连续系统的复频域分析

连续系统的复频域分析5.1单边拉普拉斯变换

在前一章中,用傅里叶变换可以将信号映射至频率域,引出了信号与系统的频域分析法。信号如果满足狄里赫莱条件,即信号绝对可积,则信号的傅里叶变换存在。（5―2）第2页,共196页，2024年2月25日，星期天5.1.1从傅里叶变换到拉普拉斯变换信号f(t)之所以不满足绝对可积的条件,是由于当t→∞或t→-∞时,f(t)不收敛,即

（5―2）第3页,共196页，2024年2月25日，星期天它是σ+jω的函数,可以写成F(σ+jω)的傅里叶反变换为将上式两边乘以eσt得到（5―3）

（5―4）

（5―5）

（5―6）

第4页,共196页，2024年2月25日，星期天

可见式（5―4）和式（5―6）构成一对积分变换。为了使表述更为简洁,令s=σ+jω为复频率,从而ds=jdω,当ω=±∞时,s=σ±j∞,于是式（5―4）可改写为式（5―6）可改写为

（5―7）

（5―8）

（5―9）

第5页,共196页，2024年2月25日，星期天

由于实际物理系统中的信号都是有始信号,即t<0时,f(t)=0以及信号虽然不起始于t=0而问题的讨论只需考虑t≥0的部分,在这种情况下,式（5―7）可以改写为

（5―10）

第6页,共196页，2024年2月25日，星期天5.1.2拉氏变换的收敛域可以证明,当信号是指数阶函数时,其拉氏变换存在。所谓指数阶函数,即满足以下条件σ取值于某实数区间（5―11）（5―12）第7页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5―1试求下列信号的拉普拉斯变换,并确定收敛域。（1）f1(t)=et2;（2）f2(t)=u(t);

（3）f3(t)=e-2t·u(t);（4）f4(t)=e2t·u(t)

第8页,共196页，2024年2月25日，星期天

图5.1例5―1图（a）F2（s）ROC;（b）F3（s）ROC;（c）F4（s）ROC第9页,共196页，2024年2月25日，星期天5.1.3常用信号的拉氏变换下面给出一些常用信号的拉普拉斯变换（假定这些单边信号均起始于t=0时刻)。

1）冲激信号δ(t)

2）阶跃信号u(t)

3）指数函数信号e-αt4）t的正幂信号tn,（n为正整数）（5―13）

（5―14）

（5―15）

第10页,共196页，2024年2月25日，星期天

对上式进行分部积分,令u=tn,du=ntn-1dt（5―16）

第11页,共196页，2024年2月25日，星期天5）余弦信号cosω0t

因为（5―17）第12页,共196页，2024年2月25日，星期天6）正弦信号sinω0t

因为（5―18）

第13页,共196页，2024年2月25日，星期天7）衰减余弦信号e-αt·cosω0t

因为（5―19）

第14页,共196页，2024年2月25日，星期天8）衰减正弦信号e-αt·sinω0t

因为（5―20）

第15页,共196页，2024年2月25日，星期天表5―1常用信号及其拉氏变换

第16页,共196页，2024年2月25日，星期天第17页,共196页，2024年2月25日，星期天5.2拉普拉斯变换的性质5.2.1拉氏变换的基本特性

1.线性特性若（5―12）

则

式中,a和b为任意常数。

第18页,共196页，2024年2月25日，星期天2.展缩特性若(5―22)

式中规定a>0是必要的,因为f(t)为有始信号,若a<0则f(at)的单边拉氏变换为零,导致此展缩特性失效。

3.时移特性若

(5―23)

第19页,共196页，2024年2月25日，星期天

式中t0>0的规定对单边拉氏变换是必要的,因为若t0<0,信号的波形有可能左移越过原点,导致原点左边部分的信号对积分失去贡献,此式的证明如下:令x=t-t0,则t=x+t0,dt=dx,于是上式可写为第20页,共196页，2024年2月25日，星期天

如果信号f(t)·u(t)既延时,又展缩时间,则有若且有实常数a>0,b≥0,则（5―24）

第21页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5―2设f(t)=sinω0t,因而

,若t0>0,试求下列信号的拉氏变换:

（1）f(t-t0)=sinω0(t-t0);

（2）f(t-t0)·u(t)=sinω0(t-t0)·u(t);

（3）f(t)·u(t-t0)=sinω0t·u(t-t0);

（4）f(t-t0)·u(t-t0)=sinω0(t-t0)·u(t-t0)。解四种信号如图5.2(a)、(b)、(c)、(d)所示。第22页,共196页，2024年2月25日，星期天

图5.2例5-2图

第23页,共196页，2024年2月25日，星期天

对于（1）和（2）两种信号t≥0的波形相同,因此它们的拉氏变换也相同,即第24页,共196页，2024年2月25日，星期天

对于信号（3）,它的拉氏变换是第25页,共196页，2024年2月25日，星期天

对于信号（4）,它的拉氏变换是第26页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5―3求图5.3所示锯齿波f(t)的拉氏变换。解首先写出f(t)的时域函数表达式

