期末高频考点第08讲 几何体球体外接、内接模型和最值问题-2021-2022学年高一数学下学期《考点·题型·密卷》期末精讲精练高效复习专题（人教A版2019必修第二册）

期末高频考点第08讲：几何体球体外接、内接模型和最值问题高频考点梳理考点一：球的切、接问题的常用结论(1)长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即eq\r(a2＋b2＋c2)＝2R.(2)若直棱柱(或有一条棱垂直于一个面的棱锥)的高为h，底面外接圆半径为x，则该几何体外接球半径R满足R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))eq\s\up16(2)＋x2.(3)外接球的球心在几何体底面上的投影，即为底面外接圆的圆心．(4)球(半径为R)与正方体(棱长为a)有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体，此时2R＝a；二是球与正方体的十二条棱相切，此时2R＝eq\r(2)a；三是球外接于正方体，此时2R＝eq\r(3)a.3．补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1图2图3图4考点二：正四面体外接球如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为.考点三：对棱相等的三棱锥外接球四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题.如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以.考点四：直棱柱外接球如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）图1图2图3第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：，解出考点五：直棱锥外接球如图，平面，求外接球半径.解题步骤：第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：=1\*GB3①；=2\*GB3②.考点六：正棱锥外接球正棱锥外接球半径：.考点七：垂面模型如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．图1图2高频题型归纳题型一：直接法(公式法)1．（2021·内蒙古包头·高一期末）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，若平面，，则球的表面积为（

）A． B． C． D．2．（2021·贵州贵阳·高一期末）某三棱锥的三视图如图中粗实线所示(每个小方格的长度为1)，则该三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B．C． D．3．（2021·黑龙江·哈师大附中高一期末）矩形中，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为（

）A． B． C． D．题型二：构造法(补形法)4．（2022·浙江省开化中学高一期末）如图在正三棱锥中，分别是棱的中点，为棱上的一点，且，，若，则此正三棱锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．5．（2021·广东广州·高一期末）《九章算术》中记载，堑堵是指底面为直角三角形的直三棱柱，阳马是指底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如图，在堑堵中，，=3，当阳马的体积为8时，堑堵的外接球表面积的最小值是（

）A． B． C． D．6．（2021·浙江湖州·高一期末）在三棱锥中，已知平面，，，，，则三棱锥的外接球的体积为（

）．A． B． C． D．题型三：确定球心位置法7．（2021·江苏常州·高一期末）如图，在四棱锥中，已知底面，且，则该四棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．8．（2021··高一期末）已知四面体中，平面，，，且，则四面体的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．9．（2021·辽宁·辽河油田第一高级中学高一期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2a，E是AB的中点，将△ADE沿DE翻折至△A1DE的位置，使三棱锥A1﹣CDE的体积取得最大值，若此时三棱锥A1﹣CDE外接球的表面积为16π，则a＝（

）A．2 B． C． D．4题型四：球表面积和体积最值问题10．（2021·浙江丽水·高一期末）已知球的球面面积为，四面体的四个顶点均在球面上，且平面，，，则该四面体的体积的最大值是____．11．（2020·浙江杭州·高一期末）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽花，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原，如图所示，平行四边形形状的纸片是由六个边长为的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为__________．12．（2021·云南·曲靖市第二中学高一期末）在三棱锥中，，，，，当此三棱锥的体积最大时，该三棱锥的外接球的体积为___________.专题强化精练一、单选题13．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一期末）已知在正四面体ABCD中，E是AD的中点，P是棱AC上的一动点，BP＋PE的最小值为，则该四面体内切球的体积为（

）A．π B．πC．4π D．π14．（2020·山东德州·高一期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥是阳马，PA=5，AB=3，BC=4，则该阳马的外接球的表面积为（

）A． B．50π C．100π D．15．（2021·山东青岛·高一期末）已知是面积为的等边三角形，其顶点均在球的表面上，当点在球的表面上运动时，三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（

）A． B． C． D．16．（2021·江苏·高邮市临泽中学高一期末）一个长、宽、高分别为80cm、60cm、100cm的长方体形状的水槽装有适量的水，现放入一个直径为40cm的木球（水没有溢出）．如果木球正好一半在水中，一半在水上，那么水槽中的水面升高了（

）A．cm B．cmC．cm D．cm17．（2021·广东茂名·高一期末）已知三棱锥中，平面，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．18．（2021·江苏宿迁·高一期末）在直三棱柱中，，，，则这个直三棱柱的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．19．（2021·四川凉山·高一期末）三棱锥中，二面角大小为，且，，.若点、、、都在同一个球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．20．（2021·黑龙江·鹤岗一中高一期末）蹴鞠(如图所示)，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴､踢､蹋的含义，鞠最早系外包皮革､内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴､蹋､踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列人第一批国家非物质文化遗产名录.已知某蹴鞠的表面上有四个点S､A､B､C，满足为正三棱锥，M是SC的中点，且，侧棱，则该蹴鞠的体积为（

