2020-2021学年六安一中高二年级上册期末数学试卷(文科)(含解析)

2020-2021学年六安一中高二上学期期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.下列说法中，正确的是（）

A.命题“若x42或yH7,则x+yH9”的逆命题为真命题

B.命题“若一=4,贝H=2”的否命题是“若/=4,则x42”

C.命题“若/<1,则一1<x<1”的逆否命题是“若x<一1或x>1,则/>1”

2

D.若命题p：VxeR,x-x+1>0,q：3x0G（0,+oo）,sinx0>1,贝！］（"）Vq为真命题

2.已知双曲线0的两条渐近线方程为0,那么此双曲线的虚轴长为（）

A.0B.0C.0D.0

3.如图所示的程序框图，它的输出结果是（）

A.-1B.0C.1D.16

4.计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢2进1”，如（1000）2表示二进制数，将

它转换成十进制形式是1x23+0x21+1x2。=9,那么将二进制数…I"'。个1转换成十

进制形式是（）

A.29-2B.210-2C.210-1D.29-1

5.将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个分数的平均数为91,现场作的7个

分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，贝45个剩余分数的方差为

877

9309x1

A.3B.yC.6D.30

6.“ab=0”是“a=0且b=0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.如表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：若热茶杯数y与气温x近似地满足线

性关系，则其关系式最接近的是（）

气温1813104-1

杯数2434395163

A.y=x+6B.y=x+42C.y=-2x+60D.y=-3x+78

8.从甲、乙、丙、丁4名同学中，任意安排2名同学早上到校门口值日，另外2名同学下午到校门口

值日，则甲和丁不在一起值日的概率为（）

A.C.-D.|

9.斜率为k的直线丫一4=一做工+3）所过的定点是（）

A.（—3,4）B.（-3,-4）C.（3,4）D.（3,—4）

10.方程/+y2cosa=l（aER）不能表示的曲线为（）

A.椭圆B,双曲线C.抛物线D.圆

11.已知抛物线/=2「尤@>0）的焦点是双曲线^一系=1的一个焦点，则「的值为（）

A.4B.6C.8D.12

12.已知点&,尸2分别为椭圆C：捻+，=l（a>b>0）的左、右焦点，点M在椭圆C上，线段M0的

中点在y轴上，若立尸2用&=60。，则椭圆的离心率为（）

A.；B.|C.更D.3

6363

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知抛物线y=7n/上的点到定点（0,4）和定直线y=—4的距离相等，则m=.

14.如图，AB为半径为2的圆0的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E,/

弦与C。交于点尸.则4c2+BF-BM=_____.(\

匕E

15.过抛物线y2=2%的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，则六+高=____.

16.已知函数/。)=/+(6->/^:淳汝+岩为偶函数，则该函数图象与丫轴交点纵坐标的取值范

围是.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.求以椭圆9/+4y2=36的长轴端点为短轴端点，且过点P(-4,1)的椭圆的标准方程.

18.如图，在四棱锥S-4BC0中，底面4BCD为正方形，侧棱S。_L底京

面4BCD,E、尸分别是4B、SC的中点/；\\

(1)求证：EF//平面S4D/：\\

(2)设SD=2CD,求二面角A—EF-D的大小./；\A

19.如图所示，曲线C由上半圆Ci：x2+y2=l(y>0)和部分抛物线C?：

y=%2-1320)连接而成，A>B为G与C2的公共点(B在原点右

侧)，过G上的点。(异于点A,B)的切线/与。2分别相交于M,N两

Bx

(1)若切线2与抛物绩y=x2-1在点。处的切线平行，求点。的坐标.

(2)若点。(g,%)勾动点时，求证NMON恒为钝角.

A'EB

20.在三棱柱4'B'C'-ABC中，A'A=5,AB=4,A'B=AC=3,

AC1BC,cos/.A'AC=-

(1)求证：面力'C'C4_1_面48。

(2)求二面角C-A'A-B的余弦值；

(3)若E,F分别为棱48','BC上的点，衣=2常，加=〃菰，月£/7/面AC'C4求"的最大值.

21.已知双曲线r：捻一、=l(a>0,b>0)的焦距为4,直线I：x-my—4=0(meR)与咬于两

个不同的点。、E,且加=0时直线2与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.

(1)求双曲线2的方程；

(2)若坐标原点。在以线段DE为直径的圆的内部，求实数小的取值范围；

(3)设人B分别是r的左、右两顶点，线段BD的垂直平分线交直线BD于点P,交直线4。于点Q,求

证：线段PQ在x轴上的射影长为定值.