图5.3例5―3图

第27页,共196页，2024年2月25日，星期天应用拉氏变换的时移特性,有第28页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5―4试求图5.4(a)所示单个正弦半波信号f(t)的拉氏变换。

图5.4例5―4图

第29页,共196页，2024年2月25日，星期天

解把单个正弦半波信号f(t)分解成如图5.4(b)所示的单边正弦信号fa(t)和如图5.4(c)所示的延时T/2的单边正弦信号fb(t)之和,即应用拉氏变换的时移特性,有第30页,共196页，2024年2月25日，星期天第31页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5―5试求图5.5所示的正弦半波周期信号的拉氏变换。解在例5―4中我们已求得从t=0开始的单个正弦半波（亦即本题第一个周期的波形）的拉氏变换为

图5.5例5―5图

第32页,共196页，2024年2月25日，星期天因此,利用式（5―25）可直接解出第33页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5―6试求图5.6所示信号

f(t)=e-2t［u(t-2)-u(t-4)］的拉氏变换。

解为了正确应用拉氏变换的时移特性,有时必须对时域信号f(t)进行恒等变形,大家对此应熟练掌握。

图5.6例5-6图

第34页,共196页，2024年2月25日，星期天于是

(5―26）第35页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5―7求f(t)=e-αt·cosω0t·u(t)的拉氏变换。解因为利用拉氏变换的频移特性

可见,利用性质求解信号的拉普拉斯变换比直接求解简单得多。第36页,共196页，2024年2月25日，星期天5.时域微分若（5―27）

（5―28）

式中f(0-)及f(n)(0-)分别表示f(t)及f(t)的n阶微分f(n)(t)在t=0-时的值。

第37页,共196页，2024年2月25日，星期天

证明:根据拉氏变换定义

积分下限取0-是把f(t)中可能存在的冲激信号也包含在积分中。应用分部积分法,则有

式（5―27）得证。

第38页,共196页，2024年2月25日，星期天

同理可得

依此类推,可得式（5―28）。若f(t)为单边信号,则式（5―27）中由于f(0-)=0而简化为第39页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5―8已知分别如题图5.7(a)、(b)所示,试求f′1(t)与f′2(t)的拉氏变换。图5.7例5―8中两信号的波形

第40页,共196页，2024年2月25日，星期天

解因为

式中,

第41页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5―9利用时域微分性质,重求例5―3（图5.3）所示锯齿波的拉氏变换。解因为第42页,共196页，2024年2月25日，星期天

由时域微分性质,又因f(0-)=f′(0-)=0,有

L［f″(t)］=s2F(s),故得第43页,共196页，2024年2月25日，星期天6.时域积分若第44页,共196页，2024年2月25日，星期天

证明:根据拉氏变换的定义

应用分部积分法可得

当t→∞或t=0-时,上式右边第一项为零,所以

第45页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5―10试通过阶跃信号u(t)的积分求斜坡信号tu(t)及tnu(t)的拉氏变换。解因为而奇异信号之间的微积分关系有重复应用时域积分,可得第46页,共196页，2024年2月25日，星期天5.2.2拉氏变换的卷积及初、终值定理和傅氏变换类似,拉氏变换除了上述的基本特性之外,在时域和复频域之间卷积积分,信号乘积、初值和终值的计算也存在着一些重要的映射关系,它们在系统分析中具有重要的作用。下面逐一介绍。

1.时域卷积若（5―32）

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例5―11已知某LTI系统的冲激响应h(t)=e-tu(t),试用时域卷积定理求解输入信号f(t)=u(t)时的零状态响应yf(t)。根据时域卷积定理有

式中H(s)=L［h(t)］称为系统函数。由于

第48页,共196页，2024年2月25日，星期天2.时域乘积若

故

对上式取拉普拉斯逆变换,得

（5―33）

式（5―33）表明,两个信号时域乘积对应到复频域为复卷积,复卷积的定义是（5―34）第49页,共196页，2024年2月25日，星期天3.复频域微分若（5―35）

（5―36）

第50页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5―12试求信号f(t)=t2e-αtu(t)的拉氏变换。解令。由复频域微分,得第51页,共196页，2024年2月25日，星期天4.初值定理若

存在,则f(t)的初值且

（5―37）

第52页,共196页，2024年2月25日，星期天5.终值定理若存在,则f(t)的终值（5―38）

例5―13已知复频域

中,试求时域中f(t)的初值和终值。第53页,共196页，2024年2月25日，星期天

表5―2拉氏变换的性质

第54页,共196页，2024年2月25日，星期天5.3拉普拉斯反变换5.3.1部分分式展开法常见的拉氏变换式是复频域变量s的多项式之比（有理分式）,一般形式是（5―39）

