2020-2021学年重庆市綦江区九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年重庆市紫江区九年级第一学期期末数学试卷

一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）

1.一元二次方程x2-1=0的根为（）

A.x=lB.%=-1C.xi=l,X2=~1D.xi=0,%2=1

2.下列说法正确的是（）

A.”明天的降水概率为30%”是指明天下雨的可能性是30%

B.连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25次

C.连续三次掷一颗骰子都出现了奇数，则第四次出现的数一定是偶数

D.某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%,买这种彩票100张一定会中奖

3.如图，国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成，在这个图案中反映出的两圆位置关

系有（）

A.内切、相交B.外离、相交C.外切、外离D.外离、内切

4.某市2017年年底自然保护区覆盖率为8%,经过两年努力，该市2019年年底自然保护

区覆盖率达到9%,求该市这两年自然保护区面积的平均增长率.设年均增长率为x,可

列方程为（）

A.9%（1-x）2=8%B.8%（1-%）2=9%

C.9%（1+x）2=8%D.8%（1+x）2=9%

5.如图，一块含有30°角的直角三角板A8C,在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A'

B'C的位置.若AC=15c〃z,那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（）

A.10nc机B.1C.15nc机D.lOucm

6.抛物线尸W（x+5）2+l,下列说法正确的是（）

A.开口向下，顶点坐标（5,1）

B.开口向上，顶点坐标（5,1）

C.开口向下，顶点坐标(-5,1)

D.开口向上，顶点坐标(-5,1)

7.将抛物线y=N-4x-4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式

为()

A.y=(x+1)2-13B.y=(x-5)2-5

C.y=(x-5)2-13D.y=(x+1)2-5

8.如图，尸。是半。。的直径，两正方形彼此相邻且内接于半圆，石是中点，若小正方

A.Sy/~2cmB.(8+2^5)cmC.4r\/~ScmD.

9.如图所示为抛物线ynaN+bx+c(Q#0)在坐标系中的位置，以下六个结论：①〃>0；②

b>0；③c>0；@b2-4ac>0；⑤〃+b+c<0；®2a+b>0.其中正确的个数是()

A.3B.4C.5D.6

--1<"—(Y-O5)

10.若数4关于X的不等式组2'飞3二G恰有三个整数解，且使关于y的分式方程

3x-a》-2(1+x)

上华冬-=-2的解为正数，则所有满足条件的整数。的值之和是()

y-11-y

A.2B.3C.4D.5

11.把一副三角板如图甲放置，其中NACB=NOEC=90°,ZA=45°,/。=30°,斜

边AB=6,DC=9,把三角板。CE绕点C顺时针旋转15°得到△GCEi(如图乙)，此

时AB与CA交于点。，则点。到ADi的距离为()

D-V

12.如图，在平面直角坐标系内，正方形0A8C的顶点A,B在第一象限内，且点A,B在

反比例函数y=K（左WO）的图象上，点C在第四象限内.其中，点A的纵坐标为4,则

X

C.873-8D.875-8

二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）

13.抛物线y=N+2x-4的对称轴是，顶点坐标是

14.己知圆。1与OQ外切，它们的圆心距为16c相，05的半径是12cm,则。。2的半径是

cm.

15.某班级准备举办“迎鼠年，闹新春”的民俗知识竞答活动，计划A、2两组对抗赛方式

进行，实际报名后，A组有男生3人，女生2人，2组有男生1人，女生4人，若从两组

中各随机抽取1人，则抽取到的两人刚好是1男1女的概率是.

16.如果一个三角形的三边长都是一元二次方程N-12x+36=0的根，那么这个三角形的面

积等于.

