2017-2018学年河北省衡水市安平中学高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版)

试卷第=page22页，总=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat15页2017-2018学年河北省衡水市安平中学高二下学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．若a，b是任意实数，且a>b，则下列不等式成立的是()A．a2>b2B．C．lg(a－b)>0D．(【答案】D【解析】试题分析：A中不成立，B中不成立，C中不成立，D中由指数函数单调性可知是成立的【考点】不等式性质2．将参数方程（为参数）化为普通方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分析：先根据代入消元法消参数，再根据三角函数有界性确定范围.详解：因为，所以y＝x－2，因为，所以2≤x≤3,因此选C.点睛：1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．3．设a、b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由(a－b)a2<0⇒a≠0且a<b，∴充分性成立；由a<b⇒a－b<0，当0＝a<b(a－b)·a2<0，必要性不成立；故选A.4．已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为()A．3B．2C．12D．12【答案】C【解析】【分析】利用三元的均值不等式即可求得最小值．【详解】，当且仅当时等号成立，故选C．【点睛】一般地，如果是正数，那么（当且仅当时等号成立），进一步地，（1）如果（定值），那么有最小值，当且仅当时取最小值；（1）如果（定值），那么有最大值，当且仅当时取最大值．5．直线：3x－4y－9＝0与圆：(θ为参数)的位置关系是()A．相切B．相离C．直线过圆心D．相交但直线不过圆心【答案】D【解析】【分析】把圆的参数方程改写成直角方程，利用圆心到直线的距离与半径的大小来判断它们的位置关系．【详解】圆的方程是，故圆心到直线的距离为，所以直线与圆是相交的．又，故直线不过圆心，故选D．【点睛】参数方程转化为普通方程，关键是消去参数，消参数的方法有：（1）加减消元法；（2）平方消元法；（3）反解消元法；（4）交轨法．6．若a,b,c为正数,且a+b+c=1,则++的最小值为()A．9B．8C．3D．【答案】A【解析】【分析】利用柯西不等式可得最小值．【详解】因为当且仅当时等号成立，故所求最小值为，故选A．【点睛】一般地，如果，是实数，那么，进一步地，（1）如果，那么有最小值，当且仅当时取最小值；（1）如果，那么有最大值，当且仅当时取最大值．7．下列可以作为直线2x－y＋1＝0的参数方程的是()A．(t为参数)B．(t为参数)C．(t为参数)D．(t为参数)【答案】C【解析】【分析】消去参数检验所得方程是否为．【详解】对于A，消去参数后得到，不符合；对于B，消去参数后得到，不符合；对于C，消去参数后得到，符合；对于D，消去参数后得到，不符合；故选C．【点睛】直线的参数方程有多种，特别地，当直线的参数方程是（是参数且，是直线的倾斜角）时，那么表示与之间的距离．8．设，下面四个不等式中，正确的是（）①；②；③；④A．①和②B．①和③C．①和④D．②和④【答案】C【解析】试题分析：由题，则说明两个数同号，易判断①，正确；②错误；③；错误；④正确.故选C.【考点】绝对值不等式的性质．9．A(0，1)是椭圆x2＋4y2＝4上一定点，P为椭圆上异于A的一动点，则|AP|的最大值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的参数方程可设动点，故的最大值归结三角函数的最值问题．【详解】设，则，整理得到，所以，此时．故选C．【点睛】椭圆的参数方程为（为参数），注意此处不是与轴正向所成的角．我们常通过椭圆的参数方程把椭圆上的动点的横纵坐标用参数的三角函数来表示．10．若，给出下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】根据可以得到，从而①④正确，②③错误．【详解】因为，故，所以，故①正确，③错误．又，故，故④正确．又，故，故②错误，综上，①④正确，故选B．【点睛】本题考察不等式的性质，属于基础题．11．已知直线l：(t为参数)和抛物线C：y2＝2x，l与C分别交于点P1，P2，则点A(0，2)到P1，P2两点距离之和是()A．4＋B．2(2＋)C．4(2＋)D．8＋【答案】C【解析】分析：先将直线参数方程化为标准方程，再代入抛物线方程，根据参数几何意义求点A(0，2)到P1，P2两点距离之和.详解：因为直线l：(t为参数)，所以直线l：(m为参数)代入抛物线方程得，因此点A(0，2)到P1，P2两点距离之和是选C.点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cosα，y0＋t1sinα)，(x0＋t2cosα，y0＋t2sinα).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.12．过抛物线(t为参数)的焦点的弦长为2，则弦长所在直线的倾斜角为()A．B．或C．D．或【答案】B【解析】【分析】抛物线的标准方程是，故焦点坐标为，直线的参数方程为（为直线的倾斜角），代入抛物线方程得到关于的方程，其两个根为，再利用求出．【详解】消去参数得到抛物线方程为：，设直线的参数方程为（为直线的倾斜角），故，设两个根为，则且，因，故，或者，故选B．【点睛】如果直线的参数方程是（是参数且，是直线的倾斜角），那么表示与之间的距离．因此，在参数方程中，针对直线上的动点到定点的距离和、积或差等问题（动点和定点都在该直线上），可用直线的参数方程结合韦达定理来考虑．二、填空题13．已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为________．【答案】.