理论力学达朗贝尔原理与动静法教学省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

达朗贝尔原理与动静法1/78目录达朗贝尔原理惯性力系简化动静法应用举例定轴转动刚体对轴承动压力2/78引进惯性力概念，将动力学系统二阶运动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学问题——达朗贝尔原理。达朗贝尔原理为处理非自由质点系动力学问题提供了有别于动力学普遍定理另外一类方法。达朗贝尔原理首先广泛应用于刚体动力学求解动约束力；另首先又普遍应用于弹性杆件求解动应力。引言3/78工程实例4/78爆破时烟囱怎样坍毁工程实例5/78爆破时烟囱怎样坍毁工程实例6/78达郎贝尔原理7/78ABM该质点动力学基本方程为设质量为m非自由质点M，在主动力F和约束力N作用下沿曲线运动，QFNa或引入质点惯性力Q=－ma这一概念，于是上式可改写成上式表明，在质点运动每一瞬时，作用于质点主动力、约束力和质点惯性力在形式上组成一平衡力系。这就是质点达朗贝尔原理。质点达朗贝尔原理8/78Q＝－maF+N＋Q＝0——非自由质点达朗贝尔原理——质点惯性力作用在质点上主动力和约束力与假想施加在质点上惯性力，形式上组成平衡力系。质点达朗贝尔原理9/78质点达朗贝尔原理非自由质点达朗贝尔原理投影形式F+N＋Q＝010/78质点系达朗贝尔原理这表明，在质点系运动任一瞬时，作用于每一质点上主动力、约束力和该质点惯性力在形式上组成一平衡力系。上述质点达朗贝尔原理能够直接推广到质点系。将达朗贝尔原理应用于每个质点，得到n个矢量平衡方程。这就是质点系达朗贝尔原理。11/78对于所讨论质点系，有n个形式如上式平衡方程，即有n个形式上平衡力系。将其中任何几个平衡力系合在一起，所组成任意力系依然是平衡力系。依据静力学中空间任意力系平衡条件，有质点系达朗贝尔原理12/78考虑到式上式中求和能够对质点系中任何一部分进行，而不限于对整个质点系，所以，该式并不表示仅有6个平衡方程，而是共有3n个独立平衡方程。同时注意，在求和过程中全部内力都将自动消去。上式表明，在任意瞬时，作用于质点系主动力、约束力和该点惯性力所组成力系主矢等于零，该力系对任一点O主矩也等于零。达朗贝尔原理提供了按静力学平衡方程形式给出质点系动力学方程方法，这种方法称为动静法。这些方程也称为动态平衡方程。质点系达朗贝尔原理13/78惯性力系简化14/78惯性力系简化由质心运动定理有R=MaC

,得对于作任意运动质点系，把实际所受力和虚加惯性力各自向任意点O简化后所得主矢、主矩分别记作R、MO和RQ、MOQ，于是，由力系平衡条件，可得

即质点系惯性力主矢恒等于质点系总质量与质心加速度乘积，而取相反方向。15/78惯性力系主矢惯性力系主矢等于刚体质量与刚体质心加速度乘积，方向与质心加速度方向相反。惯性力系主矢简化16/78又由对任意固定点O动量矩定理有，现将上式两端投影到任一固定轴Oz上，上式表明：质点系惯性力对于任一固定点（或固定轴）主矩，等于质点系对于该点（或该轴）动量矩对时间导数，并冠以负号。代入得●对任意固定点●对固定轴惯性力系主矩简化17/78

上式表明：质点系惯性力对质心（或经过质心平动轴）主矩，等于质点系对质心（或该轴）动量矩对时间导数，并冠以负号。以及它在经过质心C某一平动轴上投影表示式利用相对于质心动量矩定理，能够得到质点系惯性力对质心C主矩表示式●对质心点●对质心轴惯性力系简化18/78惯性力系简化

惯性力系主矩与刚体运动形式相关。

惯性力系主矢与刚体运动形式无关。注意19/78常见惯性力主失和主矩1、刚体作平动aCa1a2anMm2mnm1QnQ1Q2RQ刚体平移时，惯性力系简化为经过刚体质心协力。刚体平移时，惯性力系向质心简化