17.如图，正方形ABC。中，点E,E分别在BC和AB上，BE=2,AF=2,BF=4,将4

2所绕点E顺时针旋转，得到△GEH,当点X落在边上时，F,X两点之间的距离

为

18.金秋十月，丹桂飘香，重庆市蒙江区某中学举行了创新科技大赛，该校初二年级某班共

有18人报名参加航海组、航空组和无人机组三个项目组的比赛(每人限参加一项)，其

中航海组的同学比无人机组的同学的两倍少3人，航空组的同学不少于5人但不超过9

人，班级决定为航海组的每位同学购买2个航海模型，为航空组的每位同学购买3个航

空模型，为无人机组的每位同学购买若干个无人机模型，已知航海模型75元每个，航空

模型98元每个，无人机模型165元每个，若购买这三种模型共需花费6939元，则其中

购买无人机模型的费用是.

三、解答题(本大题7个小题，每小题10分，共70分)

19.解方程

(1)(x+1)2-25=0

(2)x2-4x-2=0

20.如图，8E为。。的直径，C为线段BE延长线上一点，C4为。。的切线，A为切点，

连接AB,AE,AO.ZC=30°.

(1)求N4BC的度数；

(2)求证：BO=CE；

(3)已知。。的半径为6,求图中阴影部分的面积.(结果保留TT)

21.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(-1,5),B(-1,0),C(-4,3).

(1)作出△ABC向下平移1个单位，再向左平移2个单位后的图形△AiBiG.

(2)作出△ABC以A为旋转中心逆时针旋转90°后的图形222c2.

22.学校调查了某班同学上学的方式有四种：骑自行车、步行、乘坐公交车和家长接送(分

别用A、B、C、。表示)，根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图(未

完成)，请集合图中所给信息解答下列问题：

(1)这个班级学生共有多少人？

(2)将两幅不完整的图补充完整；

(3)求扇形统计图中C所对圆心角的度数；

(4)已知步行上学的同学中有3名女同学，学校将从步行上学的同学中随机选出2名同

学参加交通安全知识培训，求所选2名同学恰好是一男一女的概率.

23.小明根据学习函数的经验，对函数尸击+1的图象与性质进行了探究.下面是小明

的探究过程，请补充完整:

J。

4,i

1

J

一q

1

-3-2-1001

1

-1

（1）函数尸W+l的自变量X的取值范围是——；

（2）如表列出了y与x的几组对应值，请写出小，”的值：m=,n—:

3.

X•••-11013_2_537_•••

~~2~27~2

・・・・・

y.3_m0-1n25_3_工

~3百

（3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该

函数的图象.

（4）结合函数的图象，解决问题：

①写出该函数的一条性质：.

②当函数值±+1＞提时，x的取值范围是：________.

x-12

24.如果一个自然数的各数位上的数字之和等于11,则我们称这个数为“十一数”.例如

在236中，因为2+3+6=11,所以236是“十一数”.

⑴数1357“十一数”（填“是”或“不是”）,请写出一个最小的两位数的

“十一数”.

（2）我们把能被11整除的"一数”称为“双H"一数"，是否存在M=138+10a+6（0

WaW9,0W6W9,a、b为整数）是“双H^一数”，若存在，求出M的值，并写出推理

过程；若不存在，请说明理由.

25.蒙江区通惠街道绿化工作如火如荼开展，某校积极参与此项活动，学校在去年10月份

购买甲、乙两种花卉共144盆美化学校，共花费了736元，其中甲种花卉的单价是乙种

花卉单价的1.5倍，且乙种花卉每盆4元.

（1）求甲、乙两种花卉各买了多少盆？

（2）由于美化效果好，今年1月份学校决定再购买一批这两种花卉进一步美化学校，其

中乙种花卉购买数量与去年10月份数量相同，甲种花卉在去年10月份购买数量基础上

增加了金％,购买时发现甲种花卉单价下降了机％,乙种花卉的单价下降了结

5o

果比去年10月份少花了56元，求机的值.

四、解答题（本大题1个小题，共8分）

26.已知抛物线y=ov2+bx+c（czWO）的顶点为（2,-1）,与y轴交于点C（0,3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点尸为抛物线在直线下方图形上的一动点，当△P2C面积最大时，求点尸的坐

标；

（3）若点。为线段OC上的一动点，问：4。+夸。。是否存在最小值？若存在，求出

这个最小值；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）

1.一元二次方程x2-1=0的根为（）

A.x=lB.x=-1C.xi=l,X2=~1D.xi=0,X2=l

解：X2-1=0,

移项得：X2=l,

两边直接开平方得：尤=±1,

故选：C.

