2 微专题：空间向量的概念 表示及其运算(用空间向量解答立体几何问题)-上海外国语大学附属浦东外国语学校2022届高考数学二轮复习专题讲义

【学生版】微专题：空间向量的概念、表示及其运算【主题】1、空间向量的定义及其相关概念（1）定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量；（2）模（或长度）：向量的大小；（3）几类特殊的向量①零向量：模等于0的向量称为零向量，记作；②单位向量：模等于1的向量称为单位向量；③相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量；④相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量；⑤平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行；⑥共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；思考：空间中任意两个向量共面吗？空间中任意三个向量呢？[提示]空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面．2、空间向量的表示方法：①字母表示法：可以用字母，…表示，模为，…②几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为eq\o(AB,\s\up7(→))，模为|eq\o(AB,\s\up7(→))|；③坐标表示法：可以用字母；3、空间向量的线性运算类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算【会熟练地用：符号、有向线段、坐标表示】；图1图2（1）如图1，eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝，eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝；（2）如图2，eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(DD1,\s\up7(→))＝eq\o(DB1,\s\up7(→))．即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量．（3）给定一个实数λ与任意一个空间向量，则实数λ与空间向量相乘的运算称为数乘向量，记作λ；其中：①当λ≠0且时，λ的模为|λ|||，而且λ的方向：(ⅰ)当λ＞0时，与的方向相同；(ⅱ)当λ＜0时，与的方向相反；②当λ＝0或a＝0时，λ＝；（4）空间向量的线性运算满足如下运算律：对于实数λ与μ，向量与，有①λ＋μ＝(λ＋μ)；②λ(＋)＝λ＋λ；（5）空间向量的运算与坐标的关系向量和向量差数量积共线垂直夹角公式空间两点间的距离公式设点，则中点坐标设点，则的中点坐标为4、空间向量的数量积（1）数量积及相关概念①两向量的夹角：已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝，eq\o(OB,\s\up6(→))＝，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作〈，〉，其范围是[0，π]，若〈，〉＝eq\f(π,2)，则称与互相垂直，记作⊥；②非零向量，的数量积·＝|||b|cos〈，〉.（2）空间向量数量积的运算律：①结合律：(λ)·＝λ(·)；②交换律：·＝·；③分配律：·(＋)＝·＋·（3）数量积的几何意义①向量的投影：如图所示，过向量的始点和终点分别向所在的直线作垂线，即可得到向量在向量上的投影；②数量积的几何意义：与的数量积等于在上的投影的数量与的长度的乘积，特别地，a与单位向量的数量积等于在e上的投影的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0；【典例】例1、如图，已知三棱锥，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记，则（）A.B.C.D.【提示】【答案】【解析】【说明】例2、以下四个命题中，正确的是（）A.若，则三点共线B.C.若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底D.为直角三角形的充要条件是例3、如图，在三棱锥中，两两垂直，且，，为的中点，则等于（）A.3 B.2C.1 D.0例4、如图在一个的二面角的棱上有两个点，分别连接线段在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，且，，则的长为（）A.2a B. C. D.例5、正方体的棱长为1，若动点在线段上运动，则的取值范围是________【归纳】1、知识必备（1）空间向量的基本概念，特别注意单位向量和零向量．单位向量的长度为1，方向任意．零向量的方向是任意的，与任意向量平行，零向量与任意向量的数量积为0．（2）向量的线性运算包括向量的加法、减法与数乘运算．加减法运算遵循平行四边形法则和三角形法则，向量的数量积运算要注意两个向量的夹角．2、方法必备（1）数形结合法：求两向量夹角时，一定要结合图形确定角的位置．（2）转化法：在求异面直线所成的角时要转化为两个向量的夹角，结合异面直线所成角的范围确定．（3）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底唯一表示，空间中的基底是不唯一的；2．在用基底表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示；3、向量的运算有线性运算和数量积运算两大类，运算方法有两种：一种是建立空间坐标系，用坐标表示向量，向量运算转化为坐标运算，另一种是选择一组基向量，用基向量表示其它向量，向量运算转化为基向量的运算.