陕西省西安市西航第二中学高三数学理期末试题含解析

陕西省西安市西航第二中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设数列是等差数列，则“”是数列是“递增数列”的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C2.设函数是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为(

)

A．(-∞，2)

B．(-∞，]

C．(0,2)

D．[,2)参考答案：B略3.已知函数f（x）是定义在R上的增函数，若f（a2﹣a）＞f（2a2﹣4a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0） B．（0，3） C．（3，+∞） D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）参考答案：B【考点】函数单调性的性质．【分析】因为f（x）为R上的增函数，所以f（a2﹣a）＞f（2a2﹣4a），等价于a2﹣a＞2a2﹣4a，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：因为f（x）为R上的增函数，所以f（a2﹣a）＞f（2a2﹣4a），等价于a2﹣a＞2a2﹣4a，解得0＜a＜3，故选B．4.对于函数，下列命题正确的是

A．函数f（x）的图象恒过点（1，1）

B．∈R，使得

C．函数f（x）在R上单调递增

D．函数f（x）在R上单调递减参考答案：A5.一支由学生组成的校乐团有男同学48人，女同学36人，若用分层抽样的方法从该乐团的全体同学中抽取21人参加某项活动，则抽取到的男同学人数为（

）A.10 B.11 C.12 D.13参考答案：C【分析】先由男女生总数以及抽取的人数确定抽样比，由男生总人数乘以抽样比即可得出结果.【详解】用分层抽样的方法从校乐团中抽取人，所得抽样比为，因此抽取到的男同学人数为人.故选C【点睛】本题主要考查分层抽样，熟记概念即可，属于常考题型.6.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是（）A． B． C． D．π参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个球体截去剩下的几何体，由题意求出球的半径，由球体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：由三视图知几何体是：一个球体截去剩下的几何体，且球的半径是1，所以几何体的体积V==π，故选D．7.设各项均不为0的数列{an}满足(n≥1)，Sn是其前n项和，若，则S4=(A)

4

(B)(C)

(D)参考答案：【知识点】等比数列.D3

【答案解析】D

解析：由知数列是以为公比的等比数列，因为，所以，所以，故选D.【思路点拨】由已知条件确定数列是等比数列，再根据求得，进而求.8.已知为等比数列，，，则（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D在等比数列中，，所以公比，又，解得或。由，解得，此时。由，解得，此时，综上，选D.9.如图，将边长为2的正方形ABCD沿PD、PC翻折至A、B两点重合，其中P是AB中点，在折成的三棱锥A（B）－PDC中，点Q在平面PDC内运动，且直线AQ与棱AP所成角为60o，则点Q运动的轨迹是A、圆B、椭圆C、双曲线D、抛物线参考答案：D10.若存在x∈（0，1），使x﹣a＞log0.5x成立，则实数a的取值范围是（） A．（﹣∞，+∞） B． （﹣∞，﹣1） C． （﹣∞，1） D． （﹣1，+∞）参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归方程为．现在发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为 ．参考答案：68

12.计算定积分

.

参考答案：13.已知等比数列的公比为正数，且，则=

.参考答案：14.曲线在点处的切线方程为

.参考答案：15.设是按先后顺序排列的一列向量，若，且，则其中模最小的一个向量的序号___▲____．参考答案：或

16.曲线y=sinx+ex在点（0，1）处的切线方程是．参考答案：y=2x+1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；导数的概念及应用．【分析】求出函数y=sinx+ex的导数，求得切线的斜率，由斜截式方程，即可得到所求切线的方程．【解答】解：y=sinx+ex的导数为y′=cosx+ex，在点（0，1）处的切线斜率为k=cos0+e0=2，即有在点（0，1）处的切线方程为y=2x+1．故答案为：y=2x+1．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键．17.已知，若，则=