2.下列说法正确的是（）

A.“明天的降水概率为30%”是指明天下雨的可能性是30%

B.连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25次

C.连续三次掷一颗骰子都出现了奇数，则第四次出现的数一定是偶数

D.某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%,买这种彩票100张一定会中奖

解：4、正确；

8、这是一个随机事件，抛一枚硬币，出现正面朝上或者反面朝上都有可能，但事先无法

预料，错误；

C、这是一个随机事件，掷一颗骰子，出现奇数或者偶数都有可能，但事先无法预料，错

误；

。、这是一个随机事件，买这种彩票，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，错误.

故选：A.

3.如图，国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成，在这个图案中反映出的两圆位置关

系有（）

A.内切、相交B.外离、相交C.外切、外离D.外离、内切

解：在这个图案中反映出的两圆位置关系有两种：外离和相交.

故选：B.

4.某市2017年年底自然保护区覆盖率为8%,经过两年努力，该市2019年年底自然保护

区覆盖率达到9%,求该市这两年自然保护区面积的平均增长率.设年均增长率为x,可

列方程为（）

A.9%（1-尤）2=8%B.8%（1-%）2=9%

C.9%（1+尤）2=8%D.8%（1+x）2=9%

解：设该市总面积为1,该市这两年自然保护区的年均增长率为x,根据题意得

1X8%X（1+x）2=1x9%,

即8%（1+x）2=9%.

故选：D.

5.如图，一块含有30。角的直角三角板ABC,在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到川

A.lOircmB.10\^3TTcmC.15ircmD.20Tte"

解：VZACB=60°,

AZACA'=180°-120°,

120-K-15

顶点A从开始到结束所经过的路径长=IOTT(cm)

180

故选：A.

6.抛物线尸W（x+5）2+1,下列说法正确的是（

5

A.开口向下，顶点坐标（5,1）

B.开口向上，顶点坐标（5,1）

C.开口向下，顶点坐标（-5,1）

D.开口向上，顶点坐标（-5,1）

解：:抛物线y=-[(x+5)

D

・,・该抛物线的开口向下，顶点坐标为（-5,1）,

故选：C.

7.将抛物线＞=12-以-4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式

为()

A.y=(x+1)2-13B.y=(x-5)2-5

C.y=(x-5)2-13D.y=(x+1)2-5

解：*/y=x2-4x-4=(x-2)2-8,

・••将抛物线y=N-4x-4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达

式为y=(%-2+3)2-8+3,即y=(x+1)2-5.

故选：D.

8.如图，尸。是半。。的直径，两正方形彼此相邻且内接于半圆，E是中点，若小正方

A.8yf2cmB.(8+2^/g)cmC.4^而cmD.

解：连接08、OC,

YE是CO中点，DE=4cm,

CD=2DE=8cm,

・・•四边形ABC。为正方形，

：.AB=DC,ZBAO=ZCDO=90°,

在RtABAO和RtACDO中，

fOB=OC

IAB=DC,

ARtABAO^RtACDO(HL),

，04=0。=工X8=4(cm),

2

在RtZXCOO中，由勾股定理得：。。=在手""群=北"^=伞西(。机)，

二半圆的直径尸。的长=2X4娓=8爬(cm),

故选：D.

9.如图所示为抛物线丁=〃/+加+。（〃wo）在坐标系中的位置，以下六个结论：①〃>0；②

b>0；③c>0；④拄-4〃c>0；⑤Q+/?+CV0；®2a+b>0.其中正确的个数是（）

解：①由抛物线的开口方向向上可推出。>0,正确；

②因为对称轴在y轴右侧，对称轴为彳=-袅>0,又因为。>0,

.\b<0,错误；

③由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，

Ac>0,正确；

④抛物线与x轴有两个交点，

-4ac>0,正确；

⑤由图象可知：当％=1时，y>0,

a+b+c>0f错误；

⑥由图象可知：对称轴1=--^->0且对称轴1=--^-<L

2a2a

2a+b>0,正确；

故选：B.