22.过点4(0,a)作直线交圆M：(%-27+川=i于点B、C,

(理)在BC上取一点P,使P点满足：AB=AAC,BP=APC,(AER)

(文)在线段BC取一点P,使点8、P、C的横坐标的倒数成等差数列

(1)求点P的轨迹方程；

(2)若(1)的轨迹交圆M于点R、S,求AMRS面积的最大值.

参考答案及解析

1.答案：A

解析：解：4命题“若x丰2或y力7,则x+yH9"的否命题为，“若x=2且y=7,则x+y=9",

为真命题，则命题的逆命题为真命题正确，故A正确，

8.命题“若/=4,贝收=2”的否命题是“若一牛4,则x+2”，故8错误，

C.命题“若/<1,则一1<x<1”的逆否命题是“若x<一1或x>1,则/21"，故c错误，

£).•.・%2-X+1=(X-勺2+：>0恒成立，二命题p为真命题.，则”为假命题，

sinxG3x0e(0,+8),sinx0>1为假命题.，则p是假命题，则(7)Vq为假命题.故

。错误，

故选：A.

4根据逆否命题的定义进行判断.

员根据否命题的定义进行判断.

C.根据逆否命题的定义进行判断.

。.根据复合命题的真假关系进行判断.

本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的定义以及复合命题的真假关系，比较基础.

2.答案：A

解析：试题分析：由双曲线方程可知0其渐近线方程为区，所以国，解得冈。所以此双

曲线方程为叵|,所以冈，所以虚轴长为S。故A正确.

考点：双曲线渐近线。

3.答案：C

解析：解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：

是否继续循环xk

循环前00

第一圈是｝1

第二圈是兀2

第三圈是y3

第四圈是2兀4

第五圈是y5

退出循环，输出的y值为：siny=1

故选：C.

分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计

算变量y的值并输出.

本题考查根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型.

4.答案：C

解析：解：由题意得，二进制数

故选：C.

利用二进制数转换成十进制数的方法，可转换为求等比数列的和，即可得答案.

本题主要考查二进制数转换成十进制数的方法，属于基础题.

5.答案：C

解析：

本题考查茎叶图及平均数与方差的计算，结合茎叶图中的数据，利用剩余5个数据的平均数求出工的

值，再求方差.

解：根据题意，结合茎叶图中的数据，去掉1个最低分87,去掉1个最高分99,得；

x=4,

.•・剩余5个数据的方差为:

(87-91)2+(93-91)2+(90-91)2+(94-91)2+(91-91)2

故选C.

6.答案：B

解析：解：由ab=0=a=0或b=0,不是充分条件，

由。=0且b=0=>ab=0,是必要条件，

故选：B.

结合充分必要条件的定义，分别进行判断即可.

本题考查了充分必要条件，是一道基础题.

7.答案：C

解析：解：由题意知元=18+132。+4-1=8.8

_24+34+39+51+63

y=----------------------=42.2

本组数据的样本中心点是(8.8,42.2)

代入所给的四个选项，只有C符合，

故选C

做出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，因为回归直线方程一定过数据的样本中心

点，所以把求得的结果代入四个选项中，能够成立的就是最接近的.

本题考查回归直线方程和样本中心点，这是一个新型的问题，这类问题可以作为高考题出现，题目

会给出要用的公式，实际上是一个基础题.

8.答案：C

解析：解：从甲、乙、丙、丁4名同学中，任意安排2名同学早上到校门口值日，另外2名同学下午到

校门口值日，

基本事件总数几=零•朗=6,

甲和丁不在一起值日的对立事件是甲和丁在一起值日，

则甲和丁不在一起值日的概率为P==

故选：C.

基本事件总数几=粤•掰=6,甲和丁不在一起值日的对立事件是甲和丁在一起值时，由此能求出

甲和丁不在一起值日的概率.

本题考查概率的求法，考查古典概率、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是

基础题.

9答案:A

解析：解：由题意，可得t：&得X=-3且y=4,

故定点的坐标为(-3,4),

故选A.

分别令久+3=0和y-4=0,求出X,y的值即可.

本题给出动直线恒过定点，要我们求直线恒过的定点坐标，着重考查了直线的方程及点与直线位置

关系等知识，属于基础题.

