第07讲函数的单调性及其应用教师版

第07讲函数的单调性及其运用【必备知识】1函数单调性的判断（1）函数递增（2）函数递减（3）复合函数单调性判断：同增异减.2函数的单调性常用结论（1）； （2）；（3）； （4）；（5）负号和倒数改变单调性，根号维持单调性..3对勾函数与飘带函数图像：对勾函数（）飘带函数（）【题型精讲】【题型一函数单调性的判断】【题1】如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】运用增函数的定义依次判断各个选项即可.【详解】对于A项，因为在上是增函数，所以对于任意的，（），当时，，所以，，所以，当时，，所以，，所以，综述：，故A项正确；对于B项，因为在上是增函数，所以对于任意的，（），当时，，所以，，所以，当时，，所以，，所以，综述：，故B项不成立；对于C项、D项，由于，的大小关系不确定，所以与的大小关系不确定，故C项不成立，D项不成立.故选：A.【题2】下列函数在区间上为增函数的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，逐项判断函数在上的单调性作答.【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是；对于B，函数在上单调递增，B是；对于C，函数在上单调递减，C不是；对于D，函数在上不单调，D不是.故选：B【题3】函数的单调减区间是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由二次函数的性质得出单调减区间.【详解】画出在R上的图象，如图，图象开口向下，且对称轴，可知函数在上递减．故选：A．【题4】下列四个函数中，在上单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一次函数、二次函数、反比例函数的单调性判断各项即可.【详解】对于A，，在区间为减函数，故A不符合题意；对于B，的对称轴为直线，且开口向上，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故B不符合题意；对于C，在区间上单调递增，故C符合题意；对于D，在区间为减函数，故D不符合题意.故选：C【题5】(多选)下列说法中，正确的是（

）A．若对任意，，当时，，则在上是增函数B．函数在上是增函数C．函数在定义域上是增函数D．函数的单调减区间是和【答案】AD【分析】根据函数的单调性定义判断A，由二次函数和反比例函数性质判断BCD．【详解】对于A：若对任意，，当时，，则有，由函数单调性的定义可知在上是增函数，故A正确．对于B，由二次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，故B错误；对于C，由反比例函数单调性可知，在和上单调递增，故C错误；对于D：由反比例函数单调性可知，单调减区间是和，故D正确．故选：AD．【题6】(多选)下列函数中，在上为增函数的是（）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】因得，可化简各函数解析式，转化为基本初等函数的单调性判断.【详解】在A中，当时，在上为减函数；在B中，当时，在上是增函数；在C中，当时，在上是增函数；在D中，当时，在上为增函数.故选：BCD.【题7】函数的值域为．【答案】【分析】利用对勾函数单调性可知函数在时取得最小值，比较端点处的函数值可得最大.【详解】由对勾函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有最小值，又所以当时，函数有最大值，故函数的值域为．故答案为：．【题8】函数，对任意的，总存在，使得成立，则a的取值范围为．【答案】【分析】本题的含义是在上的最小值大于等于在上的最小值，分别求和在对应区间上的最小值即可.【详解】对于，显然是增函数，，最小值为；对于，当时，，即；当时，，，无解；综上，a的取值范围是；故答案为：.【题9】已知函数过点．(1)求的解析式；(2)判断在区间上的单调性，并用定义证明．(3)求函数在上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)在区间上单调递增，证明见解析(3)最小值为，最大值为.【分析】（1）把点代入函数解析式，求出的值，可得的解析式；（2）利用定义法证明函数单调性；（3）利用函数单调性，可函数在区间内的最值.【详解】（1）由函数过点，有，解得，所以的解析式为：．（2）在区间上单调递增.证明：，且，有．由，得．则，即．所以在区间上单调递增．（3）由在上是增函数，所以在区间上的最小值为，最大值为.【题10】已知函数．(1)作出函数的图象；(2)根据图象写出的单调递增区间．【答案】(1)见解析(2)，【分析】（1）分类讨论去掉绝对值，转化为分段函数，根据二次函数画出图象；（2）由图象写出函数单调区间.【详解】（1）由，作出函数图象，如图，（2）由图象可知，函数单调增区间为，.【题型二已知函数单调性求参数的取值范围】【题1】“函数在上为增函数”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】由函数的单调性，结合一次函数性质求参数范围，根据充分、必要性定义判断条件间的关系.【详解】由在上为增函数，则，所以“函数在上为增函数”是“”的必要不充分条件.故选：B【题2】若在上单调递减，则实数满足（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】函数的图象是开口向上，且以为对称轴，则，解不等式即可得出答案.【详解】函数的图象是开口向上，且以为对称轴，若在上单调递减，所以，解得：.故选：B.【题3】若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数的性质即可求解.【详解】已知是二次函数，其对称轴为，开口向上，要使得函数在区间上是减函数，则必须，即，所以实数的取值范围是.故选：D.【题4】若函数在上单调函数，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出函数的对称轴，讨论对称轴与区间的关系，从而得出的范围；【详解】函数的对称轴是，若在区间上是单调函数，则可能单调递增或者单调递减，则，即时，在上单调递减，当，即时，在上单调递增.于是故选：C【题5】若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出给定二次函数的单调递减区间，再利用集合的包含关系求解作答.【详解】函数的单调递减区间为，因为函数在区间上是减函数，则，因此，解得，所以实数的取值范围是.故选：C【题6】函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】令二次函数对称轴大于小于即可求解.【详解】的对称轴为：，要使函数在区间上单调递增，则，解得.故选：B.【题7】已知在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出二次函数的对称轴，再结合单调性列式即可求得结果.【详解】因为的对称轴为，又因为在上是单调函数，所以或，解得或，所以m的范围是，故选：D.【题8】函数在上严格增，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由函数的单调性列式求解．【详解】在上单调递增，要使得在上单调递增，则，解得.故选：A【题9】(多选)设函数，当为上增函数时，实数a的值可能是（