-（Y-O5）

10.若数。关于％的不等式组2^3kX乙,恰有三个整数解，且使关于y的分式方程

、3x-a》-2（1+x）

上半--=-2的解为正数，则所有满足条件的整数。的值之和是（）

y-i1-y

A.2B.3C.4D.5

解："-l4/(x-2),

3x-a》-2(1+x)

解不等式(x-2),得：xW2,

/o

解不等式3x-“2-2(1+x),得：x，-,

5

・・•不等式组恰有三个整数解，

・•・-1<W0,

解得-3VW2,

解分式方程上孚卓-=-2得y=2a-

1,

y-11-y

2a-l>0

由题意知,

解得a■且a=1,

则满足-3<aW2且心^且的所有整数有2,

所以所有满足条件的整数a的值之和是2.

故选：A.

11.把一副三角板如图甲放置，其中NACB=NOEC=90°,/A=45°,/。=30°,斜

边A8=6,DC=9,把三角板。CE绕点C顺时针旋转15°得到△ZZCEi(如图乙)，此

时AB与C》交于点0,则点。到ADi的距离为()

D-V

解：VZACB=ZDEC=9Q°,ZD=30°,

ZZ)CE=90°-30°=60°,

AZACD=90°-60°=30°,

•・•旋转角为15°,

ZACZ)i=30°+15°=45°，

又・.・NA=45°,

・・・△ACO是等腰直角三角形，

：.AO=CO=—AB=—X6=3AB.LCO

22ff

•：DC=9,

：.DiC=DC=9f

.\DiO=9-3=6,

在RtAAOOi中，ADx=倔而方=后:记=3旄.

A0*D10OXA

...点°到AD1的距离_=五后=一丁

故选：C.

12.如图，在平面直角坐标系内，正方形。45。的顶点A,5在第一象限内，且点A,5在

反比例函数>=工（4W0）的图象上，点C在第四象限内.其中，点A的纵坐标为4,则

x

k的值为（）

解：作AE_Lx轴于E,BFWx轴，交AE于尸,

ZOAE+/BAF=90°=ZOAE+ZAOE,

：.NBAF=ZAOE,

在△AOE和△8AF中,

，ZA0E=ZBAF

<ZAEO=ZBFA=90°

0A=AB

:.△AOE学ABAF(.AAS),

AOE=AF,AE=BF,

..•点A,2在反比例函数y=K（ANO）的图象上，点A的纵坐标为4,

X

**.A4），

4

：.B（4k+4,4-k-y）,

44

：.k=（4+4）（4-4）-

44

解得k=-8±8旄（负数舍去），

，左=8代-8,

二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）

13.抛物线y=/+2尤-4的对称轴是直线x=-1,顶点坐标是（-1,-5）.

解：：抛物线的解析式为y=N+2x-4,

抛物线的对称轴为直线％=-b顶点坐标为（-1,-5）.

故答案为：直线x=-1,（-1,-5）.

14.己知圆Oi与。。2外切，它们的圆心距为16cm,。。1的半径是12c〃z,则。。2的半径是

4_cm.

解：根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得该圆的半径是16-12=4cm.

故答案为：4.

15.某班级准备举办“迎鼠年，闹新春”的民俗知识竞答活动，计划A、B两组对抗赛方式

进行，实际报名后，A组有男生3人，女生2人，8组有男生1人，女生4人，若从两组

14

中各随机抽取1人，则抽取到的两人刚好是1男1女的概率是一片

解：画树状图如图:

由树状图知，共有25种等可能结果，其中抽取到的两人刚好是1男1女的有14种结果,

，抽取到的两人刚好是1男1女的概率是落；

故答案为：

16.如果一个三角形的三边长都是一元二次方程炉-12/36=0的根，那么这个三角形的面

积等于

解：解方程N-12x+36=0,得打=尤2=6.