10.答案：C

解析：解：当a=0。时，cos0°-1,方程/+y2=1表示圆心在原点的单位圆；

2

当90。>a>0。或360。>a>270。时，1>cosa>0,方程/+ycosa=1表示中心在原点，焦点

在y轴上的椭圆；

当a=90。时，cos90°=0,方程/=匕得％=±1表示与y轴平行的两条直线；

当270。>a>90。时，cosa<0,方程/+y2cosa=1表示焦点在x轴上的双曲线；

当a=180。时，cosl8(r=-1,方程/一必=1表示焦点在%轴上的等轴双曲线；

当a=270。时，cos270°=0,方程M=1表示直线.

故选；C.

根据cosa符号，对角a分类讨论，由圆、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状.

本题考查了方程含有参数时讨论表示的曲线问题，需要根据系数的符号进行分类讨论，分别再由圆、

椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状，考查了分类讨论思想.

11.答案：D

解析：

本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查.

求出抛物线与双曲线的焦点坐标，列出方程求解即可.

解：抛物线y2=2px(p>0)的焦点是g,0),

双曲线■一言=1的一个焦点(J12+2p,0),

由题意可得J12+2p=5解得p=12.

故选D.

12.答案：D

解析：解：点F1，尸2分别为椭圆C：捻+5=1(。>6>0)的左、右焦点，

点M在椭圆C上，线段MF1的中点在y轴上，若4尸2时月=60。，可得F2MIF2居,

所以：可得上Q=更，ee(0,1),

2c。3a2e3

可得e=—.

故选：D.

利用已知条件，推出F2MIF2&，然后求出abc的关系，然后求解椭圆的离心率即可.

本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力.

13.答案：:

解析：解：抛物线的标准方程：x2=-y

由抛物线的定义可知：抛物线的焦点(0,4),准线方程：y=-4,

则£=4,则2P=8,

-1-1

•••—=8,则巾=

m8

m的值为§

O

故答案为：

将抛物线方程转化成标准方程，由抛物线的定义可知：抛物线的焦点(0,4),准线方程：y=-4,则

§=4,则2P=8,则工=8,则爪="

zm0

本题考查抛物线的标准方程及抛物线的定义的应用，考查计算能力，属于基础题.

14.答案：16

解析：解：连结力M、AC.BC,

•••4B为半径为2的圆。的直径，AC1BC,

•••CD为垂直于4B的一条弦，垂足为E,弦BM与CO交于点F.

•••Z.AMF+AAEF=180°,J\

••・4、M、F、E四点共圆，\\

•••BF-BM=BE-BA=4BE,_4)

•••AC1BC,CE1AB,

ArAD

AEAC

AC2=AE-AB=4AE,

：.AC2+BF-BM=4BE+4AE=448=16.

故答案为：16.

连结4M、AC、BC,由题设条件推导出4、M、F、E四点共圆，△ACB-ZMEC,从而得到4c2+BF-BM=

4BE+4AE,由此能求出结果.

本题考查与圆有关的比例线段的求法，是中档题，解题时要注意数形结合思想的合理运用，注意切

割线定理的合理运用.

15.答案：2

解析：解：易知尸坐标G，。)准线方程为“一；.

设过F点直线方程为y=/c(x-i)

代入抛物线方程，得-=2九

化简后为：k2x2-(fc2+2)x+i/c2=0.

设4(%i，乃)，B(x2,y2)

则有句+x2=穿匕xrx2=：

根据抛物线性质可知，\AF\=Xj+1,\BF\=x2

.1|1_X1+&+1_2

"\AF\|BF|一(z1+i)(x2-4)一

故答案为：2.

根据抛物线方程可求得焦点坐标和准线方程，设过F的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设

4(X121)，8(X2,丫2)根据韦达定理可求得X62的值，又根据抛物线定义可知，\AF\=X1+l，\BF\=

犯+：代入高+潦1答案可得・

本题主要考查抛物线的应用和抛物线定义.对于过抛物线焦点的直线与抛物线关系，常用抛物线的

定义来解决.

16.答案：0StS1

解析：解：•.•函数/(x)=/+(/,—VF=层)X+翳为偶函数，

•••/(-%)=f(x),

・•・b—V1—a2=0

.・.此函数的图象与y轴交点的纵坐标为写科，

设a=s讥a(a€[―[勺，则曰％=经竺1=t

n乙Q+2sina+2

・•・cosa—tsina=2£—1=Vl+t2sin(a—0)

•e•|2t-114,

4

•••0<t<-.

故答案为。<t<^.