第55页,共196页，2024年2月25日，星期天

式中,N(s)和D(s)分别是F(s)的分子多项式和分母多项式,an,bm等是实数。在分解F(s)为许多简单变换式之前,应先检查一下F(s)是否是真分式,即保证n>m。若不是真分式,需利用长除法将F(s)化成如下形式。（5―40）

第56页,共196页，2024年2月25日，星期天1.D(s)=0的根都是实根且无重根

D(s)是s的n次多项式,可以分解为n个因子的乘积,即

D(s)=an(s-s1)(s-s2)…(s-sk)…(s-sn)

这里先假定s1、s2、…、sn是互不相等的实根,于是F(s)便可以展开为部分分式之和。即（5―41）

第57页,共196页，2024年2月25日，星期天

式中,K1、K2、…、Kn为n个待定系数。为了确定系数Kk,可以在式（5―４1）的两边乘以因子(s-sk),再令s=sk,这样式（5―41）右边只留下Kk项,便有（5―42）

第58页,共196页，2024年2月25日，星期天

求得系数Kk后,则与对应的时域函数可由表5―1查得为（5―43）

（5―44）

第59页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5―14求的原函数f(t)。解首先将F(s)化为真分式所以F(s)的真分式可展成部分分式第60页,共196页，2024年2月25日，星期天

系数K1、K2、K3可由式（5―42）求得为第61页,共196页，2024年2月25日，星期天

于是F(s)可展开为第62页,共196页，2024年2月25日，星期天2.D(s)=0的根有复根且无重根若

D(s)=an(s-s1)(s-s2)…(s-sn-2)(s2+bs+c)=D1(s)·(s2+bs+c)

式中,D1(s)=an(s-s1)(s-s2)…(s-sn-2),s1,s2,…,sn-2是(n-2)个D(s)=0的不相等的实根。二次三项式(s2+bs+c)中若b2<4c,则构成一对共轭复根。因此F(s)可写成（5―45）

第63页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5―15求的原函数f(t)。解（1）用部分分式展开法这里D(s)=s2+2s+5=(s+1-j2)(s+1+j2)=0,有一对共轭复根s1=-1+j2,s2=-1-j2,如前例一样将F(s)写成由于K1与K2是共轭的,所以

第64页,共196页，2024年2月25日，星期天第65页,共196页，2024年2月25日，星期天3.D(s)=0的根有重根若D(s)=0只有一个r重根s1,即s1=s2=…=sr,而其余(n-r)个全为单根,则D(s)可写成F(s)展开的部分分式为(5―46)

第66页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5―17求的原函数f(t)。解D(s)=0有一个单根s1=-1和一个三重根s2=-3。将F(s)展开为第67页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5―18求的原函数f(t)。解将F(s)变形为上式第二项有延时因子e-2s,它对应的原函数也延迟2个单位,由延时特性,得

第68页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5―19求的原函数f(t)。由余弦、正弦的拉氏变换公式及复频移特性,得第69页,共196页，2024年2月25日，星期天5.3.2围线积分法（留数法）拉普拉斯的反变换式是

这是一个复变函数的积分,积分路径是s平面上平行于虚轴的直线σ=C>σ0,如图5.8所示。

当t>0时,圆弧应补在直线左边,如图5.8中的CR1;而当t<0时,圆弧应补在直线右边,如图5.8中的CR2。因为根据约当引理,若满足条件第70页,共196页，2024年2月25日，星期天

图5.8拉氏反变换积分线

第71页,共196页，2024年2月25日，星期天因此拉氏反变换积分等于围线积分乘以,即第72页,共196页，2024年2月25日，星期天

另外,留数定理又指出,复平面上任意闭合围线积分等于围线内被积函数所有极点的留数之和乘以2πj。由于图5.8中围线CR1半径充分大,并在直线σ=C>σ0的左边,因而CR1与直线所构成的闭合围线包围了F(s)·est的所有极点sk,故有而围线CR2在直线σ=C>σ0的右边,CR2与直线所构成的围线不包含F(s)·est的任何极点,故有

f(t)=0,t<0（5―53）（5―52）

第73页,共196页，2024年2月25日，星期天

当F(s)为有理函数时,其留数可作如下计算:

（1）若sk为F(s)·est的单极点,则（5―54）

（5―55）

（2）若sk为F(s)·est的r重极点,则第74页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5―20试用留数法求的原函数f(t)。解因为s1=-1,s2=-2,s3=-3均为F(s)·est的单极点,由式（5―53）有故

第75页,共196页，2024年2月25日，星期天5.4线性系统的拉氏变换分析法

拉氏变换是分析线性连续系统的有力工具,它将描述系统的时域微积分方程变换为s域的代数方程,便于运算和求解;同时,它将系统的初始状态自然地含于象函数方程中,既可分别求得零输入响应、零状态响应,也可一举求得系统的全响应。第76页,共196页，2024年2月25日，星期天5.4.1微分方程的拉氏变换解设LTI系统的激励为f(t),响应为y(t),描述n阶系统的微分方程的一般形式可写为(5―56)

