天津益中学校 高三数学理联考试题含解析

天津益中学校高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若一个等差数列前3项和为34,最后3项和为146,且所有项和为390,则这个数列有(

)A

13项

B

12项

C11项

D10项参考答案：A略2.已知集合，为虚数单位，则下列选项正确的是（

）

参考答案：C略3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=﹣11，Sn有唯一的最小值S6，且Sn≥0的解集为{n∈N*|n≥12}，则数列{an}的公差d的取值范围是（）A．[2，） B．（2，] C．[2，] D．（2，）参考答案：A【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意得d＞0，a6＜0，a7＞0，，a1=﹣11，由此能求出数列{an}的公差d的取值范围．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=﹣11，Sn有唯一的最小值S6，且Sn≥0的解集为{n∈N*|n≥12}，∴由题意得d＞0，a6＜0，a7＞0，，a1=﹣11，∴，解得2．∴数列{an}的公差d的取值范围是[2，）．故选：A．4.已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2．则棱锥S—ABC的体积为

(

) A．

B．

C．

D．参考答案：B略5.设函数f：N+→N+满足：对于任意大于3的正整数n，f（n）=n﹣3，且当n≤3时，2≤f（n）≤3，则不同的函数f（x）的个数为（）A．1 B．3 C．6 D．8参考答案：D【考点】分步乘法计数原理．【分析】通过f（n）=n﹣3，结合映射的定义，根据2≤f（n）≤3，确定函数的个数．【解答】解：∵n≤3，k=3，2≤f（n）≤3，∴f（1）=2或3，且f（2）=2或3且f（3）=2或3．根据分步计数原理，可得共2×2×2=8个不同的函数．故答案为：8．【点评】本题主要考查映射的定义，以及分步计数原理的应用，比较基础．6.下列命题中正确的是（

）（A）若为真命题，则为真命题(B)“，”是“”的充分必要条件(C)命题“若，则或”的逆否命题为“若或，则”(D)命题，使得，则，使得参考答案：D对选项A，因为为真命题，所以中至少有一个真命题，若一真一假，则为假命题，故选项A错误；对于选项B，的充分必要条件是同号，故选项B错误；命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”，故选项C错误；故选D．7.已知向量，且共线，那么的值为(

)1

2

3

4参考答案：D略8.下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略9.下列说法错误的是（）A．已知函数，则是奇函数B．若非零向量，的夹角为，则“”是“为锐角”的必要非充分条件C．若命题,则D．的三个内角、、的对边的长分别为、、，若、、成等差数列，则

参考答案：A10.已知双曲线的焦距为，抛物线与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知平行四边形中,,则

．参考答案：考点：向量的几何形式的运算及数量积公式的综合运用．【易错点晴】平面向量的几何形式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的意在考查向量的几何形式的运算和数量积公式的灵活运用.求解时先依据向量的三角形法则建立方程组,求出,,再运用向量的数量积公式求得,进而求得.12.过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,则=_______参考答案：略13.（2014?嘉定区三模）若实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m=．参考答案：考点： 简单线性规划．专题： 计算题．分析： 画出不等式组表示的平面区域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数m的方程组，消参后即可得到m的取值解答： 解：画出x，y满足的可行域如下图：可得直线y=2x﹣1与直线x+y=m的交点使目标函数z=x﹣y取得最小值，由可得，代入x﹣y=﹣1得∴m=5故答案为：5点评： 如果约束条件中含有参数，先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．14.在中，三内角所对边的长分别为，且分别为等比数列的，不等式的解集为，则数列的通项公式为_________．参考答案：略15.在平面边形ABCD中，，则AD的最小值为_____.参考答案：分析：作出图形，以为变量，在和中，分别利用余弦定理和正弦定理将表示为关于的函数，再利用三角恒等变换和三角函数的最值进行求解．详解：设，在中，由正弦定理，得，即，即，由余弦定理，得；在中，由余弦定理，得，，其中，则，即的最小值为．点睛：（1）解决本题的关键是合理选择为自变量，再在和中，利用正弦定理、余弦定理进行求解；（2）利用三角恒等变换和三角函数的性质求最值时，往往用到如下辅助角公式：，其中．16.已知二次函数的值域是[1,＋∞)，则的最小值是

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．参考答案：317.在数列中，已知，，且数列是等比数列，则

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分7分）选修4—2

矩阵与变换若点A（2，2）在矩阵对应变换的作用下得到的点为B（-2，2），求矩阵M的逆矩阵。

参考答案：19.甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：分组[70,80）[80,90）[90,100）[100,110）频数231015分组[110,120）[120,130）[130,140）[140,150]频数15x31

甲校：

分组[70,80）[80,90）[90,100）[100,110）频数1298分组[110,120）[120,130）[130,140）[140,150]频数1010y3

乙校：

（Ⅰ）计算x，y的值。

甲校乙校总计优秀

非优秀

总计

（Ⅱ）若规定考试成绩在[120,150]内为优秀，请分别估

计两个学校数学成绩的优秀率；（Ⅲ）由以上统计数据填写右面2×2列联表，并判断

是否有97．5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异。

附：K2＝；P（k2>k0）0．100．0250．010K2．7065．0246．635

参考答案：解:（Ⅰ）甲校抽取人，乙校抽取人，故x＝6，y＝7，………4分（Ⅱ）

估计甲校优秀率为≈18．2%，乙校优秀率为＝40%．

………6分

甲校乙校总计优秀102030非优秀453075总计5550105

（Ⅲ）

k2＝＝6．109，

又因为6．109>5．024,

1－0．025＝0．975，

故有97．5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异。

…………12分

20.已知：动点P、Q都在曲线C：（t为参数）上，对应参数分别为t=α与t=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用参数方程，可得M的坐标，消去参数，即可求出M的轨迹的参数方程；（Ⅱ）利用距离公式，将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，当α=π时，d=0，即可判断M的轨迹是否过坐标原点．【解答】解：（Ⅰ）依题意有P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），因此M（cosα+cos2α，sinα+sin2α）M的轨迹的参数方程为，…（Ⅱ）M点到坐标原点的距离当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点

…21.（本小题满分12分）已知，函数.设，记曲线在点处的切线为，与轴的交点是，为坐标原点.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求的取值范围.参考答案：Ⅰ)解：曲线在点处的切线的方程为令，得

……………4分(Ⅱ)在上恒成立设，

令，解得，

当时，取极大值1