湖北省荆州市监利县朱河高级中学高三数学文期末试题含解析

湖北省荆州市监利县朱河高级中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设复数z满足，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的S=（

）A．5

B．6

C.8

D．13参考答案：C输入，成立，；成立，；成立，.不成立，输出.故选C.

3.已知函数f（x）=（a＞0，a≠1）的图象上关于直线x=1对称的点有且仅有一对，则实数a的取值范围是（）A．[，]∪{} B．[，）∪{} C．[，]∪{} D．[，）∪{}参考答案：D【考点】5B：分段函数的应用．【分析】若函数f（x）=（a＞0，a≠1）的图象上关于直线x=1对称的点有且仅有一对，则函数y=logax与y=2|x﹣5|﹣2在[3，7]上有且只有一个交点，解得实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=（a＞0，a≠1）的图象上关于直线x=1对称的点有且仅有一对，∴函数y=logax，与y=2|x﹣5|﹣2在[3，7]上有且只有一个交点，当对数函数的图象过（5，﹣2）点时，由loga5=﹣2，解得a=；当对数函数的图象过（3，2）点时，由loga3=2，解得a=；当对数函数的图象过（7，2）点时，由loga7=2，解得a=．故a∈[，）∪{}，故选：D．4.函数的零点所在区间是

A．（，0）

B．（0，1）

C．（1，2）

D．（2，3）

参考答案：C略5.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，其余的人做问卷B．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．15 B．16 C．17 D．18参考答案：C【考点】简单随机抽样．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由1≤30n﹣21≤450，求得正整数n的个数，即为得出结论．【解答】解：∵960÷32=30，∴由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，由1≤30n﹣21≤450，n为正整数可得1≤n≤15，∴做问卷C的人数为32﹣15=17，故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．6.已知函数，若，则A.

1

B.－1

C.－2

D.2参考答案：C7.直线与相交于点，动点、分别在直线与上且异于点，若与的夹角为，，则的外接圆的面积为

A.

B.

C.

D.参考答案：B由题意中，，由正弦定理可知，由此，，故选B.8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图得该几何体是四棱锥，结合图中数据求出它的体积．【解答】解：由三视图知该几何体是四棱锥，且底面是边长为4的正方形，高为4×sin60°=2，∴该四棱锥的体积为V=×42×2=．故选：C．9.由函数的图象与直线及所围成的一个封闭图形的面积是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略10.设集合,,且都是集合的子集.如果把叫集合的“长度”,则集合M∩N的长度的取值范围是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设集合A＝｛x｜－＜x＜2｝，B＝｛x｜｝，则A∪B＝___________．参考答案：｛x｜－1≤x＜2｝略12.已知棱长为2的正方体内接于球O，点P是正方体的一个顶点，点Q是正方体一条棱的中点，则直线PQ被球O截得线段长的最大值为__.参考答案：【分析】由题可得球的半径为正方体的体对角线的一半，当直线被球截得线段最长时，两点刚好在正方体体对角线的两条棱上。【详解】由题意可得，如下图：如图，为正方体的两底边对角线与棱构成的矩形，其中。由正方体的对称性和球的对称性可知，当点为点对角线棱的中点时被球截得线段最长由图可得由余弦定理得【点睛】本题主要考查了正方体与球的组合体，把空间问题转化成平面问题是本题的关键，本题难度较大。13.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，若{an}和{Sn}都是等差数列，且公差相等，则a2=

.

参考答案：由等差数列前n项和性质得点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.14.若实数，满足则的取值范围是

