《自动控制原理》时域分析法省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

第3章时域分析法本章主要内容

3.1经典控制过程及性能指标

3.2一阶系统分析

3.3二阶系统分析

3.4稳定性与代数判据

3.5稳态误差分析及误差系数

1/763.1经典控制过程及性能指标

3.1.1经典输入信号及输出波形

3.1.2控制系统性能指标什么是时域分析?

指控制系统在一定输入下，依据输出量时域表示式，分析系统稳定性、瞬态和稳态性能。2/763.1.1经典输入信号及输出波形1）阶跃函数（信号）单位阶跃函数及拉氏变换单位阶跃函数波形图3/76（2）斜坡函数（信号）单位斜坡函数及拉氏变换单位阶跃函数波形图4/763）抛物线信号（加速度信号）单位抛物线信号及拉氏变换单位阶跃函数波形图5/764）脉冲函数（信号）单位脉冲函数及拉氏变换单位脉冲函数波形图和6/765）正弦函数（信号）单位正弦函数及拉氏变换单位正弦函数波形图Awtr(t)7/76⒈单位脉冲函数响应：⒉单位阶跃函数响应：

⒊单位斜坡函数响应：⒋单位抛物线函数响应：经典响应：[提醒]：上述几个经典响应有以下关系：单位脉冲函数响应单位阶跃函数响应单位斜坡函数响应单位抛物线函数响应积分积分积分微分微分微分8/763.1.2控制系统性能指标在经典信号作用下，控制系统时间响应是由动态过程和稳态过程两部分组成。所以控制系统性能指标，通常由动态性能和稳态性能两部分组成。

1.动态过程和动态性能动态过程（过渡过程、暂态过程）：在经典输入信号作用下，系统从初态到终态响应过程。动态响应过程有三种情况：衰减型、发散型、等幅振荡型动态性能：当系统时间响应c(t)中瞬态分量较大而不能忽略时，称系统处于动态或过渡过程中，这时系统特征。9/76阶跃响应性能指标：在测定或计算系统动态性能指标时，因为阶跃函数能够表征系统受到最严峻工作状态，动态性能指标，普通由阶跃响应性能指标来描述。10/76（1）延迟时间：输出响应第一次到达稳态值50%所需时间。（4）最大超调量（简称超调量）：式中：--输出响应最大值；--稳态值；（2）上升时间：输出响应第一次到达稳态值y(∞)所需时间。或指由稳态值10%上升到稳态值90%所需时间。输出响应超出稳态值到达第一个峰值ymax所需要时间。（3）峰值时间：（5）调整时间或过渡过程时间：当和之间误差到达要求范围之内[比如或]，且以后不再超出此范围最小时间。11/76在上述几个性能指标中，表示瞬态过程进行快慢，是快速性指标；而反应瞬态过程振荡程度，是振荡性指标。其中和是两种最惯用性能指标。2.稳态过程和稳态性能稳态过程是指当初间t趋近于无穷大时，系统输出状态表现形式。它表征系统输出量最终复现输入量程度，提供系统相关稳态误差信息，用稳态性能来描述。通常讨论在阶跃、斜坡、加速度函数作用下系统稳态误差；稳态误差用来衡量系统控制精度或抗扰动性能。ess=c期望-c（）12/763.2一阶系统分析

3.2.1一阶系统数学模型

3.2.2一阶系统单位阶跃系统

3.2.3一阶系统单位斜坡系统

3.2.4一阶系统单位脉冲系统

3.2.5三种响应之间关系13/763.2.1一阶系统数学模型以一阶微分方程作为数学模型控制系统，称为一阶系统。如图所表示一阶系统，其传递函数为-其闭环传递函数为：式中，,称为时间常数。14/763.22一阶系统单位阶跃响应

单位阶跃响应函数：15/76其单位阶跃响应曲线如图3-4所表示。输出响应从零开始按指数规律上升，最终趋于1。

16/76计算调整时间：解之得：可见，调整时间只与时间常数T相关。T越小，系统响应速度越快。17/763.2.3一阶系统单位斜坡响应设系统输入信号为单位斜坡函数，即。则可求得输出拉氏变换为18/76c(t)T0Tt一阶系统单位斜坡响应曲线如图

输出量和输入量之间位置误差随时间而增大，最终趋于常值T，惯性越小，跟踪准确度越高。19/763.24一阶系统单位脉冲响应当输入信号为理想单位脉冲函数时，因为R(s)=1所以系统输入量拉氏变换与系统传递函数相同，即这时系统输出称为脉冲响应，其表示式为

可见，单位脉冲响应中只包含瞬态分量。

20/763.25三种响应之间关系从输入信号看，单位斜坡信号导数为单位阶跃信号，而单位阶跃信号导数为单位脉冲信号。

从输出信号来看，单位斜坡响应导数为单位阶跃响应，而单位阶跃响应导数为单位脉冲响应。

线性定常系统一个主要性质：某输入信号导数输出响应，就等于该输入信号输出响应导数；同理，某输入信号积分输出响应，就等于该输入信号输出响应积分，积分常数由零输出初始条件确定。