对上式两边取拉普拉斯变换,并假定f(t)是因果信号（有始信号），即t<0时,f(t)=0,因而

第77页,共196页，2024年2月25日，星期天

利用时域微分性质,有（5―57）

第78页,共196页，2024年2月25日，星期天(5―58)

第79页,共196页，2024年2月25日，星期天

式（5―57）中y(i)(0-)表示响应y(t)的i阶导数的初始状态。将式（5―２2）与（5―23）代入式（5―56）,可得（5―59）

第80页,共196页，2024年2月25日，星期天

代入式（5―59）,则得（5―60）

第81页,共196页，2024年2月25日，星期天

可见,时域的微分方程通过取拉氏变换化成复频域的代数方程,并且自动地引入了初始状态。响应的拉普拉斯变换为（5―61）

（5―62）

第82页,共196页，2024年2月25日，星期天图5.9系统的复频域框图

第83页,共196页，2024年2月25日，星期天（5―63）

系统响应y(t)为

（5―64）

第84页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5―23描述某LTI连续系统的微分方程为

y″(t)+3y′(t)+2y(t)=2f′(t)+6f(t)

已知输入f(t)=u(t),初始状态y(0-)=2,y(0-)=1。试求系统的零输入响解对微分方程取拉普拉斯变换,可得

s2Y(s)-sy(0-)-y′(0-)+3sY(s)-3y(0-)+2Y(s)=2sF(s)+6F(s)即

(s2+3s+2)Y(s)-［sy(0-)+y′(0-)+3y(0-)］=2(s+3)F(s)第85页,共196页，2024年2月25日，星期天

可解得

将和各初始值代入上式,得第86页,共196页，2024年2月25日，星期天

对以上二式取逆变换,得零状态响应和零输入响应分别为系统的全响应

或直接对Y(s)取拉氏反变换,亦可求得全响应。第87页,共196页，2024年2月25日，星期天

直接求全响应时,零状态响应分量和零输入响应分量已经叠加在一起,看不出不同原因引起的各个响应分量的具体情况。这时拉氏变换作为一种数学工具,自动引入了初始状态。简化了微分方程的求解。第88页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5―24如图5.10所示电路中,已知C=1/2F,R1=2Ω,R2=2Ω,L=2H,激励iS(t)为单位阶跃电流u(t)A,电阻R1上电压的初始状态u1(0-)=1

V,u′1(0-)=2V,试求该电路的响应电压u1(t)。

图5.10例5―24图

第89页,共196页，2024年2月25日，星期天

解先列写该电路的数学模型由KCL由KVL

代入元件值,消去中间参量iL(t)可得微分方程第90页,共196页，2024年2月25日，星期天5.4.2电路的s域模型时域的KCL方程描述了在任意时刻流出（或流入）任一节点（或割集）电流的方程,它是各电流的一次函数,若各电流ik(t)的象函数为Ik(s)（称其为象电流）,则由线性性质有

(5―65)

(5―66)

第91页,共196页，2024年2月25日，星期天1.电阻R

因为时域的VAR为u(t)=R·i(t),取拉氏变换有

2.自感L

对于含有初始值iL(0-)的自感L,因为时域的VAR有微分形式和积分形式两种,对应的s域模型也有两种形式(5―67)

(5―68)

(5―69)第92页,共196页，2024年2月25日，星期天

式（5―68）表明,电感端电压的象函数等于两项之差。它是两部分电压相串联,其第一项是s域感抗sL与象电流I(s)的乘积;其第二项相当于某电压源的象函数L·iL(0-),可称之为内部象电压源。这样,自感L的s域串联形式模型是由感抗sL与内部象电压源L·iL(0-)串联组成,这里应特别注意内部象电压源L·iL(0-)的极性与U(s)相反,如表5―3所示。第93页,共196页，2024年2月25日，星期天表5―3电路元件的s域模型

第94页,共196页，2024年2月25日，星期天3.电容C

对于含有初始值uC(0-)的电容C,用与分析自感s域模型类似的方法,同理可得电容C的s域模型为(5―71)

(5―70)

第95页,共196页，2024年2月25日，星期天

过程中要特别注意三点:(1)对于具体的电路,只有给出的初始状态是电感电流和电容电压时,才可方便地画出s域等效电路模型,否则就不易直接画出,这时不如先列写微分方程再取拉氏变换较为方便;(2)不同形式的等效s域模型其电源的方向是不同的,千万不要弄错;(3)在作s域模型时应画出其所有内部象电源,并特别注意其参考方向。第96页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5―25试求图5.11(a)所示的电流i(t)。已知:R=6Ω,L=1H,C=0.04F,US(t)=12sin5tV,初始状态

iL(0-)=5A,

uC(0-)=1V。

图5.11例5―25图

第97页,共196页，2024年2月25日，星期天

解本题s域模型如图5.11(b)所示。其中由KVL可得

第98页,共196页，2024年2月25日，星期天为零状态响应的象函数,是由输入引起的;

