第4章数列复习课讲义-高二上学期数学选择性

编号：031课题:§4数列复习课教学课时安排1、上课时间：_________________．2、课时安排：_________________．3、上课班级___________________．学科目标要求1、理解并掌握等差数列与等比数列的基本运算．2、理解并掌握等差、等比数列的性质及应用．3、理解并掌握数列的通项与求和．4、理解并掌握等差、等比数列的判定.5、理解与掌握数列与函数.学科素养目标在数学中，数列的内容涉及函数、极限、级数等，它实际上是联系初等数学与高等数学的桥梁．由于数列在日常生活中广泛的应用性，以及数列在今后进一步学习数学中的基础性，奠定了本章内容在数学教学中的重要地位．本章教材的设计，注意体现学生是学习的主体的思想．在给出大量的生活实例之后，给学生一定的思考和探索空间，促使教学方式和学习方式的改变．让学生通过观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、讨论和交流体验数学；在习题中设置了“探究·拓展”栏目，为学有余力的学生提供一些富有挑战性的问题，进一步激发学习兴趣，拓宽视野，提高数学素养；教材设置了旁白、思考、阅读、链接等内容，为学生主动探究数学知识的产生和发展提供了空间．本节重点难点重点：等差、等比数列的判定；难点：数列与函数．教学过程赏析思维结构简图基础知识积累1.数列的有关概念数列按照_____________排列的一列数称为数列项数列中的__________都叫作这个数列的项首项数列的第____项称为首项①一般形式：；②字母表示：上面数列通常记为．3．数列的分类类别含义按项数有穷数列项数________的数列无穷数列项数________的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都________它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都________它的前一项的数列常数列各项都________的数列摆动数列从第2项起，有些项________它的前一项，有些项________它的前一项的数列4．数列的通项公式一般地，如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式．5．数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，它们的关系如下表：定义域正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，})解析式数列的通项公式值域自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值构成表示方法(1)__________(解析法)；(2)________；(3)_______6.递推公式(1)概念：如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个________来表示，那么这个________叫作这个数列的递推公式．(2)作用：利用________通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项．7．数列的表示方法数列的表示方法有____________法、________法、________法、____________法，以数列2，4，6，8，10，12，…为例，表示如下：①通项公式法：an＝2n.②递推公式法：③列表法：n123…k…an246…2k…④图象法：8．数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系表示an与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式．9.等差数列的定义(1)条件：①从第_____项起．②每一项与它的__________的差都等于___________常数．(2)结论：这个数列是等差数列．(3)相关概念：这个常数叫作等差数列的________，常用______表示．10．等差中项(1)前提：三个数a，A，b成等差数列．(2)结论：_______叫作a与b的等差中项．(3)满足的关系式：2A＝_______．11．等差数列的通项公式递推公式通项公式____________＝d(n∈N*)an＝____________(n∈N*)12.等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数求和公式Sn＝_____________Sn＝_________________在等差数列{an}中，an＝a1＋(n－1)d，Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)或Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n项和．依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”．13．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系将等差数列前n项和公式Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d整理成关于n的函数可得Sn＝____n2＋________n.14.等比数列一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的__________的比都等于__________常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的________，公比通常用字母____表示．15．等比中项在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成____________，那么G叫作a与b的等比中项．16．等比数列的通项公式首项为a1，公比是q(q≠0)的等比数列的通项公式为_____________．17.等比数列的前n项和公式已知量首项、公比与项数首项、公比与末项求和公式Sn＝________________________Sn＝_______________________18．错位相减法(1)推导等比数列前n项和的方法叫________________．(2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列_______________的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法．