●主矢

●主矩20/78

εOCzyx2、刚体做定轴转动设刚体绕固定轴Oz转动，在任意瞬时角速度为ω，角加速度为ε。

●主矢含有质量对称平面刚体绕垂直于对称平面固定轴转动。设质心C转动半径为rc，则

和大小可分别表示为常见惯性力主失和主矩21/78显然，当质心C在转轴上时，刚体惯性力主矢必为零。其中

εOCzyx常见惯性力主失和主矩22/78

●主矢含有质量对称平面刚体绕垂直于质量对称平面固定轴转动时，惯性力系向固定轴简化，得到惯性力系主矢大小等于刚体质量与质心加速度大小乘积，方向与质心加速度方向相反。

εOCzyx常见惯性力主失和主矩23/78常见惯性力主失和主矩即

●对转轴主矩将刚体对转轴Oz动量矩代入可得刚体惯性力对轴Oz主矩

εOCzyxMzQ24/78含有质量对称平面刚体绕垂直于质量对称平面固定轴转动时，惯性力系向固定轴简化结果，得到协力偶力偶矩即为惯性力系主矩，其大小等于刚体对转动轴转动惯量与角加速度乘积，方向与角加速度方向相反。

●对转轴主矩

εOCzyxMzQ常见惯性力主失和主矩25/78OCMzQ

●主矢

●对转轴主矩协力矢量即为惯性力系主矢，其大小等于刚体质量与质心加速度大小乘积，方向与质心加速度方向相反。含有质量对称平面刚体绕垂直于质量对称平面固定轴转动时，惯性力系向固定轴简化结果，得到一个协力和一个协力偶。协力偶力偶矩即为惯性力系主矩，其大小等于刚体对转动轴转动惯量与角加速度乘积，方向与角加速度方向相反。ε常见惯性力主失和主矩26/783、刚体作平面运动含有质量对称平面刚体作平面运动，而且运动平面与质量对称平面相互平行。对于这种情形，先将刚体空间惯性力系向质量对称平面内简化，得到这一平面内平面惯性力系，然后再对平面惯性力系作深入简化。常见惯性力主失和主矩27/783、刚体作平面运动若取质心C为基点，则刚体平面运动能够分解为随质心C平动和绕质心（经过质心且垂直于运动平面轴）转动。C

εaCrimiaC刚体上各质点加速度及对应惯性力也能够分解为随质心平动和绕质心轴转动两部分。于是，此刚体牵连平动惯性力可合成为作用线经过质心、且在对称面内一个力RQ。因质心C在相对运动转轴上，故刚体相对转动惯性力合成为一力偶。RQMCQ常见惯性力主失和主矩28/78C

εaCrimiaCRQMCQ含有质量对称平面刚体作平面运动，而且运动平面与质量对称平面相互平行。这种情形下，惯性力系向质心简化结果得到一个协力和一个协力偶，二者都位于质量对称平面内。协力矢量即为惯性力系主矢，其大小等于刚体质量与质心加速度大小乘积，方向与质心加速度方向相反。

●主矢常见惯性力主失和主矩29/78协力偶力偶矩即为惯性力系主矩，其大小等于刚体对经过质心转动轴转动惯量与角加速度乘积，方向与角加速度方向相反。

●主矩C

εaCrimiaCRQMCQ常见惯性力主失和主矩30/783、刚体作平面运动

●主矩

●主矢向质心简化1、刚体作平动向质心简化

●主矢

●主矩2、刚体做定轴转动

●主矢

●对转轴主矩向固定轴简化总而言之：常见惯性力主失和主矩31/78动静法应用举例32/78例题汽车连同货物总质量是m

，其质心C

离前后轮水平距离分别是b

和c

，离地面高度是h

。当汽车以加速度a沿水平道路行驶时，求地面给前、后轮铅直反力。轮子质量不计。ABCcbh33/78取汽车连同货物为研究对象.汽车实际受到外力有：重力G，地面对前、后轮铅直反力NA、NB以及水平摩擦力FB(注意：前轮普通是被动轮，当忽略轮子质量时，其摩擦力能够不计)。解：因汽车作平动，其惯性力系合成为作用在质心C上一个力RQ=

