八年级数学下册17.1勾股定理

17.1勾股定理勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.从而推导：，，.注意（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：题型1：勾股定理的认识1.下列说法中正确的是（）A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2＝c2 B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以BC2+AC2＝AB2 D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以BC2+AC2＝AB2【变式1-1】（2022秋•溧水区期中）在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，则下列式子成立的是（）A．a2+b2＝c2 B．a2+c2＝b2 C．a2﹣b2＝c2 D．b2+c2＝a2【变式1-2】若一个直角三角形的两边长分别是4cm，3cm，则第三条边长是cm．【变式1-3】有下列判断：①已知a，b，c分别是直角三角形的三边长，则必有a2+b2＝c2；②直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方；③在Rt△ABC中，若∠B＝90°，边BC，CA，AB的长分别是a，b，c，则有c2＝a2+b2；④在Rt△ABC中，若∠A＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则有b2+c2＝a2.其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型2：利用勾股定理求线段2.（2022春•伊通县期末）在△ABC中，∠C＝90°，BC：AB＝3：5且AB＝20cm，求边AC的长度．【变式2-1】（2021秋•耒阳市期末）如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高AD＝12，求BC的长．【变式2-2】（2022春•宁远县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BD⊥AC于D，CD＝2，求BC的长．题型3：勾股定理与面积3.（2022秋•榆树市期末）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的值为（）A．25 B．175 C．600 D．625【变式3-1】（2022秋•渝中区校级期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是（）A．20 B．26 C．30 D．52【变式3-2】（2022春•灵宝市校级月考）如图，以直角三角形的三边a，b，c为边，向外作正方形，等腰直角三角形，等边三角形和半圆，上述四种情况的面积关系满足S1+S2＝S3的图形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.题型4：勾股定理的证明4.下面图形能够验证勾股定理的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式4-1】如图，已知∠C＝∠D＝90°，D，E，C三点共线，各边长如图所示，请利用面积法证明勾股定理．【变式4-2】【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．【变式4-3】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明勾股定理，请完成证明过程．（提示：BD和AC都可以分割四边形ABCD）题型5：勾股定理在网格中的应用5.（2022春•河西区期末）如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则AC的长度为（）A． B． C． D．25【变式5-1】如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中，以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，并且两条边长均为无理数，满足这样条件的点C共几个？【变式5-2】如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点按下列要求画三角形．（1）使三角形的三边长分别为2、、；（2）求出此三角形的面积．题型6：勾股定理与三角形垂直平分线、角平分线6.（2021秋•广陵区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AD为△ABC角平分线．求CD的长度．【变式6-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线．（1）若AC＝5，BC＝6，求△ACD的周长；（2）若∠BAD：∠CAD＝4：1，求∠B的度数．【变式6-2】（2022秋•宜州区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE．（1）若∠A＝35°，则∠CBE＝°；（2）若AC＝6，BC＝4，求△BCE的周长．【变式6-3】（2022秋•思明区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC交BC于点D．（1）求证：点D在AB的垂直平分线上；（2）若CD＝2，求BD的长．题型7：勾股定理与折叠问题7.（2022春•隆安县期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．【变式7-1】如图，沿AE折叠长方形ABCD，使D点落在BC边的点F处，若AB＝12cm，BC＝13cm，则FC的长度是．【变式7-2】矩形纸片ABCD中，AD＝10cm，AB＝4cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝cm．题型8：勾股定理与直角坐标系8.在直角坐标系中，Rt△OAB的位置如图所示，∠B＝90°，OA＝2，OB＝，求△OAB各顶点的坐标．【变式8-1】（2022春•高安市期末）如图，△OAB为直角三角形，OA＝5，AB＝4，则点A的坐标为（）A．（4，5） B．（4，3） C．（3，4） D．（3，5）【变式8-2】（2022春•随州期中）如图，x轴、y轴上分别有两点A（3，0）、B（0，2），以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（）A．（﹣1，0） B．（2﹣，0） C．（1，0） D．（3，0）【变式8-3】（2022春•南沙区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A和点B的坐标分别是：A（﹣2，1），B（2，3）．那么线段AB的长度是（）A． B．2 C．5 D．题型9：勾股定理与规律问题9.（2022春•东至县期末）如图，Rt△OA1A2中，过A2作A2A3⊥OA2，以此类推．且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4…＝1，记△OA1A2的面积为S1，△OA2A3面积为S2，△OA3A4面积为S3，…，细心观察图，认真分析各题，然后解答问题：①（）2+1＝2，S1＝；②（）2+1＝3，S2＝；③（）2+1＝4，S3＝…（1）请写出第n个等式：；（2）根据式子规律，线段OA10＝；（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值．【变式9-1】已知：正方形的边长为1．如图（a），可以计算出正方形的对角线长为；如图（b），两个正方形并排成的矩形的对角线的长为；如图（c），三个正方形并排成的矩形的对角线的长为；如图（d），四个正方形并排成的矩形的对角线的长为；…根据以上规律，n个正方形并排成的矩形的对角线长为．【变式9-2】（2022春•泰山区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边在y轴的正半轴上，且OA1＝A1A2＝1，以OA2为直角边作第二直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA2020A2021，则点A2021的坐标为（0，﹣21010）．一、单选题1．（2020八下·崆峒期末）已知直角三角形的两条直角边的长分别为3和5，则斜边的长为（）A．3 B．4 C．5 D．342．（2022八上·越城期末）如图，在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（）A．7 B．8 C．9 D．103．（2022八上·青岛期中）如图，在“庆国庆，手拉手”活动中，某小组从营地A出发，沿北偏东53°方向走了1200m到达B点，然后再沿北偏西37°方向走了500m到达目的地C点，此时A，C两点之间的距离为（）A．1000m B．1100m C．1200m D．1300m4．（2022·拱墅模拟）如图，在△ABC中，AB>AC，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交AB于点D，连接DC；再以点D为圆心，DC的长为半径作弧交CB的延长线于点E.若BE=BD，∠E=15°，则（）A．AB=2AC B．BC=BD+DE C．AD=2BE D．CE=AB+AC5．（2022·兖州模拟）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10，后又向东北方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少？设甲、乙二人从出发到相遇的时间为x，根据题意，可列方程正确的是（）A．(3x)2C．(3x)26．（2020九上·百色期末）如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）A．23m B．（2+23）mC．4m D．（4+23）m7．（2021八上·运城月考）设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是（）A．3 B．2.5 C．2 D．6二、填空题8．（2020八下·大埔月考）如图，矩形ABCD的面积为60，一条边AB的长为5，则矩形的对角线BD＝．9．（2022八上·余姚期中）在直角三角形中，有两条边的长分别是3和4，则斜边长是．10．（2020八上·东海期中）如图，将一根长12cm的筷子置于底面半径为3cm，高为8cm的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度h至少为cm.11．（2021七下·肇州期末）如图，在直角△ABC中，∠B=90°，AE平分∠BAC，交BC边于点E，若BC=5，AC=13，则△AEC的面积是．三、解答题12．（2021八下·增城期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=4，求BC的长

13．（