第99页,共196页，2024年2月25日，星期天为零输入响应的象函数,是由初始条件引起的。先计算If(s)。将R、L、C的数值代入得

应用部分分式展开式,可写成第100页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5―26试求图5.12(a)所示电路的u2(t)。已知初始条件u1(0-)=10V;u2(0-)=25V;电压uS(t)=50cos2t·u(t)V。图5.12例5―26图

第101页,共196页，2024年2月25日，星期天

解作s域模型如图5.12(b)所示。注意,初始条件以内部象电流源形式表出便于使用节点分析法。列写象函数节点方程第102页,共196页，2024年2月25日，星期天第103页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5―27图5.13(a)所示电路,开关K在t=0时闭合,已知uC1(0-)=3V,uC2(0-)=0V,试求开关闭合后的网孔电流i1(t)。

图5.13例5―27图

第104页,共196页，2024年2月25日，星期天

解适宜用网孔法求解,初始条件以内部象电压形式表示。s域模型如图5.13(b)所示。网孔方程为取拉氏反变换

第105页,共196页，2024年2月25日，星期天5.4.3系统函数与s域分析法系统函数H(s)是零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比,即

(5―72)

从上式可以看出,系统函数与系统的激励无关,仅决定于系统本身的结构和参数。系统函数在系统分析与综合中占有重要的地位。下面讨论如何围绕系统函数进行系统分析。由于第106页,共196页，2024年2月25日，星期天

当系统的激励为δ(t)时,零状态响应为h(t),故

即系统的冲激响应h(t)与系统函数H(s)构成了一对拉普拉斯变换对,h(t)和H(s)分别从时域和复频域两个角度表征了同一系统的特性。为了说明H(s)在系统分析中的重要作用,我们把应用s域分析法求解系统响应的求解步骤归纳如下:

(5―73)

第107页,共196页，2024年2月25日，星期天(1)计算H(s),实际上就是给系统一个激励,计算出输出Yf(s)与F(s)的比值。也可以由系统的结构及数学模型直接求得。一旦求得H(s),系统对于任何激励的响应均可以利用该特性得到。

(2)求输入f(t)的变换式F(s)。

(3)求零状态响应yf(t),可以从F(s)·H(s)的反变换中求出。以上求解系统响应过程,可由图5.14表述。如果系统本身存在初始储能,系统的完全响应还应考虑零输入响应。下面举例说明如何围绕H(s)分析系统。第108页,共196页，2024年2月25日，星期天

图5.14系统的s域分析示意图

第109页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5―28图5.15所示ＲＬＣ串联电路,已知C=1/2/F,输入激励uＳ(t)=t·u(t),初始状态iL(0-)=0,uC(0-)=－1/3,

试求系统响应uR(t)。

图5.15例5―28图

第110页,共196页，2024年2月25日，星期天

解首先应用拉氏变换法求解系统响应。按KVL及VAR列写时域微分方程式,可得

对以上方程组取拉氏变换,可得第111页,共196页，2024年2月25日，星期天

解此象函数方程组,得将已知数据代入,其中

(5―74)

第112页,共196页，2024年2月25日，星期天对上式取拉氏反变换,可得时域响应为

(5―75)

第113页,共196页，2024年2月25日，星期天

此例中,若设初始状态为零,则系统对于输入uS(t)的系统函数H(s)为

于是,式(5―74)可以表示为

实际上,上式还可表示为第114页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5―29利用s域等效模型重解例5―28。解根据线性系统的叠加性,可以把系统的完全响应分解为零状态响应,单独由电感初始储能作用而产生的零输入响应和单独由电容初始储能而形成的零输入响应。相应的s域等效电路如图5.16所示。第115页,共196页，2024年2月25日，星期天

图5.16s域等效电路图(a)零状态等效电路；(b)仅电感有储能的等效电路；(c)仅电容有储能的等效电路

第116页,共196页，2024年2月25日，星期天

三个等效电路实际上是激励点不同,输出相同的三个系统。根据H(s)的定义很容易写出三个系统的系统函数H(s),HS1(s)和HS2(s)。激励为US(s)时,激励为L·iL(0-)时,

第117页,共196页，2024年2月25日，星期天（5―76）

因此,系统完全响应的拉氏变换为第118页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5―30电路及元件参数同例5―28。输入为

uＳ(t)=u(t),初始状态为iL(0-)=3A,

uＣ(0-)=-10V,试求输出uR(t)。解因为与例5―28相比较,系统结构、元件参数没有变化,所以系统函数与例5―28相同,仅仅是三个激励发生变化。因此,s域的完全响应仍为式(5―76)第119页,共196页，2024年2月25日，星期天

代入已知量得

通过例5―28、5―29、5―30,可以使我们进一步理解系统函数在系统分析中的重要性。首先系统函数是对系统的一种描述,是复频域的系统特征量,从系统的输入输出端的特性或者说从系统对输入号的处理功能上来讲,了解了系统的H(s)也就了解了该系统。