）A． B． C． D．21．（2021·浙江·镇海中学高一期末）等腰直角，直角边为2，沿斜边边上高翻折成直二面角，则三棱锥外接球的体积为（

）A． B． C． D．22．（2021·重庆复旦中学高一期末）已知正三棱柱的所有棱长都为2，则其外接球的表面积为（

）A． B． C． D．23．（2021·福建省福州第一中学高一期末）一个正方体的外接球的表面积为，从正方体的八个顶点中任取四个两两距离相等的点，以其中一点为球心，另三点都在球的表面，球的表面积为，则（

）A． B． C． D．24．（2021·江西抚州·高一期末）已知四棱锥，平面，，，，，二面角的大小为.若四面体的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为（

）A． B． C． D．二、填空题(共0分)25．（2022·陕西西安·高一期末）边长为3的正方形的四个顶点都在球上，与对角线的夹角为45°，则球的体积为______.26．（2021·广东江门·高一期末）古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，如图所示，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现吧！记圆柱的体积和表面积分别为、，球的体积和表面积分别为、，则____.27．（2021·江苏常州·高一期末）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图是阳马，平面，，，，则该阳马的外接球的表面积为___________.28．（2021·江西宜春·高一期末）三棱锥的各顶点都在球的球面上，，⊥平面，，球的表面积为，则三棱锥的表面积为_________．29．（2021·四川雅安·高一期末）已知长方体的所有顶点在一个球面上，且，，则这个球的体积为___________.30．（2021·贵州毕节·高一期末）端午节是中国的传统节日，“咸蛋黄”口味的粽子也越来越受人们的喜爱，高三年级各班进行了包粽子大赛，我们把粽子的形状近似为一个正四面体，蛋黄近似为一个球体，当这个球体与正四面体的六条棱都相切时小组获得奖励，若某小组获得了奖励，他们包的粽子棱长为3，则放入粽子的蛋黄的体积等于______．31．（2021·湖北孝感·高一期末）已知的三个顶点都在球的球面上，且，，若三棱锥的体积为，则球的表面积为___________.32．（2021·北京师大附中高一期末）我国魏晋时期的数学家刘徽在给《九章算术》作注时，想到了推算球体积的方法，创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形.如图1所示，在一个正方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分，就是牟合方盖，如图2所示，牟合方盖恰好把正方体的内切球包含在内并且同球相切.刘微指出，球体积与牟合方盖体积之比等于.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积等于__________.参考答案：1．A【解析】【分析】由于B处的三条棱两两垂直，可以把三棱锥补成长方体，求出体对角线长，即外接球的直径.【详解】由于B处的三条棱两两垂直，可以把三棱锥补成长方体，设球O半径为，则，∴球表面积.故选：A.2．D【解析】【分析】首先还原几何体，再利用补体，求三棱锥外接球的表面积.【详解】根据三视图，画出如图所示的三棱锥，两两互相垂直，，，，三棱锥可以补成如图所示的长方体，三棱锥和长方体的外接球是同一个外接球，，所以外接球的表面积.故选：D3．A【解析】【分析】设的中点为，连接，则由矩形的性质可知，所以可得为四面体外接球的球心，求出的长可得球的半径，从而可求出球的体积【详解】解：设的中点为，连接，因为四边形为矩形，所以，，所以为四面体外接球的球心，因为，所以，所以，所以面体外接球的半径为，所以该四面体外接球的体积为，故选：A4．D【解析】【分析】根据题意证明两两垂直，将三棱锥放入棱长为的正方体，两者外接球体积相同，求得正方体外接球体积即可得出答案.【详解】因为在中，分别是棱的中点，所以，因为，所以，因为三棱锥为正三棱锥，所以（对棱垂直），又因为面，，所以面，因为面，所以，在中，，因为三棱锥为正三棱锥，所以是等腰三角形，是等边三角形，所以，,所以，即，所以两两垂直，将此三棱锥放入正方体中，此正方体的面对角线长等于长，为,则该正方体棱长为，外接球半径，正方体外接球体积,此正三棱锥的外接球体积和正方体外接球体积相同，为.故选：D5．