湖北省武汉市马房山中学高三数学理上学期摸底试题含解析

湖北省武汉市马房山中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（2016?成都模拟）复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．2i D．2参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的化数形式的乘除运算法则求解．【解答】解：∵z=====1+2i，∴复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是2．故选：D．【点评】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的化数形式的乘除运算法则的合理运用．2.“a≤0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对a分类讨论，利用二次函数的图象与单调性、充要条件即可判断出．【解答】解：当a=0时，f（x）=|x|，在区间（0，+∞）内单调递增．当a＜0时，，结合二次函数图象可知函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增．若a＞0，则函数f（x）=|（ax﹣1）x|，其图象如图它在区间（0，+∞）内有增有减，从而若函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增则a≤0．∴a≤0是”函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的充要条件．故选：C．3.设向量的模分别为6和5，夹角为等于（

） A． B． C． D．参考答案：C4.设函数在R上可导，,则与大小是(

)A.B.

C.D.不确定参考答案：B略5.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（）A．9日 B．8日 C．16日 D．12日参考答案：A【考点】等比数列的前n项和．【分析】良马每日行的距离成等差数列，记为{an}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5．求和即可得到答案．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{an}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm=103m++97m+=2×1125，解得：m=9．故选：A．6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是线段BC上的动点，F是线段CD1上的动点，且E，F不重合，则直线AB1与直线EF的位置关系是（

）A．相交且垂直

B．共面

C．平行

D．异面且垂直参考答案：D由题意易知：直线，∴又直线与直线异面直线，故选：D

7.设函数则（）A． B．1 C． D．参考答案：A8.阅读右面的程序框图，则输出的=

A．14

B．30

C．20

D．55参考答案：B第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，，此时满足条件，输出，选B.9.已知集合A={x|x2＞1}，B={x|log2x＞0}，则A∩B=（）A．{x|x＜﹣1} B．{x|＞0} C．{x|x＞1} D．{x|x＜﹣1或x＞1}参考答案：C【考点】交集及其运算．【专题】不等式的解法及应用．【分析】化简A、B两个集合，利用两个集合的交集的定义求出A∩B．【解答】解：集合A={x|x2＞1}={x|x＞1或x＜﹣1}，B={x|log2x＞0=log21}={x|x＞1}，A∩B={x|x＞1}，故选：C．【点评】本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，化简A、B两个集合是解题的关键．10.已知数列Sn为等比数列{an}的前n项和，S8=2，S24=14，则S2016=（）A．2252﹣2 B．2253﹣2 C．21008﹣2 D．22016﹣2参考答案：B【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；整体思想；等差数列与等比数列．【分析】由Sn为等比数列{an}的前n项和，由前n项和公式求得a1和q的数量关系，然后再来解答问题．【解答】解：∵数列Sn为等比数列{an}的前n项和，S8=2，S24=14，∴=2，①=14，②由②÷①得到：q8=2或q8=﹣3（舍去），∴=2，则a1=2（q﹣1），∴S2016===2253﹣2．故选：B．【点评】本题考查了等边数量的前n项和，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键，注意：本题中不需要求得首项和公比的具体数值．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知椭圆的左焦点为，右焦点为．若椭圆上存在一点，满足线段相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为

．

参考答案：12.如果执行右面的框图，那么输出的S等于_____________.参考答案：406113.设、是空间两条不同的直线，、是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：①若，，，则；②若，，，则；③若，，，则；④若，，，，则．其中正确的是__________（填序号）．参考答案：②④【分析】利用空间中直线与直线的位置关系可判断命题①的正误；利用面面垂直的性质定理以及线面平行的判定定理可判断命题②的正误；利用线面垂直的性质可判断命题③的正误；利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理可判断命题④的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，若，，，则与平行、相交或异面，命题①错误；对于命题②，设，若，则存在，使得，则，又，则，，，命题②正确；对于命题③，，，则，又，则或，命题③错误；对于命题④，过直线作平面，使得，，，则，，则.，，，，，命题④正确.因此，正确命题的序号为②④.故答案为：②④.【点睛】本题考查空间中线面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.14.某三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是正方形，则该三棱锥最长棱的长是________.参考答案：试题分析：由三视图可知点在面内的投影在的外边，其中，点到底面的距离为，，，，则该三棱锥最长棱的长是，故答案为.考点：三视图还原几何体.【方法点睛】本题主要考查了三视图还原几何体，求几何体中棱长的长度，在高考中属于高频考点，该题在三视图类型的题目中难度中档；首先根据俯视图以及结合该几何体为三棱锥可得，底面为等腰直角三角形，上定点在底面的投影在外，且和正好构成正方形，易得底面三条棱的长度，均和正方形的边长以及三棱锥的高构成直角三角形，和正方形的对角线以及三棱锥的高构成构成直角三角形.15.对于命题：①“若x2+y2=0，则x，y全为0”的逆命题；②“全等三角形是相似三角形”的否命题；③“若m＞0，则x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题．其中真命题的题号是．参考答案：①③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，逆命题为：若x，y全为0，则x2+y2=0；②，不全等三角形也可以相似；③，原命题为真，其逆否命题与原命题同真假．【解答】解：对于①，“若x2+y2=0，则x，y全为0”的逆命题为：若x，y全为0，则x2+y2=0为真命题；对于②，“全等三角形是相似三角形”的否命题为：“不全等三角形不是相似三角形”，因为不全等三角形也可以相似，故为假命题；对于③，“当m＞0时，方程x2+x﹣m=0的△=1+4m＞0，方程有实根”，原命题为真，其逆否命题与原命题同真假，故为真命题．故答案为：①③【点评】本题考查了命题的四种形式及其真假的判定，属于基础题．16.函数y=xlnx的单调减区间为