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=AB，D是AC的中点。

（1）求证：B1C//平面A1BD；

（2）求证：平面A1BD⊥平面ACC1A1；

（3）求二面角A—A1B—D的余弦值。

参考答案：解：(1)证明：连交于点，连.则是的中点，∵是的中点，∴∵平面，平面，∴∥平面.…4分(3)法一：设,∵,∴,且，作，连∵平面⊥平面，∴平面，∴∴就是二面角的平面角，在中，，在中，，即二面角的余弦值是.…12分解法二：如图，建立空间直角坐标系.则，，，∴，，，设平面的法向量是，则由，取设平面的法向量是，则由，取记二面角的大小是，则，即二面角的余弦值是.…………12分19.已知.（1）在时，解不等式；（2）若关于x的不等式对恒成立，求实数a的取值范围.参考答案：（1）在时，.在时，，∴；在时，，，∴无解；在时，，，∴.综上可知：不等式的解集为.（2）∵恒成立，而，或，故只需恒成立，或恒成立，∴或.∴的取值为或.20.已知函数f（x）=（x+a）lnx在x=1处的切线方程为y=x﹣1．（Ⅰ）求a的值及f（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C，设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上不同的两点，如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得①x0=；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试证明：函数f（x）不存在“中值相依切线”．参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，得到函数在x=1处的切线方程，结合已知切线方程求得a值，进一步求得函数的单调区间；（Ⅱ）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x1＜x2，则y1=x1lnx1，y2=x2lnx2．求出kAB及f′（）．由题意列等式可得1+ln==，整理得：，令（t＞1）换元，则．令g（t）=（t＞1），利用导数求得g（t）的最小值小于1﹣ln2，说明计算错误，函数f（x）不存在“中值相依切线”．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x+a）lnx，得f′（x）=lnx+．∴f′（1）=1+a，又f（1）=0，∴函数f（x）=（x+a）lnx在x=1处的切线方程为y=（1+a）（x﹣1）=（1+a）x﹣1﹣a．∴1+a=1，得a=0．则f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1．由f′（x）=lnx+1=0，得x=．∴当x∈时，f′（x）＜0，当x∈时，f′（x）＞0．∴f（x）在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x1＜x2，则y1=x1lnx1，y2=x2lnx2．．由f（x）=xlnx的导数为f′（x）=1+lnx，可得1+ln==，整理得：，令（t＞1），则．令g（t）=（t＞1），则g′（t）=，令h（t）=2t﹣2﹣tlnt﹣lnt，h′（t）=2﹣lnt﹣1﹣=1﹣lnt﹣，再令r（t）=1﹣lnt﹣，则r′（t）=＜0，∴r（t）单调递减，由r（1）=0，∴h′（t）＜0，得h（t）单调递减，又h（1）=0，∴h（t）＜0，即g′（t）＜0在（1，+∞）上恒成立．可得g（t）在（1，+∞）上单调递减，则g（t）＜g（1）=﹣ln2．∴不成立，故假设错误，函数f（x）不存在“中值相依切线”．21.设函数f（x）=lnx﹣ax2+ax，a为正实数．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求证：f（）≤0；（3）若函数f（x）有且只有1个零点，求a的值．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求导数，确定切线的斜率，切点坐标，可得切线方程；（2）构造函数，确定函数的单调性与最值，即可证明结论；（3）由题意可知，函数f（x）有且只有1个零点为（1，0），则f′（1）=0，即可得出结论．【解答】（1）解：当a=2时，f（x）=lnx﹣2x2+2x，f′（x）=﹣2x+2，∴f′（1）=1，∵f（1）=0，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=x；（2）证明：f（）=﹣lna﹣+1（a＞0），令g（x）=﹣lnx﹣+1（x＞0），则g′（x）=，∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，函数单调递增；x＞1时，g′（x）＜0，函数单调递减，∴x=1时，函数取得极大值，即最大值，∴g（x）≤g（1）=0，∴f（）≤0；（3）解：由题意可知，函数f（x）有且只有1个零点为（1，0），则f′（1）=0，即1﹣2a+a=0∴a=1．22. 在数列{an}，{bn}中，已知，，且，，成等差数列，，，也成等差数列，数列{bn}的前n项和为Sn．⑴求证：{an+bn}是等比数列；⑵求an及Sn；⑶设m是不超过100的正整数，求使成立的所有数对(m,n)．参考答案：（1）由，，成等差数列可得，，①由，，成等差数列可得，，

②①②得，，

……………2分即，（其中），又因为所以是以6为首项、为公比的等比数列，

……………4分（2）由（1）知，，

③①②得，，（其中），