利用函数是偶函数，建立方程关系即可得到a,b的关系，然后利用换元法即可求出函数的图象与y轴

交点的纵坐标的最大值.

本题主要考查函数奇偶性的应用，根据函数奇偶性的性质求出a,b的关系是解决本题的关键，利用

换元法求函数的最值，综合性较强.

17.答案：解：椭圆9/+4y2=36化成标准方程，得9+^=1，

:・椭圆9/+4y2=36长轴的端点坐标为：(0,±3),

因此可设所求的椭圆方程为W+1=1，

a29

,・,经过点(一4,1),

・,•费+2=1,解之得a?=18

因此，所求椭圆标准方程是三+”=1,

189

故答案为：兰+”=1.

189

解析：将已知椭圆化成标准方程，可得所求椭圆的长轴的端点坐标(0,±3),从而可以设出所求椭圆

方程为刍+正=1，结合它经过点(-4,1)列出关于a?的等式，解之即得所求椭圆的标准方程.

Q"9

本题给出一个椭圆的短轴刚好是已知椭圆的长轴，并且在已知椭圆经过定点的情况下求椭圆的标准

方程，着重考查了椭圆的标准方程和基本概念等知识，属于基础题.

18.答案：解:法一：

(1)作FG〃DC交SD于点G,则G为S。的中点.

连接4G,FGCD,又CD比AB，

故FG4AE,AEFG为平行四边形-EF//AG,又AGu平面SAD，EFU平面SAD・

所以£77/平面SAD.

(2)不妨设DC=2,则SD=4,DG=2,XADG为等

腰直角三角形.

取4G中点，，连接。H,^\DHLAG.

又AB1平面S4D,所以AB1DH,而ABCAG=4,

所以DH_L面4EF.

取EF中点M,连接MH,则HM1EF.

连接DM,则DM_LEF.

故4DMH为二面角4—EF—。的平面角tan/DMH=—=—=V2.

HM1

所以二面角A—EF—。的大小为arctanV^.

所以二面角4-EF-°的大小为arccos今

解析：法一：(1)作FG〃DC交SD于点G,则G为SD的中点.

要证EF〃平面SAD,只需证明E尸平行平面S4D内的直线4G即可.

(2)取4G中点H,连接DH,说明NOM”为二面角A-EF-。的平面角，解三角形求二面角4-EF-D

的大小.

法二：建立空间直角坐标系，加=E,EF〃/1G,4Gu平面$4。即可证明(1)：

(2)求出向量而和a，利用cos<而，而>=湍嬴,即可解答本题.

本题考查直线与平面平行的判定，二面角的求法，考查计算能力，逻辑思维能力，是中档题.

19.答案：(1)解：设点D的坐标(a,b),由已知IB(LO),

又y'=2x,所以切线Z的斜率k=2,

故2=-；，且a2+b2=l,解得a=-辿,b=在，

于是点。的坐标为(-等…(4分)

(2)证明：设N(%2，y2)由点D(3，yo)知切线I方程为“0%+尢)=L

,(xox+yQy=1xo

由[y=x2_1ny()+xox-yo-l=Of

显然△>0,有+%2=~T~>X1X2=-1—

yayo

xxXxxXX2

所以+乃丫2=l2+(1—1)(^2-1)=与次+l2~(1+2)+1=XtX2+(^1^2)-

2

[(Xi+X2)-2%IX2]+1

=-1-：+(1+机)2—(%+2+£)+1=—£<0,由此可知OM.ON<0，从而4“ON为钝

角.…(12分)

解析：(1)求导数，利用切线，与抛物线y=x2-1在点。处的切线平行，结合a?+/=1,可得点。的

坐标；

(2)利用韦达定理,证明X62+%、2<0即可.

本题考查导数的几何意义，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中

档题.

20.答案：证明：(1)•••在三棱柱AB'C'-ABC中，A'A=5,AB=4,A'B=AC=3,AC1BC,

cos/-A'AC—I，

/.AfC=\/AA/24-AC2-2xAA*xACxcosZA'AC

=J25+9-2X5X3X|=4,

在△4'4c中，A'A2=AC2+A'C2,

则AC1.AC,

vACIBC,A'COBC=C,A'C,BCu面ABC,

•••AC_L面4BC,

vACu面4C'C4

.•.面A'C'CA"L面4BC.