第120页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5―31已知系统函数为当输入f(t)=e-t·u(t),初始状态y(0-)=3,y′(0-)=2。试求响应y(t)。

解利用复频域分析法很容易求出系统的零状态响应yf(t)。

第121页,共196页，2024年2月25日，星期天

下面求零输入响应,因为H(s)有两个极点-2和-3,即Yx(s)亦有相同的极点（有时极点是不相同的,可参阅下一节）。设根据初始条件可以求出c1和c2。

解上述方程可得

因此,完全响应为

第122页,共196页，2024年2月25日，星期天

通过上述讨论,不难发现复频域分析方法和频域分析方法基本相同,所不同的只是变量jω延拓为s=σ+jω。所以在频域中用H（jω）表征系统特性,而在复频域中用H(s)表征系统特性,两者与系统的单位冲激响应h(t)的关系也是相同的。即第123页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5―32已知描述某系统的数学模型为试求该系统的系统函数H(s)。解(1)在零状态下对常微分方程两边取拉普拉斯变换,得所以

第124页,共196页，2024年2月25日，星期天(2)亦可利用时域分析的方法求出h(t)。因为第125页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5―33试求图5.17所示电路的系统函数

图5.17例5―33图(a)时域模型；(b)零状态s域模型

第126页,共196页，2024年2月25日，星期天

解画出零状态条件下系统的复频域等效电路,如图5.17(b)所示。s域模型图中,电阻R1与并联,电阻R2与串联,设复频域阻抗Z1(s)与Z2(s)分别为第127页,共196页，2024年2月25日，星期天

所以,系统函数H(s)为第128页,共196页，2024年2月25日，星期天5.5连续时间系统函数与系统特性5.5.1系统函数的零点、极点及系统的固有频率线性系统的系统函数,是以多项式之比的形式出现的,即(5―77)

第129页,共196页，2024年2月25日，星期天

系统函数分母多项式D(s)=0的根称为系统函数的极点,而系统函数分子多项式N(s)=0的根称为系统函数的零点,极点使系统函数取值为无穷大,而零点使系统函数取值为零。

N(s)和D(s)都可以分解成线性因子的乘积,即(5―78)

第130页,共196页，2024年2月25日，星期天

把系统函数的零点与极点表示在s平面上的图形,叫做系统函数的零、极点图。其中零点用“

”表示。极点用“×”表示。若为n重极点或零点,则注以（n）。例如某系统的系统函数为它表明系统在原点处有二重零点,在s=-3处有一个零点;而在s=-1,s=-2-j1处各有一个极点,该系统函数的零、极点图如图5.18所示。

第131页,共196页，2024年2月25日，星期天图5.18系统函数的零点、极点图

第132页,共196页，2024年2月25日，星期天

研究系统函数的零、极点有下列几个方面的意义:

（1）从系统函数的极点分布可以了解系统的固有频率,进而了解系统冲激响应的模式,也就是说可以知道系统的冲激响应是指数型,衰减振荡型,等幅振荡型,还是几者的组合,从而可以了解系统的响应特性及系统是否稳定。（2）从系统的零、极点分布可以求得系统的频率响应特性,从而可以分析系统的正弦稳态响应特性。系统的时域、频域特性都集中地以其系统函数或系统函数的零、极点分布表现出来。我们先来讨论系统的固有频率与极点的关系。第133页,共196页，2024年2月25日，星期天

从第二章连续系统的时域分析可知,求解系统的零输入响应yx(t),首先应将n阶系统方程式写成齐次常微分方程其特征方程式为若上式具有n个不等的单实根λ1,λ2,…，λn,则系统的零输入响应为(5―79)(5―80)(5―81)

第134页,共196页，2024年2月25日，星期天

对方程式（5―79）取拉普拉斯变换,并假设所有初始条件y(p)(0-)=0,p=0,1,2,…,(n-1),则可得到

(sn+an-1sn-1+…+a1s+a0)Y(s)=0(5―82)

而系统函数H（s）的极点正好是式（5―82）中多项式等于零的根,即

sn+an-1sn-1+…+a1s+a0=0(5―83)第135页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5―34已知系统的数学模型为

y″(t)+5y′(t)+4y(t)=f′(t)+f(t)

激励f(t)=e-2tu(t),初始状态y(0-)=1,y′(0-)=1。试求yf(t),yx(t),y固(t),y强(t)及y(t)。解系统的特征方程为

p2+5p+4=0

特征根即系统的固有频率为p1=1,p2=-4。于是设解得

第136页,共196页，2024年2月25日，星期天在零状态下对系统方程取拉氏变换,可以求出H（s）

第137页,共196页，2024年2月25日，星期天于是

所以

可以得到

其中,固有响应

强制响应为第138页,共196页，2024年2月25日，星期天5.5.2系统函数的极点分布与冲激响应

H（s）的一阶极点与其所对应的冲激响应函数波形,如图5.19所示。由以上讨论可得如下结论:LTI连续系统的冲激响应的函数形式由H（s）的极点确定。

(1)若H（s）的极点位于s左半平面,则冲激响应的模式为衰减指数或衰减振荡,当t→∞时,它们趋于零,系统属于稳定系统。

(2)若H（s）的极点位于s右半平面,则冲激响应的模式为增长指数或增长振荡,当t→∞时,它们趋于无限大,系统属于不稳定系统。第139页,共196页，2024年2月25日，星期天图5.19H(s)的极点与所对应的响应函数

