湖南省衡阳市祁东县万福岭中学高三数学文下学期摸底试题含解析

湖南省衡阳市祁东县万福岭中学高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量,,,则“”是“”的（

）A．充要条件

B．充分不必要条件C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略2.已知直线与圆相交于A、B两点，若，则实数m的值等于（

）A．-7或-1

B．1或7

C.－1或7

D．－7或1参考答案：C由圆的方程可知，圆心坐标(0,3)，圆半径，由勾股定理可知，圆心到直线的距离为，解得m=－1或m=7，故选C.

3.若，函数在处有极值，则ab的最大值是（

）A．9

B．6

C．3

D．2参考答案：A求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件，利用基本不等式求出ab的最值解：由题意，求导函数f′（x）=12x2-2ax-2b，∵在x=1处有极值，∴a+b=6，∵a＞0，b＞0，∴ab≤（）2=9，当且仅当a=b=3时取等号,以ab的最大值等于9,答案为A

4.在各项均为正数的等比数列中，，成等差数列，是数列的前项的和，则

A.1008

B.2016

C.2032

D.4032参考答案：B5.如果，那么（）

A.2010

B.2011

C.2012

D.2013参考答案：D6.设集合，则下列关系中正确的是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略7.已知等差数列的前项和为，且且，则下列各值中可以为的值的是（

）A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：D略8.已知某几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D9.在△ABC中，已知，P为线段AB上的点，且的最大值为（

） A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C略10.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数有如下四个命题：①f（f（x））=0；②函数f（x）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中的真命题是（） A．①②④ B． ②③ C． ③④ D． ②③④参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设(为自然对数的底数)，则的值为.参考答案：12.已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是________.（相交或相切或相离？）参考答案：相交法一：在极坐标系中，点(4，0)和为圆直径端点，作圆C，又过两点(4，0)和作直线l，可得圆与直线相交.法二：方程②代入①得，，，在内有两解，∴直线与圆相交。法三：圆C的直角坐标方程是，即．圆心C(2，0)，半径r=2直线l的直角坐标方程为．所以圆心C到直线l的距离.13.已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为__________．参考答案：14.若函数满足，且，则

_.参考答案：

15.设的内角，A、B、C的对边分别为a、b、c，且的值为

，参考答案：略16.如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为、，则、的大小关系是_____________.(填，，之一)．参考答案：略17.已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为．参考答案：15【考点】余弦定理；数列的应用；正弦定理．【专题】综合题；压轴题．【分析】因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x﹣4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，则cos120°==﹣，化简得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15．故答案为：15【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1，直线B1C与平面ABC成30°角.

（I）求证：平面B1AC⊥平面ABB1A1；

（II）求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值；

（III）求二面角B—B1C—A的大小.参考答案：解析：解法一：

（I）证明：由直三棱柱性质，B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥AC，又BA⊥AC，B1B∩BA=B，∴AC⊥平面ABB1A1，又AC平面B1AC，∴平面B1AC⊥平面ABB1A1.

…………4分

（II）解：过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连结CM，∵平面B1AC⊥平面ABB1A，且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A，∴A1M⊥平面B1AC.∴∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角，∵直线B1C与平面ABC成30°角，∴∠B1CB=30°.设AB=BB1=a，可得B1C=2a，BC=，∴直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为

…………9分

（III）解：过A做AN⊥BC，垂足为N，过N做NO⊥B1C，垂足为O，连结AO，由AN⊥BC，可得AN⊥平面BCC1B1，由三垂线定理，可知AO⊥B1C，∴∠AON为二面角B—B1C—A的平面角，∴二面角B—B1C—A的大小为

…………14分解法二：

（I）证明：同解法一.…………4分

（II）解：建立如图的空间直角坐标系A—xyz，∵直线B1C与平面ABC成30°角，∴∠B1CB=30°.设AB=B1B=1，∴直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为

…………9分

（III）解：设为平面BCC1B1的一个法向量，∴二面角B—B1C—A的大小为

…………14分19.（12分）在△中，分别是内角的对边,且．(Ⅰ)求；

(Ⅱ)求的长.参考答案：解析：(Ⅰ)在中，..

…………2分从而

…………6分∴……9分(Ⅱ)由正弦定理可得，

…………12分20.已知等差数列{an}满足，，{an}的前n项和为Sn．（1）求an及Sn；（2）记，求证：．参考答案：（1），（2）见详解

【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式可求解．（2）由（1）的结论，利用裂项求和即可得出，再利用单调性即可证明结论．【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，，解得，（2）由（1）可知：所以，【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式、“裂项求和”方法、函数的单调性是解题的关键．21.一青蛙从点开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是，（如图所示，坐标以已知条件为准），表示青蛙从点到点所经过的路程.（1）若点为抛物线（）准线上一点，点均在该抛物线上，并且直线经过该抛物线的焦点，证明.（2）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且,试写出（不需证明）；（3）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且，求的表达式.参考答案：(1)证明见解析；(2)；(3).试题分析：(1)直接借助题设求解即可获证；(2)运用题设条件和极限思想表示出来再求解即可；(3)运用题设中提供的信息分类进行求解.试题解析：（1）设，由于青蛙依次向右向上跳动，所以，，由抛物线定义知：.（2）依题意，，，（）随着的增大，点无限接近点，横向路程之和无限接近，纵向路程之和无限接近，所以.（3）方法一：设点，则题意，的坐标满足如下递推关系：，且，（）其中，∴，即，∴是以为首项，2为公差的等差数列，∴，所以当为偶数时，，于是，又，∴当为奇数时，，，当为偶数时，当为奇数时，所以，当为偶数时，当为奇数时，所以，.方法二：由题意知，，，，，，…其中，，，，…，，，…观察规律可知：下标为奇数的点的纵坐标为首项为，公比为4的等比数列，相邻横坐标之差为首项为2，公差为1的等差数列，下标为偶数的点也有此规律，并由数学归纳法可以证明.所以，当为偶数时，当为奇数时，，当为偶数时，当为奇数时，所以，.考点：函数和数列的知识及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力．22.（本小题满分12分）为了参加年贵州省高中篮球比赛，某中学决定从四个篮球较强的班级中选出人组成男子篮球队代表所在地区参赛，队员来源人数如下表：班级高三（）班高三（）班高二（）班高二（）班人数（I）从这名队员中随机选出两名，求两人来自同一班级的概率；（II）该中学篮球队经过奋力拼搏获得冠军．若要求选出两位队员代表冠军队发言，设其中来自高三（7）班的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．参考答案：解：（I）“从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一班级”记作事件，则·····················································································（II）的所有可能取值为························································································