B【解析】【分析】设，，由阳马的体积为8求得，把堑堵补形为长方体，求其对角线长的最小值，可得堑堵的外接球的半径的最小值，代入球的表面积公式得答案．【详解】解：根据题意，把堑堵补形为长方体，则长方体的对角线即为堑堵的外接球的直径，设，，则阳马体积，，把堑堵补形为长方体，则长方体的对角线长，当且仅当时上式取“”．即堑堵的外接球的半径的最小值为，堑堵的外接球的表面积的最小值为，故选：B．6．B【解析】【分析】根据题意，得到该三棱锥是长方体的一个角，把三棱锥补成一个长方体，可得长方体的外接球和三棱锥的外接球为同一个球，结合长方体的对角线长，求得外接球的半径，进而求得球的体积，得到答案.【详解】如图所示，因为平面，平面，所以，同理可得，又因为，所以该三棱锥是长方体的一个角，把三棱锥补成一个长方体，可得长方体的外接球和三棱锥的外接球为同一个球，又由长方体的对角线长为,所以外接球的半径为，可得外接球的体积为.故选：B.7．B【解析】【分析】取中点，连接先证明点就是四棱锥外接球的球心，再求出外接球的半径即得解.【详解】取中点，连接由题得，又，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以，又.同理,所以，所以点就是四棱锥外接球的球心.因为，所以.所以所以外接球的半径为.所以该四棱锥外接球的表面积．故选：B8．B【解析】【分析】根据题意可求得的外接圆半径，再根据勾股定理求出四面体的外接球的半径，即可求解.【详解】解：如图所示：在中，，又且，故解得：，由余弦定理得：，即，故，设的外接圆半径为，则，设的外接圆圆心为，四面体的外接球球心为，则，四面体的外接球的表面积为：.故选：B.9．A【解析】【分析】首先分析出何时三棱锥A1﹣CDE的体积取得最大值，然后作出图形，找到球心与半径，根据表面积列出方程，求解即可.【详解】当平面平面时，三棱锥A1﹣CDE的体积取得最大值，因为AB＝2AD＝2a，E是AB的中点，所以，，所以为等腰直角三角形，因此取的中点，连接，则，因为平面平面，且平面平面，所以平面，又平面，所以，又因为，所以为等腰直角三角形，因为，所以，故，所以，又由，所以为直角三角形，且，取的中点，连接，则有，即外接球的球心，则为球半径，所以，即.故选：A.10．【解析】【分析】先根据球的表面积求出半径，再利用球心到底面的射影点为的外接圆圆心，构造直角三角形，求出外接圆半径，再利用解三角形知识求出的面积最大值，便可知该四面体的体积最大值.【详解】设球的半径为，由球的球面面积为得，，，设球心到平面内的射影点为，连接，，，则有，平面，且为的外接圆圆心，又平面，，所以，所以.即的外接圆半径为，在中，记，，，又，由正弦定理得，，.由余弦定理得，，，所以的面积，故四面体的体积，当且仅当时，等号成立.故答案为：.11．【解析】该球体积取最大值时，球心为，且该球与相切，过球心作，则就是球的半径，求得后，利用球的体积公式即可得解.【详解】该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为，如图所示在棱长为的正四面体中，取中点，连接，作平面，垂足在上，则，当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为，且该球与相切，过球心作，则就是球的半径，该球半径该球体积的最大值为．故答案为：12．【解析】【分析】在中，由余弦定理得，根据勾股定理得，当平面时，三棱锥的体积最大，把三棱锥放在长方体中，可求得外接球的半径，进而可求得答案【详解】解：在中，由，得，由余弦定理得，所以，因为，，所以，所以，如图，当平面时，三棱锥的体积最大，把三棱锥放在长方体中，可知三棱锥的外接球半径为，所以该三棱锥外接球的体积为，故答案为：，13．D【解析】【分析】首先设正四面体的棱长为，将侧面和沿边展开成平面图形，根据题意得到的最小值为，从而得到，根据等体积转化得到内切球半径，再计算其体积即可.【详解】设正四面体的棱长为，将侧面和沿边展开成平面图形，如图所示：则的最小值为，解得.如图所示：为正四面体的高，，正四面体高.所以正四面体的体积.设正四面体内切球的球心为，半径为，如图所示：则到正四面体四个面的距离相等，都等于，所以正四面体的体积，解得.所以内切球的体积.故选：D14．B【解析】【分析】连接AC，BD，交于，取PC中点O，连接，则可证明平面ABCD，即O为该四棱锥的外接球的球心，在中，求得PC的值，进而可求得外接球半径R，代入公式，即可求得答案.【详解】连接AC，BD，交于，取PC中点O，连接，如图所示因为分别为PC，AC的中点，所以，又平面ABCD，所以平面ABCD，所以O到A,B,C,D的距离都相等，又，所以O为该四棱锥的外接球的球心，在中，，，所以，所以该四棱锥的外接球的半径，所以该阳马的外接球的表面积.