【当堂巩固训练】题1．已知数列{an}满足:a1=1,an+1=则a6= ()A.16B.25C.28D.33题2.在等差数列{an}中,Sn为数列{an}的前n项和,a3+a16=9,S5=10,则数列的公差为 ()A.1 B.4 C.4 D.1题中,a1=2,点(,)在直线xy=0上,则数列的前n项和Sn等于 ()A.2n1 B.2n+12C. D.题中,a2,a14是方程x2+8x+6=0的根,则的值为 ()A.4+ B.C. D.或题5.音乐与数学有着密切的联系,我国春秋时期有个著名的“三分损益法”:以“宫”为基本音,“宫”经过一次“损”,频率变为原来的,得到“徵”;“徵”经过一次“益”,频率变为原来的,得到“商”…….依次损益交替变化,获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶.据此可推得 ()A.“宫、商、角”的频率成等比数列B.“宫、徵、商”的频率成等比数列C.“商、羽、角”的频率成等比数列D.“徵、商、羽”的频率成等比数列题的前n项和为Sn,a1+a4+a7=9,a2+a5+a8=18,则S9= ()A.27 B.36 C.63 D.72题的前n项和为Sn,且3Sn+1=4an,则使不等式++…+<1000成立的n的最大值为 ()A.7B.8C.9D.10题8.已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*).记数列{an}的前n项和为Sn,则 ()A.<S100<3 B.3<S100<4C.4<S100< D.<S100<5题9（多选题）.已知公差不为0的等差数列的前n项和为Sn,若a9=S17,下列说法正确的是 ()A.a8=0 B.a9=0C.a1=S16 D.S8>S10题10（多选题）.在数列中,若=p(n≥2,n∈N*,p为非零常数),则称为“等方差数列”,p称为“公方差”,下列对“等方差数列”的判断正确的是 ()A.是等方差数列B.若正项等方差数列的首项a1=1,且a1,a2,a5是等比数列,则=2n1C.等比数列不可能为等方差数列D.存在数列既是等方差数列,又是等差数列题11（多选题）.我国明代音乐理论家和数学家朱载堉在所著的《律学新说》一书中提出了“十二平均律”的音乐理论,该理论后被意大利传教士利玛窦带到西方,对西方的音乐产生了深远的影响.以钢琴为首的众多键盘乐器就是基于“十二平均律”的理论指导设计的.图中钢琴上的每12个琴键(7个白键5个黑键)构成一个“八度”,每个“八度”各音阶的音高都是前一个“八度”对应音阶的两倍,如图中所示的琴键的音高C5=2·C4(C4称为“中央C”).将每个“八度”(如C4与CA4键调为标准音440Hz时,下列选项中的哪些频率(单位:Hz)的音可以是此时的钢琴发出的音 ()(参考数据:≈1.414,≈1.260,≈1.189,≈1.149,≈1.122,≈1.059)A.110 B.233 C.505 D.1244题12（多选题）.已知单调递增数列的前n项和Sn满足2Sn=an,且Sn>0,记数列的前n项和为Tn,则使得Tn>2020成立的n的值有()A.7B.8C.10D.11题13（多选题）．已知等差数列的前项和为，公差为，若，则A． B． C． D．题14（多选题）．关于递增等比数列，下列说法正确的是A．当时， B．当时， C．当时， D．题15（多选题）．数列满足，，，定义函数是数列的特征函数，则下列说法正确的是A．当时，数列单调递增 B．当时， C．当时， D．当方程有唯一解时，存在，对任意，都有题16（多选题）．以下叙述不正确的是A．若等比数列单调递减，则其公比满足 B．等比数列满足，，则 C．等差数列满足，则 D．公差为负的等差数列满足，则当且仅当时其前项和取得最大值题17.已知是等差数列,a2=5,a5=14,设bn=(1)n+1an,数列的前n项和为Sn,则S2022=.题18.已知正项等比数列的前n项和为Sn,若a3=3,S3=39,则a7=.题19.数列{an}满足an+2+(1)nan=3n1,前16项和为540,则a1=.题20.某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸,对折1次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm两种规格的图形,它们的面积之和S1=240dm2,对折2次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm三种规格的图形,它们的面积之和S2=180dm2,以此类推,则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为;如果对折n次,那么Sk=dm2.题21.已知等差数列的前n项和为Sn,a1+a6=6,a4=2.(1)求数列的通项公式;(2)求Sn的最大值及相应的n的值.题22.已知数列的前n项和为Sn,且满足Sn=2ann,(1)求a1,a2,a3,并猜想数列的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的猜想.题23.已知函数f(x)=logkx(k为常数,k>0且k≠1).(1)在下列条件中选择哪个可以使数列成等比数列,说明理由;①数列是首项为2,公比为2的等比数列;②数列是首项为4,公差为2的等差数列;③数列是首项为2,公差为2的等差数列的前n项和构成的数列.(2)在(1)的条件下,当k=时,设anbn=,求数列的前n项和Tn.题24.设{an}是首项为1的等比数列,数列{bn}满足bn=.已知a1,3a2,9a3成等差数列.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和.证明:Tn<.题25.设数列的前n项和为Sn,对任意n∈N*都有Sn=3n2+an.(1)求数列的通项公式;(2)记bn=an+4(n∈N*),证明:++…+<(n∈N*)题26.已知数列的前n项和为Sn,且Sn=an+1+n2,n∈N*,a1=2.(1)证明:数列{an1}是等比数列,并求数列的通项公式;(2)设bn=(n∈N*)的前n项和为Tn,证明:Tn<6.编号：031课题:§4数列复习课教学课时安排1、上课时间：_________________．2、课时安排：_________________．3、上课班级___________________．学科目标要求1、理解并掌握等差数列与等比数列的基本运算．2、理解并掌握等差、等比数列的性质及应用．3、理解并掌握数列的通项与求和．4、理解并掌握等差、等比数列的判定.5、理解与掌握数列与函数.