2x∈（，），利用正弦函数的单调性与最值即可求得其值域．【解答】解：∵f（x）=sin2（x+）﹣sin2（x﹣）=﹣=（sin2x+sin2x）=sin2x，∵x∈（，），∴2x∈（，），∴＜sin2x≤1，即当x∈（，）时，函数f（x）=sin2（x+）﹣sin2（x﹣）的值域是（，1]．故答案为：（，1]．17.已知数列{an}的前n项和Sn=－ban+1－，其中b是与n无关的常数，且0＜b＜1，若Sn存在，则Sn=

.参考答案：答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设.（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ），，求实数m的取值范围.参考答案：(Ⅰ)，由解得，故不等式的解集为．(Ⅱ)由(Ⅰ)及一次函数的性质知：在区间为减函数，在区间上为增函数，而，故在区间上，，．由．所以且，于是且，故实数的取值范围是．19.设正项等比数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，令数列的前项和为．证明：．参考答案：（1）由题意可得解得所以（2）=所以=因为，所以

略20.已知关于x的二次函数．

（1）求证：对于任意，方程必有实数根；

（2）若，求证：方程在区间上各有一个实数根．参考答案：解析：(1)由知必有实数根.或由得必有实数根．(2)当时，因为，，，所以方程在区间上各有一个实数根．21.已知函数f（x）=（ax2+x）ex其中e是自然数的底数，a∈R．（Ⅰ）当a＜0时，解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若f（x）在[﹣1，1]上是单调增函数，求a的取值范围；（Ⅲ）当a=0时，求使方程f（x）=x+2在[k，k+1]上有解的所有整数k的值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）由ex＞0，f（x）＞0可化为ax2+x＞0，在a＜0时，解关于x的不等式ax2+x＞0即可；（Ⅱ）f（x）在[﹣1，1]上是单调增函数，则f，（x）≥0在[﹣1，1]上恒成立；讨论a=0、a＞0、a＜0时f，（x）的情况，求出a的取值范围；（Ⅲ）a=0时，方程为xex=x+2，由ex＞0，知x≠0，原方程化为ex﹣﹣1=0；设h（x）=ex﹣﹣1，求h（x）在x≠0时的零点所在的区间，从而确定整数k的值．【解答】解：（Ⅰ）∵ex＞0，∴当f（x）＞0时即ax2+x＞0，又∵a＜0，∴原不等式可化为x（x+）＜0，∴f（x）＞0的解集为（0，﹣）；（Ⅱ）∵f（x）=（ax2+x）ex，∴f，（x）=（2ax+1）ex+（ax2+x）ex=[ax2+（2a+1）x+1]ex，①当a=0时，f，（x）=（x+1）ex，∵f，（x）≥0在[﹣1，1]上恒成立，当且仅当x=﹣1时取“=”，∴a=0满足条件；②当a≠0时，令g（x）=ax2+（2a+1）x+1，∵△=（2a+1）2﹣4a=4a2+1＞0，∴g（x）=0有两个不等的实根x1、x2，不妨设x1＞x2，因此f（x）有极大值和极小值；若a＞0，∵g（﹣1）?g（0）=﹣a＜0，∴f（x）在（﹣1，1）内有极值点，∴f（x）在[﹣1，1]上不单调；若a＜0，则x1＞0＞x2，∵g（x）的图象开口向下，要使f（x）在[﹣1，1]单调递增，由g（0）=1＞0，∴即，∴﹣≤a≤0；综上可知，a的取值范围是[﹣，0]；（Ⅲ）当a=0时，方程f（x）=x+2为xex=x+2，∵ex＞0，∴x=0不是原方程的解，∴原方程可化为ex﹣﹣1=0；令h（x）=ex﹣﹣1，∵h，（x）=ex+＞0在x∈（﹣∞0）∪（0+∞）时恒成立，∴h（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上是单调增函数；又h（1）=e﹣3＜0，h（2）=e2﹣2＞0，h（﹣3）=e﹣3﹣＜0，h（﹣2）