）A．－1 B．－2 C．－3 D．－4【答案】BCD【分析】等价于函数，分别递增，且函数在处的函数值小于等于函数在处的函数值.据此可得答案.【详解】由题，函数对称轴为，要使其在上递增，则；要使在上递增，则；要使为上增函数，则函数在处的函数值小于等于函数在.综上，.故选：BCD【题10】(多选)已知函数在上的值域为，则实数的值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】BCD【分析】配方后得到当时，取得最小值，结合，求出，得到答案.【详解】，当时，单调递减，当时，单调递增，故当时，取得最小值，又，故要想在上的值域为，则要，故实数的值可以是.故选：BCD【题11】若函数在上为减函数，在上为增函数，则.【答案】【分析】根据条件求得函数的对称轴，从而得到的值，进而求得.【详解】因为函数在上为减函数，在上为增函数所以的图象的对称轴为，解得：，则，所以，故答案为：.【题12】函数在区间单调递减，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据二次函数的开口方向及对称轴，可确定函数的单调区间，从而列出不等式求解即可.【详解】函数为二次函数，开口向上，且对称轴方程为，则的增区间为，减区间为，故若函数在区间单调递减，则有.故答案为：【题13】若函数在上单调递增，则实数的取值范围是.【答案】【分析】要求分段函数每一段上均单调递增，且分段处，右端函数值大于等于左端函数值，从而得到不等式组，求出实数的取值范围.【详解】根据题意得，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：【题14】已知在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为.【答案】【分析】根据单调性分别列不等式计算即可.【详解】由在区间上是单调减函数，有解得，则的取值范围为.故答案为:.【题15】已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据二次函数的对称轴，结合已知可得.【详解】函数关于对称，因为函数在上具有单调性，所以，或．故答案为：【题16】已知在区间上是严格增函数，则的取值范围是．【答案】【分析】先对函数解析式变形，结合反比例函数的单调性可得答案.【详解】，因为在区间上是严格增函数，所以，即.故答案为：.【题型三利用函数单调性解不等式】【题1】函数的定义域为，且对于任意均有成立，若，则正实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意，可知在上单调递减，又，所以,解不等式即可得解.【详解】由题意,，不失一般性不妨假设，则，所以在上单调递减，又，所以,解不等式得,则正实数的取值范围为.故选：B.【题2】已知是定义在上的增函数，且，则满足的x的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的单调性进行求解即可.【详解】因为，所以由，因为是定义在上的增函数，所以有，故选：A【题3】已知函数，且当时，总有，若，则实数的取值范围是.【答案】【分析】由题意在是单调增函数，再利用函数的单调性解不等式即可．【详解】由题意在是单调增函数，则转化为，解得：，所以实数的取值范围是，故答案为：．【题4】已知函数的定义域为，对任意的、，且都有成立，若对任意恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【分析】由题意可得函数在上为增函数，从而可得对恒成立，进而得到，从而求解即可.【详解】对任意的，且都有成立，不妨设，则，故函数在上为增函数，由对恒成立，所以对恒成立，所以，即，，解得.所以实数的取值范围是.故答案为：．【题型四复合函数单调性】【题1】函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出函数的定义域，再根据二次函数及复合函数的性质求解即可.【详解】由题意可得：，解得：，即或，根据二次函数及复合函数的性质可知，的单调递增区间为：.故选：C.【题2】已知函数，下列结论正确的是（

）A．定义域、值域分别是， B．单调减区间是C．定义域、值域分别是， D．单调减区间是【答案】C【分析】因被开方数为非负实数，可得函数的定义域为，可判断BD错误，再利用配方，结合算术平方根的非负性，可得函数的值域为，即得C正确.【详解】因为函数，所以，解得，故函数的定义域为，故BD错误；，因，故，所以函数的值域为，故A错误，C正确；故选：C【题3】关于函数的结论正确的是（

）A．值域是 B．单调递增区间是C．值域是 D．单调递增区间是【答案】D【分析】求出的定义域，根据在内的单调性与值域判断的单调性与值域.【详解】因为有意