【即时练习】1、如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为1，则与夹角的余弦值是（）A. B. C. D.2、设向量，其中，则下列判断错误的是（）A.向量与轴正方向的夹角为定值（与之值无关）B.的最大值为C.与的夹角的最大值为D.的最大值为3、若向量，则向量的夹角为_____．4、已知三棱锥，点，分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于5、已知空间四边形，其对角线为，，，分别是对边，的中点，点在线段上，，现用基向量，，，表示向量，设，则，，的值分别是6、若向量，，，，，，且与的夹角余弦为，则等于7、在空间四边形中，，8、在正四面体中，棱长为1，且为棱的中点，则的值为9、如图，在空间四边形中，，为其对角线，为的重心．（1）求证：；（2）化简：．10、在长方体中，，，点为底面上一点，求：的最小值。【教师版】微专题：空间向量的概念、表示及其运算【主题】1、空间向量的定义及其相关概念（1）定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量；（2）模（或长度）：向量的大小；（3）几类特殊的向量①零向量：模等于0的向量称为零向量，记作；②单位向量：模等于1的向量称为单位向量；③相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量；④相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量；⑤平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行；⑥共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；思考：空间中任意两个向量共面吗？空间中任意三个向量呢？[提示]空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面．2、空间向量的表示方法：①字母表示法：可以用字母，…表示，模为，…②几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为eq\o(AB,\s\up7(→))，模为|eq\o(AB,\s\up7(→))|；③坐标表示法：可以用字母；3、空间向量的线性运算类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算【会熟练地用：符号、有向线段、坐标表示】；图1图2（1）如图1，eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝，eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝；（2）如图2，eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(DD1,\s\up7(→))＝eq\o(DB1,\s\up7(→))．即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量．（3）给定一个实数λ与任意一个空间向量，则实数λ与空间向量相乘的运算称为数乘向量，记作λ；其中：①当λ≠0且时，λ的模为|λ|||，而且λ的方向：(ⅰ)当λ＞0时，与的方向相同；(ⅱ)当λ＜0时，与的方向相反；②当λ＝0或a＝0时，λ＝；（4）空间向量的线性运算满足如下运算律：对于实数λ与μ，向量与，有①λ＋μ＝(λ＋μ)；②λ(＋)＝λ＋λ；（5）空间向量的运算与坐标的关系向量和向量差数量积共线垂直夹角公式空间两点间的距离公式设点，则中点坐标设点，则的中点坐标为4、空间向量的数量积（1）数量积及相关概念①两向量的夹角：已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝，eq\o(OB,\s\up6(→))＝，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作〈，〉，其范围是[0，π]，若〈，〉＝eq\f(π,2)，则称与互相垂直，记作⊥；②非零向量，的数量积·＝|||b|cos〈，〉.（2）空间向量数量积的运算律：①结合律：(λ)·＝λ(·)；②交换律：·＝·；③分配律：·(＋)＝·＋·（3）数量积的几何意义①向量的投影：如图所示，过向量的始点和终点分别向所在的直线作垂线，即可得到向量在向量上的投影；②数量积的几何意义：与的数量积等于在上的投影的数量与的长度的乘积，特别地，a与单位向量的数量积等于在e上的投影的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0；【典例】例1、如图，已知三棱锥，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记，则（）A.B.C.D.【提示】注意：空间向量基本定理与向量线性运算的几何意义；【答案】C；【解析】如图所示，连接ON，因为，，，由已知，又，，所以，故选【说明】本题考查向量的三角形法则与平行四边形法则，向量的线性表示，利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则，把用，和线性表示即可；在立体几何的多面体中，结合几何性质可以借鉴这种“思路与表示方法”；例2、以下四个命题中，正确的是（）A.若，则三点共线B.C.若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底D.为直角三角形的充要条件是【提示】注意：理解空间向量的相关概念与运算律【答案】C；【解析】