．参考答案：作出可行域如图所示：表示圆心为(0,0)，半径为的圆作图可知当圆与直线相切时z值最小，且为当经过点(－1,2)或者点(1,2)时，z最大，且为5∴

15.记的反函数为，则方程的解

．参考答案：216.设随机变量，则

.参考答案：17.已知，则

.参考答案：∵，∴，由正切的二倍角公式，∴答案三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知曲线C：，直线l：．（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（2）已知点P为曲线C上的一个动点，求点P到直线l的距离的最大值及最小值．参考答案：【考点】直线的参数方程．【分析】（1）由题意直接写出曲线C的参数方程，消去参数t可得直线l的普通方程；（2）设点P的坐标为（2cosθ，3sinθ），由点到直线的距离公式表示出点P到直线l的距离d，由辅助角公式化简后，由正弦函数的最值求出点P到直线l的距离的最大值及最小值．【解答】解：（1）∵曲线C：，∴曲线C的参数方程为：（θ为参数），∵直线l：．∴消去t得，直线l的普通方程为：2x+y﹣6=0；（2）设点P的坐标为（2cosθ，3sinθ），则点P到直线l的距离设为d，则（其中）∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴，，即点P到直线l的距离的最大值及最小值分别为：、．19.正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M在线段EC上且不与E，C重合．（Ⅰ）当点M是EC中点时，求证：BM∥平面ADEF；（Ⅱ）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥M﹣BDE的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（I）三角形的中位线定理可得MN∥DC，MN=．再利用已知可得，即可证明四边形ABMN是平行四边形．再利用线面平行的判定定理即可证明．（II）取CD的中点O，过点O作OP⊥DM，连接BP．可得四边形ABOD是平行四边形，由于AD⊥DC，可得四边形ABOD是矩形．由于BO⊥CD，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，ED⊥AD，可得ED⊥平面ADCB，平面CDE⊥平面ADCB．BO⊥平面CDE．于是BP⊥DM．即可得出∠OPB是平面BDM与平面ABF（即平面ABF）所成锐二面角．由于cos∠OPB=，可得BP=．可得sin∠MDC==．而sin∠ECD==．而DM=MC，同理DM=EM．M为EC的中点，利用三棱锥的体积计算公式可得VM﹣BDE=VB﹣DEM=．【解答】（I）证明：取ED的中点N，连接MN．又∵点M是EC中点．∴MN∥DC，MN=．而AB∥DC，AB=DC．∴，∴四边形ABMN是平行四边形．∴BM∥AN．而BM?平面ADEF，AN?平面ADEF，∴BM∥平面ADEF．（Ⅱ）取CD的中点O，过点O作OP⊥DM，连接BP．∵AB∥CD，AB=CD=2，∴四边形ABOD是平行四边形，∵AD⊥DC，∴四边形ABOD是矩形．∴BO⊥CD．∵正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，ED⊥AD，∴ED⊥平面ADCB．∴平面CDE⊥平面ADCB．∴BO⊥平面CDE．∴BP⊥DM．∴∠OPB是平面BDM与平面ABF（即平面ABF）所成锐二面角．∵cos∠OPB=，∴sin∠OPB=．∴=，解得BP=．∴OP=BPcos∠OPB=．∴sin∠MDC==．而sin∠ECD==．∴DM=MC，同理DM=EM．∴M为EC的中点，∴，∵AD⊥CD，AD⊥DE，且DE与CD相交于D∴AD⊥平面CDE．∵AB∥CD，∴三棱锥B﹣DME的高=AD=2，∴VM﹣BDE=VB﹣DEM==．【点评】本题考查了三角形的中位线定理、梯形的定义、平行四边形的判定与性质定理、线面平行的判定定理、线面面面垂直的判定与性质定理、二面角的作法与应用、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.（本小题满分14分）已知函数.（I）若函数的图象在处的切线与直线平行，求的值；（II）在（I）的条件下方程在区间上两个不同的实数根，求实数b的取值范围；（III）若在区间上存在一点，使得成立，求实数a的取值范围.参考答案：（Ⅰ）函数的定义域为，.-----------------2分由题意，解得.----------------3分（II）函数的定义域为，当时，，.---------------------4分在上，，单调递减，在上，，单调递增，----------------------------5分，，.由题意，即.----------7分（Ⅱ）在上存在一点，使得成立等价于，，①当时，即，在上，单调递增，，可得.-------------------------------8分②当时，即，在上，，单调递减，在上，，单调递增，，----------------------------------------10分因为，所以，，此时，不成立.--------------------------------------11分③当时，即时，在上，单调递减，，可得，因为，所以.----------------------------------------13分综上可得，所求实数的取值范围是.--------------------14分21.（12分）如图所示，光线从点A（2，1）出发，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰好经过点D（1，2）．（1）求直线BC的方程；（2）求线段BC的中垂线方程．参考答案：考点： 与直线关于点、直线对称的直线方程．专题： 直线与圆．分析： （1）求出点A（2，1）关于x轴的对称点A′（2，﹣1），点D（1，2）关于y轴的对称点D′（﹣1，2），然后由直线方程的两点式求得直线BC的方程；（2）由（1）求得B，C的坐标，进一步求得BC的中点坐标，再求出直线BC的斜率，得到BC的中垂线的斜率，代入直线方程点斜式得答案．解答： （1）点A（2，1）关于x轴的对称点为A′（2，﹣1），点D（1，2）关于y轴的对称点为D′（﹣1，2），根据反射原理，A′，B，C，D′四点共线．∴直线BC的方程为，即x+y﹣1=0；（2）由（1）得B（1，0），C（0，1）．∴BC的中点坐标为（），kBC=﹣1．∴线段BC的中垂线方程为，即x﹣y