Ma。ABCcbhRQaFBGNANB例题34/78于是可写出汽车动态平衡方程由式(1)和(2)解得ABCcbhRQaFBGNANB例题35/78列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度

，相对于车厢静止。求车厢加速度。例题36/78例题选单摆摆锤为研究对象虚加惯性力

角伴随加速度改变而改变，当不变时，

角也不变。只要测出

角，就能知道列车加速度。摆式加速计原理。解：由动静法,有解得37/78取杆AB作为研究对象。受力如图(b

)。显然当θ

不变时，杆上各点只有向心加速度an，方向都为水平并指向转轴；这么，杆惯性力是同向平行分布力。图(b

)所表示.沿杆AB

取任一微小段dε考虑，它质量是Gdε/gl，加速度是ω2εsinθ。重G、长l

匀质细直杆AB

，其A

端铰接在铅直轴Az上,并以匀角速度ω绕这轴转动。求当AB

与转轴间夹角θ=常量(图a

)时ω与θ关系,以及铰链A

约束反力。解：例题38/78因而惯性力元素是全杆惯性力协力大小可用积分求出设协力RQ作用线与杆AB交点是D

,并以

b

代表D

到A

距离,则例题39/78但由对点A协力矩定理,有把式(1)代入式(2),即可求得例题40/78写出杆动态平衡方程,有把表示式(1)代入平衡方程(3),有即（3）（4）（5）例题41/78从而求得显然,第二个解只在3g/2lω2≤1时成立.第一个解能否成立,还需深入分析.利用(4),(5),能够求得铰链上反作用力,有例题42/78

绳子BO

剪断后,杆AB

将开始在铅直面内作平面运动。因为受到绳OA

约束，点A

将在铅直平面内作圆周运动.在绳子BO

刚剪断瞬时，杆AB上实际力只有绳子AO

拉力T和杆重力G。用长l

两根绳子AO

和BO把长l、质量是m匀质细杆悬在点O(图a

)。当杆静止时，突然剪断绳子

BO

，试求刚剪断瞬时另一绳子AO

拉力。解：在引入杆惯性力之前,须对杆作加速度分析。取坐标系Axyz如图所表示。GTaCxaCyεaAtxy例题43/78杆惯性力合成为一个作用在质心力RQ和一个力偶,二者都在运动平面内，RQ两个分量大小分别是RxQ=maCx,RyQ=maCy力偶矩MCQ大小是MCQ=JCz´ε旋向与ε相反(如图b)CGTaCxaCyεaAtxy例题44/78由动静法写出杆动态平衡方程,有且对于细杆,JCz´=ml2/12.（1）（2）（3）aA=aAn+aA