第140页,共196页，2024年2月25日，星期天(3)若H（s）的单极点位于虚轴（包括原点）,则冲激响应的模式为等幅振荡或阶跃函数,系统属于临界稳定系统。

(4)若位于虚轴（包括原点）的极点为n重极点(n≥2),则冲激响应的模式呈增长形式,系统也属于不稳定系统。第141页,共196页，2024年2月25日，星期天5.5.3系统函数的零极点分布与系统频响特性系统的频率特性H（jω）,其模|H(jω)|是随ω变化的函数称为系统的幅频特性,相角φ（ω）称为系统的相频特性。如前所述,系统在频率为ω0的正弦信号激励下的稳态响应仍为同频率的正弦信号,但幅度乘以|H(jω0)|,相位附加φ（ω0）,|H(jω0)|和φ（ω0

）分别是H（jω）和φ（ω）在ω0点之值。第142页,共196页，2024年2月25日，星期天

当正弦激励信号的频率ω改变时,稳态响应的幅度和相位将分别随着H（jω）和φ（ω）变化,H（jω）反映了系统在正弦激励下稳态响应随频率变化的情况,故又称系统的频响特性。若H（s）的极点均位于s左半平面,令s=jω,也就是在s平面上令s沿虚轴变化,则有H(s)|s=jω=H(jω),即为系统的频响特性。根据Ｈ（s）在s平面的零、极点分布情况可以绘制出频响特性曲线,包括幅频特性|H(jω)|曲线和相频特性φ(ω)曲线,下面介绍这种方法。由式（５―78）,系统函数Ｈ（s）的表示式为第143页,共196页，2024年2月25日，星期天

图５.２０中画出了由零点zj和极点pi与虚轴上某点jω连接构成的零点矢量jω-zj和极点矢量jω-pi。图中Ｎj、Mi分别表示矢量的模,θj、φi分别表示矢量的相角,即(5―84)第144页,共196页，2024年2月25日，星期天图５.２０零点矢量和极点矢量

第145页,共196页，2024年2月25日，星期天(5―86)

(5―87)

(5―88)

第146页,共196页，2024年2月25日，星期天

当ω自-∞沿虚轴运动并趋于+∞时,各零点矢量和极点矢量的模和相角都随之改变,于是得出系统的幅频特性和相频特性曲线。物理可实现系统的频响特性具有幅频特性偶对称,相频特性奇对称的特点,因此绘制频响曲线时仅给出ω从0→∞即可。为了便于理解,在应用这种方法作频响特性之前,我们举例说明如何由s平面零极点分布用几何法确定频响特性曲线上一个特定点的数值。第147页,共196页，2024年2月25日，星期天

例５―３５已知系统函数

试求ω=1时的H(j1)和φ（1）。解将Ｈ（s）的分母多项式进行因式分解,得第148页,共196页，2024年2月25日，星期天

在图5.21中分别给出各极点与j1点构成的各极点矢量,由几何关系求得

图5.21例5―35图

第149页,共196页，2024年2月25日，星期天第150页,共196页，2024年2月25日，星期天

由式(5―87)和(5―88)可得

例5―36RC高通滤波器如图5.22所示,试分析其频响特性。

解RC高通滤波器的系统函数为

第151页,共196页，2024年2月25日，星期天

图5.22例5―36图

图5.23从零、极点分布确定频响特性

第152页,共196页，2024年2月25日，星期天零点矢量为,极点矢量为,于是第153页,共196页，2024年2月25日，星期天

图5.24RC高通滤波器的频响特性

第154页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5―37图5.25所示电路中,若输入激励为电流i(t),输出响应为电压u(t)。试分析其频响特性。零点

第155页,共196页，2024年2月25日，星期天

图5.25例5-37图第156页,共196页，2024年2月25日，星期天当R很小（实际是电感L的内阻）,θ1时,极点第157页,共196页，2024年2月25日，星期天图5.26零、极点分布第158页,共196页，2024年2月25日，星期天图5.27例5―37的频响特性

第159页,共196页，2024年2月25日，星期天

一般情况下,可以认为,若系统函数有一对非常靠近虚轴的共轭极点p1,2=-σi±jωi,(σi<<ωi),则在ω=ωi附近处,幅频特性出现峰值,相频特性迅速减小。若系统函数有一对非常靠近虚轴的共轭零点z1,2=-σj±jωj,(σjωj),则在ω=ωj附近处,幅频特性出现谷值,相频特性迅速上升。第160页,共196页，2024年2月25日，星期天