【解析】【分析】先求出的直角坐标，再求出的斜率．【详解】，故，故，填．【点睛】本题考察椭圆的参数方程，属于基本题．14．已知点M的极坐标为，则它化成直角坐标为________．【答案】.【解析】【分析】利用把点的极坐标转化直角坐标．【详解】，故，填．【点睛】极坐标转化为直角坐标，关键是，而直角坐标转化为极坐标，关键是．15．在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是________(填序号)．①；②；③(1，0)；④(1，π)【答案】②.【解析】【分析】先求出圆的直角方程，从而得到圆心的直角坐标后再转化为极坐标.【详解】因为，故，因此，故圆心为，其极坐标为，故填②.【点睛】一般地，表示圆心为且半径为的圆，表示圆心为且半径为的圆.注意这两个圆都过极点.16．设a+b=2,b>0,则QUOTE+QUOTE的最小值为.【答案】QUOTE【解析】由a+b=2,b>0.则QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE,由a≠0,若a>0,则原式=QUOTE+QUOTE+QUOTE≥QUOTE+2QUOTE=QUOTE.当且仅当b=2a=QUOTE时,等号成立.若a<0,则原式=--QUOTE-QUOTE≥-QUOTE+2QUOTE=QUOTE.当且仅当b=-2a即a=-2,b=4时等号成立.综上得当a=-2,b=4时,+QUOTE取最小值QUOTE.三、解答题17．将下列参数方程化为普通方程：（1）（为参数）；（2）（为参数）.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）分别分离处参数中的，根据同角三角函数的基本关系式，即可消去参数得到普通方程；（2）由参数方程中求出，代入整理即可得到其普通方程.试题解析：（1）∵，∴，两边平方相加，得，即.（2）∵，∴由代入，得，∴.【考点】曲线的参数方程与普通方程的互化.18．曲线C1的参数方程为(θ为参数),将曲线C1上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标伸长为原来的倍,得到曲线C2.以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l:ρ(cosθ-2sinθ)=6.(1)求曲线C2和直线l的普通方程.(2)P为曲线C2上任意一点,求点P到直线l的距离的最值.【答案】(1)=1,x-2y-6=0.(2)点P到直线l的距离的最大值为2,最小值为.【解析】【分析】（1）先根据变换得到，再利用把直线的极坐标方程改成直角方程.（2）利用的参数方程为设出动点，再利用点到直线的距离公式得到距离的表达式后可得其最大值和最小值.【详解】(1)由题意可得的参数方程为(为参数)，即.直线化为直角坐标方程为.(2)设点，由点到直线的距离公式得点到直线的距离为因为，故而.【点睛】一般地，当点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用含参数的代数式表示动点的横纵坐标.比如，动点在椭圆，可设动点为，又如动点在双曲线，可设动点为.19．已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l经过定点P(3,5),倾斜角为.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程.(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值.【答案】(1),x2+y2-2x-4y-11=0.(2)3.【解析】【分析】（1）利用公式写出直线的参数方程.再利用平方消元法消去曲线的参数可得曲线的直角方程.（2）利用直线参数方程中参数的几何意义把归结为，其中是把直线的参数方程代入曲线后得到的关于参数的方程的两个根.【详解】(1)由曲线的参数方程(为参数)，得普通方程为，即.直线经过定点，倾斜角为,直线的参数方程为(是参数).(2)将直线的参数方程代入，整理得，设方程的两根分别为，则，因为直线与曲线相交于两点,所以.【点睛】如果直线的参数方程是（是参数且，是直线的倾斜角），那么表示与之间的距离．因此，在参数方程中，针对直线上的动点到定点的距离和、积或差等问题（动点和定点都在该直线上），可用直线的参数方程结合韦达定理来考虑．20．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝2.(1)求证：ab＋bc＋ac≤；(2)若a，b，c都小于1，求a2＋b2＋c2的取值范围．【答案】(1)见解析.(2).【解析】【分析】（1）可变形为，利用基本不等式可证．（2）可变形为，利用基本不等式可以得到，再根据，，可以得到，，，从而，故可求所需范围．【详解】（1）证明：∵，∴，又，所以，故，也就是．(2)解：由题意可知，，∴，也就是，当且仅当时取等号，∴．∵，∴.同理，.∴，∴，∴的取值范围为.【点睛】基本不等式有如下变形：（1）（）；（2）；上述不等式体现了代数式和与积两种形式之间的转化，解题中注意对代数式和或积的结构分析.21．已知曲线：，直线：（为参数）.（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（2）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.【答案】（1）曲线Ｃ的参数方程为为参数）；直线的普通方程为2x+y-6=0.（2）最大值为；最小值为．【解析】试题分析：（1）由平方关系和曲线方程写出曲线的参数方程，消去参数作可得直线的普通方程；（2）由曲线的参数方程设曲线上任意一点的坐标，利用点到直线的距离公式求出点直线的距离，利用正弦函数求出，利用辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质求出的最大值与最小值．试题解析：（1）曲线的参数方程为，（为参数），直线的普通方程为．（2）曲线上任意一点到的距离为．则，其中为锐角，且，当时，取得最大值，最大值为．当时，取得最小值，最小