:一个三角形的单边均满足方程尤2-12X+36=0,

•••该三角形是以6为边长的等边三角形，

该三角形的面积为：£x6X6义与'=9代.

乙乙

故答案是：9A/3-

17.如图，正方形ABCD中，点、E,尸分别在BC和A3上，BE=2,AF=2,BF=4,将4

8EF绕点E顺时针旋转，得到△GEH,当点“落在。边上时，F,”两点之间的距离

为_^7io_.

解：连接切,

・・•四边形A3CD是正方形，

：.ZB=ZC=90°,AB=BC,

U：AF=2,BF=4,

：.AB=69

•；BE=2,

：.CE=4,

：.BF=CE,

・・,将△瓦;尸绕点E顺时针旋转，得到△GEH,

：.EF=EH,

在RtAEBF和RtAHCE中,

[EF=EH

[BF=CE，

：.Rt/\EBF^RtAHCE(HL),

:・/EFB=NHEC,

•：ZEFB+ZBEF=90°,

：.ZBEF+ZCEH=90°,

：.ZFEH=90°,

9：BF=4,BE=2,

・・・—心尸2+BE2=J42+22=2灰,

：.FH=42PF=2^.

18.金秋十月，丹桂飘香，重庆市素江区某中学举行了创新科技大赛，该校初二年级某班共

有18人报名参加航海组、航空组和无人机组三个项目组的比赛（每人限参加一项），其

中航海组的同学比无人机组的同学的两倍少3人，航空组的同学不少于5人但不超过9

人，班级决定为航海组的每位同学购买2个航海模型，为航空组的每位同学购买3个航

空模型，为无人机组的每位同学购买若干个无人机模型，已知航海模型75元每个，航空

模型98元每个，无人机模型165元每个，若购买这三种模型共需花费6939元，则其中

购买无人机模型的费用是4125元.

解：设无人机组有x人，则航海组有（2x-3）人，航空组有（21-3x）人,

依题意得:僚总

解得：4WxW学，

O

又：尤为正整数，

可以为4或5.

当尤=4时，2元-3=5,买航海模型的费用为5X2X75=750（元）；21-3x=9,买航空

模型的费用为9X3X98=2646（元）,

，购买无人机模型的费用为6939-750-2646=3543（元），

，购买无人机模型的数量为3543+165=21筌（个），

•.•购买无人机模型的数量为整数，

.,.x=4不符合题意，舍去；

当x=5时，2x-3=7,买航海模型的费用为7X2X75=1050（元）；21-3x=6,买航

空模型的费用为6X3X98=1764（元），

购买无人机模型的费用为6939-1050-1764=4125（元），

购买无人机模型的数量为4125+165=25（个），符合题意.

故答案为：4125元.

三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）

19.解方程

(1)(x+1)2-25=0

(2)x2-4x-2=0

解：(1)5+1)2-25=0,

(x+1)2=25,

x+1=±5,

x=±5-1,

xi=4,xi--6；

(2)x2-4x-2=0,

\9a=l,b=-4,c=-2,

AA=b2-4ac=(-4)2-4XlX(-2)=24>0,

二=法普=2土通，

即为=2+返，X2=2-娓.

20.如图，8E为。。的直径，C为线段BE延长线上一点，CA为。。的切线，A为切点,

连接4B,AE,AO./C=30°.

(1)求NABC的度数；

(2)求证：BO=CE-,

(3)已知。。的半径为6,求图中阴影部分的面积.(结果保留TT)

【解答】(1)解：为的切线，

：.ZOAC=9Q°,

AZAOC=90°-ZC=60°,

由圆周角定理得，ZABC=^ZAOC=3Q°；

(2)证明：在RtZXAOC中，NC=30°,

：.OA~OC,

2

'：OA=OB=OE,

：.OB=CE-,

(3)解：在Rt^AOC中，AC=-^=6V3，

tanC

2

图中阴影部分的面积=枭6*d后60n；；6=18依-6亿

21.如图，在平面直角坐标系尤Oy中，A(-1,5),B(-1,0),C(-4,3).