21/763.3二阶系统分析

3.3.1二阶系统数学模型

3.3.2二阶系统单位阶跃响应

3.3.3高阶系统时域分析22/763.3.1二阶系统数学模型二阶系统：以二阶微分方程作为运动方程控制系统.这是最常见一个系统，很多高阶系统也可简化为二阶系统。系统经典结构和传递函数为：

称为经典二阶系统传递函数，称为阻尼系数，称为无阻尼振荡圆频率或自然频率。-23/76特征根为：，注意：当不一样时，（极点）有不一样形式，其阶跃响应形式也不一样。极点分布如图所表示：特征方程为：⒈当初，特征方程有一对共轭虚根，称为零(无)阻尼系统，系统阶跃响应为连续等幅振荡。⒉当初，特征方程有一对实部为负共轭复根，称为欠阻尼系统，系统阶跃响应为衰减振荡过程。⒊当时，特征方程有一对相等实根，称为临界阻尼系统，系统阶跃响应为非振荡过程。⒋当时，特征方程有一对不等实根，称为过阻尼系统，系统阶跃响应为非振荡过程。24/7625/763.3.2二阶系统单位阶跃响应当输入为单位阶跃函数时，，有：

[分析]：

，极点为：1.欠阻尼情况26/76极点负实部决定了指数衰减快慢，虚部是振荡频率。称为阻尼振荡圆频率。其周期为:27/762.无阻尼情况极点为：

此时输出将以频率做等幅振荡，所以，称为无阻尼振荡圆频率。3.临界阻尼情况极点为：阶跃响应函数为：28/764.过阻尼情况极点为：其中，A1、A2、A3为待定系数。据此，可求得输出响应拉氏反变换

此时，系统输出时间t单调上升，无振荡和超调。因为输出响应含负指数项，因而伴随时间推移，对应分量逐步趋于零，输出响应最终趋于稳态值1。

29/76

上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应以下表所表示：单位阶跃响应极点位置特征根阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升一对负实重根

衰减振荡一对共轭复根(左半平面）

等幅周期振荡一对共轭虚根

经典两阶系统瞬态响应30/76经典两阶系统瞬态响应能够看出：伴随增加，c(t)将从无衰减周期运动变为有衰减正弦运动，当时c(t)展现单调上升运动(无振荡)。可见反应实际系统阻尼情况，故称为阻尼系数。31/765.欠阻尼二阶系统性能指标(1)

上升时间：依据定义，当时，。(2)

峰值时间：当时，32/7633/76(3)

超调量:上式表明超调量σ%大小只决定于阻尼比值，而与大小无关。工程中，有时把阻尼比和σ%之间关系，按计算结果，直接整理成曲线如图所表示，应用时由直接查该图即可得σ%。34/76(4)

调整时间：35/76例3-1有一位置随动系统，其结构图如图所表示，其中求该系统（１）自然振荡角频率；（２）系统阻尼比（３）超调量和调整时间（４）如要求怎样改变系统值。解该系统传递函数为

对照下式可得

（1）自然振荡角频率：（2）阻尼比：由得36/76（3）超调量：

（4）调整时间：

（5）要求即

37/76例3-2设二阶控制系统单位阶跃响应曲线如图所表示。试确定系统传递函数。解首先显著看出，在单位阶跃作用下响应稳态值为3，故此系统增益不是1，而是3。系统模型为：然后由响应、及对应公式，即可换算出、。

（s）38/76

由公式得换算求解得：

39/763.23高阶系统时域分析高阶系统传递函数为：写成零极点形式：单位阶跃响应为：40/76对上式进行部分分式展开对上式拉氏变换得：41/76高阶系统有以下结论：（1）高阶系统瞬态响应各分量衰减快慢由指数衰减系数和决定。假如某极点远离虚轴，那么其对应瞬态分量比较小，且连续时间较短。（2）高阶系统各瞬态分量系数和不但与复平面中极点位置相关，而与零点位置相关。

（3）在系统中，假如距虚轴最近极点，其实部绝对值为其它极点实部绝对值1/5甚至更小，而且在其附近没有零点存在，则系统瞬态响应将主要由此极点左右。

42/763.4稳定性与代数判据3.4.1稳定概念3.4.2稳定数学条件及定义3.4.3古尔维次稳定判据3.4.4劳斯稳定判据43/763.23高阶系统时域分析高阶系统传递函数为：写成零极点形式：单位阶跃响应为：44/762.5.1动态结构图概念1.定义:把组成系统各个步骤用方块图表示，在方块图内标出各步骤传递函数，并将各步骤输入量、输出量改用拉氏变换来表示。这种图形称为动态结构图，简称结构图。

2.结构图由四种基本图形符号所组成，称为结构图四要素。各图形符号代表意义以下：（1）信号线：信号线是带有箭头直线，箭头表示信号流向，在直线旁标识信号时间函数或象函数，见图（a）；