．参考答案：（0，）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【分析】利用积的导数运算法则求出导函数，令导函数小于0求出x的范围与定义域的公共范围是函数的单调递减区间．【解答】解：y′=1+lnx，令，又因为函数y=xlnx的定义域为（0，+∞）所以函数y=xlnx的单调减区间为故答案为：【点评】此题考查基本函数的导数及导数的运算法则、考查利用导函数的符号求函数的单调区间．17.

.参考答案：答案：解析：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知向量=（sinx，sinx），=（sinx，﹣cosx），设函数f（x）=?．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A为锐角，若f（A）+sin（2A﹣）=1，b+c=7，△ABC的面积为2，求边a的长．参考答案：考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的性质确定函数的单调增区间．（2）根据（1）中函数的解析式，根据f（A）+sin（2A﹣）=1，求得A，根据三角形面积公式求得bc的值，利用余弦定理求得a．解答： 解：（1）由题意得f（x）=sin2x﹣sinxcosx=﹣sin2x=﹣sin（2x+），令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，

解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z所以函数f（x）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z（2）由f（A）+sin（2A﹣）=1得：﹣sin（2A+）+sin（2A﹣）=1，化简得：cos2A=﹣，又因为0＜A＜，解得：A=，由题意知：S△ABC=bcsinA=2，解得bc=8，又b+c=7，所以a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc（1+cosA）=49﹣2×8×（1+）=25，∴a=5点评：本题只要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质，余弦定理的应用．19.（本小题满分14分）

已知数列的前n项和为，数列的前n项和为，且有,点在直线上.

（1）求数列的通项公式；（2）求;（3）试比较和的大小,并加以证明.参考答案：（1）；（2）

（3）见解析【知识点】数列递推式；数列的求和．D1D4解析：（1）当时,,解得：，………………1分

当时,,

则有，即：，

∴数列是以为首项，为公比的等比数列.

………3分∴

……………4分（2）∵点在直线上∴.

…………………5分因为①,所以②.由①-②得,,所以.

………………8分（3）令,则==……10分时,，所以;

时,，所以;时,，所以.

…………13分综上:①时，,②时,,③时,…14分【思路点拨】（1）利用递推式与等比数列的通项公式可得；（2）由点在直线上，可得利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出；（3）作差比较大小即可得出．20.设的最小值为k.（1）求实数k的值；（2）设，，，求证：.参考答案：（1）；（2）见详解.【分析】(1)将函数表示为分段函数，再求其最小值.(2)利用已知等式构造出可以利用均值不等式的形式.【详解】（1）当时，取得最小值，即.（2）证明：依题意，，则.所以，当且仅当，即，时，等号成立.所以.【点睛】本题考查求含绝对值函数的最值，由均值不等式求最值.含绝对值的函数或不等式问题，一般可以利用零点分类讨论法求解.已知或(是正常数，)的值，求另一个的最值，这是一种常见的题型，解题方法是把两式相乘展开再利用基本不等式求最值.21.已知函数f（x）=x﹣ax2﹣lnx（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而判断函数的单调性；（2）表示出f（x1）+f（x2）=lna++ln2+1，通过求导进行证明．【解答】解：（1）∵f′（x）=﹣，（x＞0，a＞0），不妨设φ（x）=2ax2﹣x+1（x＞0，a＞0），则关于x的方程2ax2﹣x+1=0的判别式△=1﹣8a，当a≥时，△≤0，φ（x）≥0，故f′（x）≤0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，当0＜a＜时，△＞0，方程f′（x）=0有两个不相等的正根x1，x2，不妨设x1＜x2，则当x∈（0，x1）及x∈（x2，+∞）时f′（x）＜0，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x1），（x2，+∞）递减，在（x1，x2）递增；（2）由（1）知当且仅当a∈（0，）时f（x）有极小值x1和极大值x2，且x1，x2是方程的两个正根，则x1+x2=，x1x2=，∴f（x1）+f（x2）=（x1+x2）﹣a[（x1+x2）2﹣2x1x2]﹣（lnx1+lnx2）=ln（2a）++1=lna++ln2+1（0＜a＜），令g（a）=lna++ln2+1，当a∈（0，）时，g′（a）=＜0，∴g（a）在（0，）内单调递减