(1)作出△ABC向下平移1个单位，再向左平移2个单位后的图形△A1B1G.

(2)作出△ABC以A为旋转中心逆时针旋转90°后的图形△?1282c2.

(3)求出四边形ACBC2的周长和面积.

解：(1)如图所示:

(2)如图所示：

(3)AC=^22+32=,/13>BC=N呼+声=3弧,BC2=^22+22=2V2>AC2=

V22+32=^/13)

C四边形配BC?=AC+8C+8C2+AC2=27i^+5&；

s四边形肥BC2=S"BESAABC2="1"X5X3卷X5X2=零.

22.学校调查了某班同学上学的方式有四种：骑自行车、步行、乘坐公交车和家长接送(分

别用A、B、C、。表示),根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图(未

完成)，请集合图中所给信息解答下列问题：

(1)这个班级学生共有多少人？

（2）将两幅不完整的图补充完整；

（3）求扇形统计图中C所对圆心角的度数；

（4）已知步行上学的同学中有3名女同学，学校将从步行上学的同学中随机选出2名同

学参加交通安全知识培训，求所选2名同学恰好是一男一女的概率.

解：（1）24+40%=60,

所以这个班级学生共有60人；

（2）C类人数为60-18-6-24=12（人），

A类所占的百分比为民义100%=30%,

60

一

C类所占的百分比为1羔9X100%=20%,

60

两幅不完整的图补充为：

（3）扇形统计图中。所对圆心角的度数=360°X20%=72°；

（4）画树状图为；

里男男

力力XX女力力女女女男男女女女

竟、女女

女女

m

共有30种等可能的结果数，其中所选2名同学恰好是一男一女的结果数为18,

所以所选2名同学恰好是一男一女的概率=导=合.

3UD

23.小明根据学习函数的经验，对函数y=2+l的图象与性质进行了探究.下面是小明

X-1

的探究过程，请补充完整:

X-l

⑵如表列出了y与x的几组对应值，请写出加，，的值：片

3.

X•••-11013,25_37_•••

~~2~~2~27~27

・・・・・・

y3_m0-1n25_3_工

~3百~2

（3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该

函数的图象.

（4）结合函数的图象，解决问题：

①写出该函数的一条性质：函数图象经过原点且关于点（1,1）对称.

131

②当函数值一时，尤的取值范围是：1＜尤＜3.

x-l2

解：（1）由分式的分母不为。得：x-1W0,

故答案为：xWL

（2）当x=-l时，y=-

x-l2

当户高时，产」7+1=3，

2x-l

,12

..m=—,〃=3,

2

故答案为：处,3.

（3）如图:

（4）①观察函数图象，可知：函数图象经过原点且关于点（1,1）对称，

故答案为：函数图象经过原点且关于点（1,1）对称.

②观察函数图象，可知：当函数值±+1>2时，x的取值范围是l<x<3,

故答案为：1〈尤<3.

24.如果一个自然数的各数位上的数字之和等于11,则我们称这个数为“十一数”.例如

在236中，因为2+3+6=11,所以236是“H^一数”.

⑴数1357不是“十一数”（填“是”或“不是”），请写出一个最小的两位数的

—数”29.

（2）我们把能被11整除的“H^一数”称为“双H^一数”，是否存在138+10a+6（0

WaW9,0W6W9,a、b为整数）是“双H—数”，若存在，求出M的值，并写出推理

过程；若不存在，请说明理由.

解：（1）V1+3+5+7=16^11,

.•.数1357不是“十一数”，

=11=2+9=3+8=4+7=5+6,

•••最小的两位数的“十一数”是29,

（2）138+10。+>（0WaW9,0W6W9,a、b为整数）,

.•.138WMW237,

是“双H■•一数”，

能被11整除，

.♦.M可能为：143,154,176,187,198,209,220,231,

各数位上的数字之和等于11,

为209

25.蒙江区通惠街道绿化工作如火如荼开展，某校积极参与此项活动，学校在去年1