=aCx+aCy+aAC

+aACn利用刚体作平面运动加速度合成定理，以质心C

作基点,则点A加速度为例题45/78在绳BO

刚剪断瞬时,杆角速度ω=0,角加速度ε≠0.所以又aAn=0,加速度各分量方向如图(c)所表示.把aA投影到点A轨迹法线AO上,就得到aACn

=AC·ω2=0而aAC

=lε/2这个关系就是该瞬时杆运动要素所满足条件.即（4）aA=aAn+aA

=aCx+aCy+aAC

+aACn例题46/78由动静法写出杆动态平衡方程,有联立求解方程(1)～(4),就可求出（1）（2）（3）（4）例题47/78飞轮质量为m，半径为R，以匀角速度ω转动。设轮缘较薄，质量均匀分布，轮辐质量不计。若不考虑重力影响，求轮缘横截面张力。例题48/78取四分之一轮缘为研究对象，如图所表示。将轮缘分成无数微小弧段，每段加惯性力建立平衡方程令，有解：xyθ∆θRABOFAFB例题49/78因为轮缘质量均分布，任一截面张力都相同。再建立平衡方程一样解得例题xyθ∆θRABOFAFB50/78定轴转动刚体对轴承动压力51/78定轴转动刚体对轴承动压力惯性力平衡,不产生附加动反力不考虑连杆质量，52/78偏心引发附加动反力定轴转动刚体对轴承动压力53/78q偏角引发附加动反力偏角q很小时,定轴转动刚体对轴承动压力54/78当刚体作定轴转动时，惯性力普通要在轴承上引发附加动压力。这种现象在工程技术上是必须注意。设有绕固定轴Oz转动刚体，在任意瞬时角速度是ω，角加速度是ε。（图a)取固定坐标Oxyz如图所表示。NByNBxNAxNAyNAzODo1rrzyxAzωε（a）刚体上任意点D切向和法向加速度值分别是定轴转动刚体对轴承动压力55/78由图b可知,点D加速度在各坐标轴投影分别是以该点质量乘以上各式并冠以负号,就得到该质点惯性力在各坐标轴上投影。OxDatxyφφ(b)anyrz定轴转动刚体对轴承动压力56/78整个刚体惯性力主矢RQ在各轴上投影分别是NByNBxNAxNAyNAzODo1rrzyxAzωε（a）定轴转动刚体对轴承动压力OxDatxyφφ(b)anyrz57/78一样求得刚体惯性力对点O主矩MOQ在各坐标轴上投影NByNBxNAxNAyNAzODo1rrzyxAzωε（a）定轴转动刚体对轴承动压力OxDatxyφφ(b)anyrz58/78RxF、RyF、

RzF分别为主动力系主矢在坐标轴上投影，MxF、MyF、

MzF分别为主动力系对点O主矩在各坐标轴上投影。依据达郎伯定理，列出动态平衡方程，有NByNBxNAxNAyNAzODo1rrzyxAzωε（a）定轴转动刚体对轴承动压力59/78由前五个式子即可求得定轴转动刚体轴承处动反力。显然，该动反力由两部分组成：一部分为主动力系所引发静反力；另一部分是由转动刚体惯性力系所引发附加反动力。与此对应，轴承所受压力也可分为静压力和附加动压力。依据达郎伯定理，列出动态平衡方程，有NByNBxNAxNAyNAzODo1rrzyxAzωε（a）定轴转动刚体对轴承动压力60/78轴Oz

是转子在点O

主轴之一。可见惯性力对点O主矩在垂直于Oz平面上两轴投影LxQ和LyQ恒等于零。又

=0，这么LzQ也等于零。所以转子惯性力合成为作用于点O一个力RQ，其方向沿OC

。设匀质转子重G，质心C

到转轴距离是e，转子以匀角速度ω绕水平轴转动，AO=a，OB=b

(图(a

))。假定转轴与转子对称平面垂直，求当质心C

转到最低位置时轴承所受压力。解：例题61/78当质心C转到最低位置时，轴上实际所受力如图(b)所表示。依据动静法写出动态平衡方程由式(1)和(2)解得两轴承所受力分别和NA、NB大小相等而方向相反。例题62/781。对于RQx和RQy来说,有xC和yC项,说明质心不在转轴上。2。对于MxQ和MyQ来说，有Izx和Izy项,说明转轴非惯性主轴。附加动压力产生原因63/78在转动刚体轴承上可能因惯性力而产生巨大附加动压力，以致使机器坏损或引发猛烈振动。为力消除轴承上附加动压力，必须也只须转动刚体惯性力系主矢等于零，以及惯性力系对于与轴Oz相垂直任何两轴x、y主矩MxQ和MyQ都等于零。消除附加动压力条件64/78第一个条件:RQ=-MaC=0

,相当于刚要求刚体质心C在转轴Oz上，即xC=yC=

0。第二个条件:MxQ=MyQ=0，相当于刚要求刚体对于与轴Oz相关两个惯性积。这么轴Oz为刚体对于点O惯性主轴。而轴Oz假如经过刚体质心C，则为中心惯性主轴。由此可见，要使定轴转动刚体轴承不受附加动压力作用，必须也只须转动轴是刚体一个中心惯性主轴。消除附加动压力条件65/78

当刚体绕任何一个中心惯性主轴作匀速转动时，其惯性力自成平衡，这种现象称为动平衡。这时轴承上不产生附加动压力。质心在转动轴线上情况称为静平衡。●动平衡●静平衡刚体静平衡和动平衡66/78为检验刚体是否静平衡，通常采取静平衡架，将刚体转轴放在两个水平支撑上。若质心在转轴上，则刚体可静止在任何位置随遇平衡。若质心不在轴线上，刚体就只能静止在质心C最低时稳定位置上如图。●静平