故选：B15．A【解析】【分析】作出图形，结合图形知，当点P与球心O以及△ABC外接圆圆心M三点共线且P与△ABC外接圆圆心位于球心的异侧时，三棱锥的体积取得最大值，结合三棱锥的体积求出三棱锥的高h，并注意到此时该三棱锥为正三棱锥，利用,求出球O的半径R，最后利用球体的表面积公式可求出答案．【详解】如图所示，设点M为外接圆的圆心，当点三点共线时，且分别位于点的异侧时，三棱锥的体积取得最大值.因为的面积为，所以边长为3，由于三棱锥的体积的最大值为，得，易知SM⊥平面ABC，则三棱锥为正三棱锥，的外接圆直径为，所以,设球O的半径为R，则,解得,所以球的表面积为.故选：A16．B【解析】【分析】根据木球在水中的体积等于水槽上升的体积，即可求解出水槽中水面上升的高度【详解】解：因为直径为40cm的木球，一半在水中，一半在水上，所以可得木球在水中的体积，因为木球在水中的体积等于水槽上升的体积，所以水槽中水面上升的高度为故选：B17．A【解析】【分析】根据三棱锥中线面位置关系求解外接球的半径，进而求出外接球的表面积.【详解】中，，设的外接圆半径为，根据正弦定理有，如图，点为的外心，三棱锥外接球的球心平面，，且中，，即三棱锥外接球的半径为：所以外接球的表面积为，选项A正确，选项BCD错误故选：A.18．B【解析】【分析】先求出三棱柱的外接球的半径，再利用球的表面积公式的应用求出结果．【详解】直三棱柱中，，，所以，由正弦定理可得，所以，即△的外接圆的半径为，所以三棱柱的外接球的半径，所以．故选：．19．D【解析】【分析】分析可知，计算出的外接圆直径，可求得三棱锥外接球直径为，再利用球体表面积公式可求得结果.【详解】如下图所示：圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心，球的直径.本题中，因为，则，，，平面，且为二面角的平面角，则，可将三棱锥置于圆柱内，如下图所示：在中，，，故为等腰三角形，且，所以，外接球的直径为，所以，三棱锥的外接球直径为，则，因此，三棱锥的外接球的表面积为.故选：D.20．C【解析】【分析】由题意画出图形，证得三棱锥的三条侧棱两两垂直，然后把正三棱锥放置在一个正方体中，结合正方体的性质，求得外接球的半径，利用球的体积公式，即可求解.【详解】如图所示，取的中点，连接和，因为为的中点，且，可得，同理可儿的，又因为且平面，所以平面，由平面，所以，又由且，平面，所以平面，则正三棱锥的三条侧棱两两垂直，把该三棱锥放置在一个正方体中，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球，可得外接球的半径等于正方体的对角线长的一半，即，所以该蹴鞠的体积为.故选：C.21．A【解析】【分析】利用补体，先求三棱锥外接球的半径，再求体积.【详解】由条件可知，斜边，如下图，翻折后，两两互相垂直，并且，此三棱锥可以补体成棱长为的正方体，三棱锥和正方体是同一外接球，外接球的半径，得，所以外接球的体积.故选：A22．C【解析】【分析】根据正三棱柱上下底面的中心连线的中点即为其外接球球心，再根据球的表面积公式即可求出．【详解】如图所示：因为正三棱柱上下底面的中心连线的中点即为其外接球球心，所以，，即有，故其外接球的表面积为．故选：C．23．C【解析】【分析】设正方体的棱长为1，易知正方体的外接球的直径为正方体的体对角线的长,从正方体的八个顶点中任取四个两两距离相等的点为正四面体，分别求得表面积即可.【详解】如图所示：设正方体的棱长为1，则正方体的外接球的直径为正方体的体对角线的长,所以外接球的半径为，所以外接球的表面积为，从正方体的八个顶点中任取四个两两距离相等的点为正四面体，以其中一点为球心，另三点都在球的表面，则球OS的半径为，所以球的表面积为，所以，故选：C24．A【解析】【分析】先确定出三角形外接圆的圆心，然后过作垂直于平面的垂线，再过中点向作垂线，垂足即为球心，根据线段长度可求解出球的半径，则球的体积可求.【详解】因为，，所以，所以，所以外接圆的圆心为的中点，记为，过作直线使得平面，取中点，过作垂足为，则，所以为四面体外接球的球心，因为，所以平面，，又，所以二面角的平面角为，所以，因为，所以，所以，所以，又因为，所以，所以四面体外接球的体积为，故选：A.25．【解析】【分析】根据给定条件结合球的截面小圆性质求出球O的半径，再利用球的体积公式计算作答.【详解】因边长为3的正方形的四个顶点都在球上，则正方形的外接圆是球O的截面小圆，其半径为，令正方形的外接圆圆心为，由球面的截面小圆性质知是直角三角形，且有，而与对