图5.28全通系统的零极点分布

第161页,共196页，2024年2月25日，星期天5.5.4系统的稳定性线性非时变系统的稳定性是一个十分重要的概念。一般地说,由于某种原因（激励和初始状态）引起任何微小的扰动,在系统的响应中也只产生微小的扰动,这样的系统就认为是稳定的。确切的定义是:一个系统在零状态下任何有界的输入产生有界的输出就叫做“有界输入有界输出”意义下的稳定。本书仅讨论此意义下的系统稳定性。如果输入信号具有(5―89)

(5―90)系统输出为

第162页,共196页，2024年2月25日，星期天

不过以上定义在检验上不具备规范的可操作性,因为我们不可能对每一种有界输入的响应进行求解。于是,就有了另外一种较为明晰简练、易于验证的定义,即一个系统,其稳定的准则可以等效于

式中M是有界正数。因为线性非时变系统的输出响应可以写为(5―91)

(5―92)

第163页,共196页，2024年2月25日，星期天将式（5―89）代入,可得也可写为

再将式（5―91）代入,即得(5―93)

第164页,共196页，2024年2月25日，星期天

这里要指出,式（5―91）是一个积分式,以此来判断系统的稳定性还是麻烦的。对于因果系统来说,我们自然地联系到h(t)与系统函数H（s）的关系式式（5―91）是否收敛,取决于h(t)是否有界,可以从H（s）的极点（系统的固有频率）在s平面的位置来判断。很明显,有界输入有界输出的充要条件是H（s）的极点必须位于左半s平面内,否则对任意有界输入都将激发出一个无界响应。第165页,共196页，2024年2月25日，星期天5.5.5信号流图与系统模拟

1.系统的连接系统可以用框图来表示。在零初始状态下,系统在时域、频域和复频域的特性可以分别用冲激响应h(t),系统函数H（ω）和H(s)来表征,如图5.29所示。图5.29系统的框图

第166页,共196页，2024年2月25日，星期天1）系统的级联如图5.30所示,一个局部系统的输出作为另一局部系统的输入时,两个局部系统构成级联连接。因为Ｙ1(s)=H1(s)·F(s)Y(s)=H2(s)·Y1(s)

故

Y(s)=［H1(s)·H2(s)］·F(s)=H(s)·F(s)(5―94)第167页,共196页，2024年2月25日，星期天

因此子系统级联时,总系统函数为各子系统函数之积,且与级联次序无关。在实际应用中。两系统级联还应考虑阻抗匹配问题,因为前级系统的驱动能力与后级系统的负载特性不匹配时,可能导致总的系统功能与理论结果有出入。因此,通常在级联的两个系统中间插入一个中间隔离驱动环节,以实现真正意义上的级联。

图5.30系统的级联

第168页,共196页，2024年2月25日，星期天2）系统的并联如图5.31所示,两个局部系统输出的和作为整个系统的输出时,两系统构成并联连接,因为Ｙ1(s)=H1(s)·F(s)Y2(s)=H2(s)·Y(s)

故

Y(s)=Y1(s)+Y2(s)=［H1(s)+H2(s)］·F(s)=H(s)·F(s)(5-95)

第169页,共196页，2024年2月25日，星期天图5.31系统的并联

第170页,共196页，2024年2月25日，星期天3）反馈环路图5.33表示了子系统H1(s)的输出信号反馈到输入端的情况,其中H1(s)称为正向通路的系统函数,而H2(s)称为反馈通路的系统函数,“+”号表示正反馈,即输入信号与反馈相加;“-”号表示负反馈,即输入信号与反馈信号相减。没有反馈通路的系统称为开环系统,有了反馈通路则称为闭环系统。从图5.33可以看出，由于

Y(s)=H1(s)E(s)B(s)=H2(s)Y(s)E(s)=F(s)±B(s)第171页,共196页，2024年2月25日，星期天

图5.32“和点”转移和“分点”转移

第172页,共196页，2024年2月25日，星期天图5.33反馈环路

第173页,共196页，2024年2月25日，星期天因此对于负反馈,总的系统函数对于正反馈,总的系统函数(5―96)

(5―97)

第174页,共196页，2024年2月25日，星期天2.系统方框图的简化根据前述几种系统的基本连接规律,可以把一个具有很多局部系统连接起来的复杂系统，逐步变换得以简化,最后求得总的系统函数。常用的方框图化简规则列于表5-4中,在方框图的化简过程中,往往需要移动“和点”与“分点”,应注意保持移动前后整个系统的输入输出关系不变。第175页,共196页，2024年2月25日，星期天表５―４框图化简规则

第176页,共196页，2024年2月25日，星期天第177页,共196页，2024年2月25日，星期天

例5―38试用方框图化简的方法,求图5.34(a)的系统函数H(s)。图5.34系统方框图化简

第178页,共196页，2024年2月25日，星期天图5.34系统方框图化简

第179页,共196页，2024年2月25日，星期天

解首先利用表5―4中的规则7,将分点A后移,如图5.34(b)所示。其次,化简由