（2）引出点：表示信号引出或测量位置。从同一位置引出信号在数值和性质方面完全相同，见图（b）；45/76（3）综合点（比较点或相加点）：对两个或两个以上性质相同信号进行取代数和运算。参加相加运算信号应标明“+”号，相减运算信号应标出“－”号。有时“+”号可省略，但“－”号必须标明，如图（c）；（4）函数方块：表示元件或步骤输入、输出变量之间函数关系。方块内要填写元件或步骤传递函数，如图（d）。(a)(b)(c)(d)46/762.5.2动态结构图建立绘制动态结构图普通步骤为：（1）明确系统输入量和输出量；确定各元件或步骤传递函数。

（2）绘出各步骤方块图，在其中标出传递函数，并将信号拉氏变换标在信号线附近。（3）按照系统中信号传递次序，依次将各步骤方块图连接起来，便组成系统结构图。

47/76例2-5已知RC阻容网络如图2-5所表示，其中为输入量，为输出量，试画出该网络动态结构图。解该网络系统输入量为ur，输出量为uc。其遵照电路原理为：对以上标准微分方程组进行拉氏变换，得以下标准变换方程组：48/76从输入端开始，依次画出各个子变换方程输入量、输出量关系传递函数方块图。并连结系统中各同名信号线。如图2-6所表示。2-52-649/762.5.3动态结构图等效变换1、串联步骤等效变换几个步骤结构图首尾连接，前一个结构图输出是后一个结构图输入，称这种结构为串联步骤。如图2-7（a）是两个步骤串联结构，有：

由上两式得50/76因而可等效成图2-7（b）所表示结构。由此可得出，串联步骤等效传递函数等于各相串联步骤传递函数乘积，即有2-7(a)2-7(b)51/762.并联步骤等效变换两个及两个以上步骤含有同一个输入信号，而以各自步骤输出信号代数和作为总输出信号结构称为并联步骤。如图为两个步骤并联结构图。由图得：

由上三式得52/76其等效结构图如图所表示。由此可见，并联步骤等效传递函数等于各并联步骤传递函数代数和，即有53/763.反馈连接等效变换若传递函数分别为G（s）和H（s）两个方块图如图2-9（a）形式连接，则称为反馈连接。“+”号为正反馈，表示输入信号与反馈信号相加；“-”号为负反馈，表示输入信号与反馈信号相减。由（a）图有

由上三式得54/76称为闭环传递函数，是反馈连接等效传递函数，式中负号对应正反馈连接，正号对应负反馈连接。反馈连接等效变换如图所表示。

55/764.综合点和引出点移动在结构图变换中经常要求改变综合点和引出点位置。普通包含综合点前移、综合点后移、引出点前移、引出点后移、相邻综合点和相邻引出点之间移动。

1）综合点前移图2-10（a）和图2-10（b）分别表示综合点前移变换前后系统结构图。

56/76能够看出两图含有以下相同输入、输出关系：57/762）综合点后移图2-11（a）和图2-11（b）分别表示综合点后移变换前后系统结构图能够看出两图含有以下相同输入、输出关系：

58/763）引出点前移图2-12（a）和图2-12（b）分别表示引出点前移变换前后系统结构图。

能够看出两图含有以下相同输入、输出关系：

59/764）引出点后移图2-13（a）和图2-13（b）分别表示引出点后移变换前后系统结构图。

能够看出两图含有以下相同输入、输出关系：

60/765）相邻综合点之间移动和合并图2-14（a）和图2-14（b）表示相邻综合点之间能够交换位置或进行合并，不会改变该结构输入和输出信号之间关系。61/766）相邻引出点之间移动从一个信号流线上不论引出多少条信号线，它们都代表同一个信号，所以在一条信号线上各引出点之间位置能够随意改变，效果都是等效。如图2-15（a）和图2-15（b）所表示。C(s)C(s)C(s)C(s)C(s)C(s)C(s)C(s)62/76例2-8化简图2-16所表示系统结构图，并求传递函数。

63/76

解（1）将综合点a后移，得等效图如图

64/76

（2）再与b点交换，得到图

65/76

（3）因与并联，与是负反馈环，可得图

（4）再将上图两个串联步骤进行合并，得最终化简结果如图

66/762.6信号流图2.6.1信号流图术语及绘制2.6.2梅逊公式67/762.6.1信号流图术语及绘制1.信号流图中术语

源节点（输入节点）

只有输出支路而无输入支路节点。如图中x1。阱节点（输出节点）

只有输入支路而无输出支路节点。如图中x6。混合节点

现有输入支路又有输出支路节点。如图中x2，x3，x4，x5。通路

沿着支路箭头方向次序穿过各相连支路路径。68/76前向通路

从源节点开始而且终止于阱节点，与任一节点相交不多于一次通路。如图中x1→x2→x3→x4→x5，x1→x2→x4→x5，x1→x2→x5前向通道增益

前向通道上各支路增益乘积。回路

通路起点和终点是同一节点，而且与其它任何节点相交不多于一次闭合路径称为回路。回路增益

回路中各支路增益乘积，称为回路增益。不接触回路

回路之间没有公共节点时，这种回路叫做不接触回路。在信号流图中，能够有两个或两个以上不接触回路。如图中：x2→x3→x2和x4→x4；x2→x5→x3