解：(2)vA'A=5,AB=4,A'B=3,

•■A'BLAB,

■■ACA.\&A'BC,A'Bu面4BC,

A'B1AC,

y.---ACnAB=A,AC,ABu面ABC,

A'BL^ABC,

如图建立以8。为*轴，过点B作4C的平行线为y轴，以B4'为z轴的空间坐标系,

则AC1BC,AB=4,AC=3,

BC=V7,

则C(V7,0,0),4(夕,3,0),4(0,0,3),B'(-V7,-3,3),

设面4'AC的法向量为五=(x,y,z),

府=(一近,一3,3)，刀=(0,3,0),

.@•府=缶+3y-3z=0

"ln-C^=3y=0

令2=夕，得元=(3,0,近)，

设面AAB的法向量为记=(a,b,c),

A47=(-V7,-3,3).BA=(V7,3,0)>

...Cm-A47=V7a+3b-3c=0

Irn-BA=>/7a+3b=0

令b=-巾,得沅=(3,-b,0),

设所求二面角为a,

则13al=翻=巳Bae(0.2),

a

・•・二面角C-A'A-8的余弦值cosa=—.

16

(3)・.•凝=4福，BF=

设EQi，%,Zi),F(x2,y2,Z2)'

.[(X]，yi，zi-3)=A(-V7,-3,0)

[(x2,y2,z2)=/z(V7,0,0)

AE(-V72,-3A,3),尸(377,0,0)，

•••EF=(3近+V72,3A,-3).n=(3,0,夕)，

由EF〃面AC'S,得前，记，

3(V7/z+V7A)-3夕=0，

.,.4+4=1,而九MG(0,1),

(争2.

••・加的最大值为此时4=〃=/

解析：本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查两数值的最大值的求法，考查

空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是

较难题.

(1)求出4。=4推导出4£14。，AC1面ABC,由此能证明面4'C'CA1面ABC.

(2)推导出AB1AB,A'BLAC,从而4'B_L面4BC,过点B作4C的平行线建立坐标系，利用向量法

能求出二面角C—A'A-B的余弦值.

(3)推导出前=(3b+尢3尢一3)，n=(3,0,5/7)＞由EF〃面4CCA,得就1元，由此能求出加的

最大值.

21.答案:解：(1)双曲线r：会曰=1(。＞0/＞0)的焦距为4,可得c=2,

m=0时，直线八x=4与双曲线的两条渐近线y=±《x所围成的三角形恰为等边三角形，

可得9.弓=4,即(1=8匕，Xa2+b2=4,

解得a=V3,b=1,

2

则双曲线的方程为言—y2=i；

(2)设DQi，yi),£(%2，%)，联立直线％—rny-4=0与双曲线产-3y2=3,

可得(62-3)y2+8my+13=0,即有y1+为=一翟pViVi=志p

可得CE的中点为F(-尴‘一意？，\DE\=V1+止2.Ju[+、2)2-4yly2

=VT+^./(-卷安-联弋二厅中当竽誉,

7、m2-3ym2-3|m2-3|

若坐标原点。在以线段DE为直径的圆的内部，可得|OF|＜：|DE|,

144,167n2,1,2、127n2+156

n即n荷。+而/＜z(1+=).不E，

解得m2＞3,即771＞百或

（3）证明:双曲线的顶点4（一祗0）,B（V3,0）,

由（2）可得线段BD的垂直平分线交直线8。于P（警1,共），

直线BD的斜率为婚而，可得BD的垂直平分线的方程为y-葭=一臂。一警），①

4。的方程为y=盘^（%+百），②

又。在双曲线上，可得好一3衣=3,即好一3=3衣，③

联立①②③解得利=£+日，

则线段PQ在x轴上的射影长为|与-飞|=乎，即为定值.

解析：（1）由焦距可得c,由等边三角形的性质可得a,b的方程，结合a,b,c的关系，求得a,b,

可得双曲线的方程；

（2）联立直线x-my-4=0与双曲线/一3y2=3,运用韦达定理和中点坐标公式求得DE的中点,

\DE\,可得|OF|＜：|DE|,解不等式可得所求范围;

（3）求得双曲线的顶点4,B,P,求得BD的垂直平分线方程和4。的方程，结合。的坐标满足双曲线

的方程，解方程可得Q的横坐标，则线段PQ在x轴上的射影长为|冷一利|,计算即可得证.

本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，点与圆的位置关系，考查方程思想

和运算能力、推理能力，属于中档题.

22.答案：解：（1）（理）令尸（x,y）,因为荏=4万，丽