对于A，若，因为，则三点不共线，所以不正确；对于B，

设，则，所以不正确；对于C，向量是空间的一个基底，则不共面，则也不共面，所以能构成空间的另一个基底，所以正确；对于D，

时，为直角，故为直角三角形，即必要性成立，反之也可以是，为直角，所以不正确；故选C；【说明】本题考查平面向量和空间向量的加减运算及数量积运算，同时考查空间向量基本定理及充要条件的判定，还考查向量共线的条件；辅导命题，可以用“举反例”方法；例3、如图，在三棱锥中，两两垂直，且，，为的中点，则等于（）A.3 B.2C.1 D.0【提示】注意：以题设中的“”为基向量表示；【答案】D；【解析】因为，

，又因为，，，两两垂直，且，所以，；故选D；

【说明】本题考查空间向量的符号表示与三角形法则以及数量积运算；利用向量的三角形法则将表示成，根据垂直和长度关系即可得到结果；所以，本题说明：选对“基向量”，计算正确是利用空间向量解答立体几何问题的关键；例4、如图在一个的二面角的棱上有两个点，分别连接线段在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，且，，则的长为（）A.2a B. C. D.【提示】注意：由题设不妨以“，”确定基向量；【答案】A；【解析】因为，，，所以，，又因为，所以，，再由，所以，，则；故选A；【说明】本题考查空间向量的符号表示与加法运算、空间向量的数量积；由已知可得，利用数量积与几何性质与度量，计算即可得出；例5、正方体的棱长为1，若动点在线段上运动，则的取值范围是________【提示】注意：用向量运算转化“动点在线段上运动”【答案】；【解析】依题意，设，其中，，因此的取值范围是，故答案为；【说明】本题主要考查空间向量符号表示与向量的数乘、数量积的运算；设，其中，是本题的关键，展开运算即可；根据本题“两两垂直”的特征比较明显，建议用空间向量的坐标表示试试；【归纳】1、知识必备（1）空间向量的基本概念，特别注意单位向量和零向量．单位向量的长度为1，方向任意．零向量的方向是任意的，与任意向量平行，零向量与任意向量的数量积为0．（2）向量的线性运算包括向量的加法、减法与数乘运算．加减法运算遵循平行四边形法则和三角形法则，向量的数量积运算要注意两个向量的夹角．2、方法必备（1）数形结合法：求两向量夹角时，一定要结合图形确定角的位置．（2）转化法：在求异面直线所成的角时要转化为两个向量的夹角，结合异面直线所成角的范围确定．（3）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底唯一表示，空间中的基底是不唯一的；2．在用基底表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示；3、向量的运算有线性运算和数量积运算两大类，运算方法有两种：一种是建立空间坐标系，用坐标表示向量，向量运算转化为坐标运算，另一种是选择一组基向量，用基向量表示其它向量，向量运算转化为基向量的运算.【即时练习】1、如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为1，则与夹角的余弦值是（）A. B. C. D.【提示】本题考查用空间向量数量积运算求夹角；以为空间向量的基底，表示出和，由空间向量的数量积求出向量的夹角的余弦值即得；【答案】B；【解析】由题意以为空间向量的基底，，，，，，所以，即与夹角的余弦值为2、设向量，其中，则下列判断错误的是（）A.向量与轴正方向的夹角为定值（与之值无关）B.的最大值为C.与的夹角的最大值为D.的最大值为【提示】在A中，取z轴的正方向向量，求出与的夹角即可判断命题正确；在B中，计算，利用基本不等式求出最大值即可判断命题错误；在C中，利用数量积求出与的夹角的最大值，即可判断命题正确；在D中，利用基本不等式求出最大值即可判断命题正确．本题考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质等基础知识与基本技能方法，考查运算求解能力；【答案】B；【解析】由向量，其中，知：在A中，设轴正方向的方向向量，设向量与轴正方向的夹角为，则，所以，，所以，向量与z轴正方向的夹角为定值（与c，d之值无关），故A正确；在B中