学科素养目标在数学中，数列的内容涉及函数、极限、级数等，它实际上是联系初等数学与高等数学的桥梁．由于数列在日常生活中广泛的应用性，以及数列在今后进一步学习数学中的基础性，奠定了本章内容在数学教学中的重要地位．本章教材的设计，注意体现学生是学习的主体的思想．在给出大量的生活实例之后，给学生一定的思考和探索空间，促使教学方式和学习方式的改变．让学生通过观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、讨论和交流体验数学；在习题中设置了“探究·拓展”栏目，为学有余力的学生提供一些富有挑战性的问题，进一步激发学习兴趣，拓宽视野，提高数学素养；教材设置了旁白、思考、阅读、链接等内容，为学生主动探究数学知识的产生和发展提供了空间．本节重点难点重点：等差、等比数列的判定；难点：数列与函数．教学过程赏析思维结构简图基础知识积累1.数列的有关概念数列按照一定次序排列的一列数称为数列项数列中的每个数都叫作这个数列的项首项数列的第1项称为首项①一般形式：；②字母表示：上面数列通常记为．3．数列的分类类别含义按项数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列4．数列的通项公式一般地，如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式．5．数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，它们的关系如下表：定义域正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，})解析式数列的通项公式值域自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值构成表示方法(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法6.递推公式(1)概念：如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的递推公式．(2)作用：利用递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项．7．数列的表示方法数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法，以数列2，4，6，8，10，12，…为例，表示如下：①通项公式法：an＝2n.②递推公式法：③列表法：n123…k…an246…2k…④图象法：8．数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系表示an与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式．9.等差数列的定义(1)条件：①从第2项起．②每一项与它的前一项的差都等于同一个常数．(2)结论：这个数列是等差数列．(3)相关概念：这个常数叫作等差数列的公差，常用d表示．10．等差中项(1)前提：三个数a，A，b成等差数列．(2)结论：A叫作a与b的等差中项．(3)满足的关系式：2A＝a＋b．11．等差数列的通项公式递推公式通项公式__an＋1－an＝d(n∈N*)an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)12.等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数求和公式Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d在等差数列{an}中，an＝a1＋(n－1)d，Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)或Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n项和．依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”．13．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系将等差数列前n项和公式Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d整理成关于n的函数可得Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.14.等比数列一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示．15．等比中项在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项．16．等比数列的通项公式首项为a1，公比是q(q≠0)的等比数列的通项公式为an＝a1qn－1．17.等比数列的前n项和公式已知量首项、公比与项数首项、公比与末项求和公式Sn＝Sn＝18．错位相减法(1)推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．(2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法．【当堂巩固训练】题1．已知数列{an}满足:a1=1,an+1=则a6= ()A.16B.25C.28D.33【解析】选C.因为a1=1,所以a2=a1+3=4,a3=2a2+1=9,a4=a3+3=12,a5=2a4+1=25,a6=a5+3=28.题2.在等差数列{an}中,Sn为数列{an}的前n项和,a3+a16=9,S5=10,则数列的公差为 ()A.1 B.4 C.4 D.1【解析】选A.设等差数列{an}的公差为d,因为a3+a16=9,S5=10,所以,解得.题中,a1=2,点(,)在直线xy=0上,则数列的前n项和Sn等于 ()A.2n1 B.2n+12C. D.【解析】选B.由题意,点(,)(n≥2)在直线xy=0上,得=0,可得an=2an1,所以=2(n≥2),又由a1=2,所以数列是以2为首项,以2的公比的等比数列,所以Sn==2n+12.题中,a2,a14是方程x2+8x+6=0的根,则的值为 ()A.4+ B.C. D.或【解析】选C.在等比数列中,a2,a14是方程x2+8x+6=0的根,Δ=6424=40>0.由根与系数的关系:a2+a14=8<0,a2a14=6,所以a2,a14同为负数,等比数列所有偶数项符号相同,所以a8<0,根据等比数列的性质:a2a14=a3a13==6,a8=,所以==.题5.音乐与数学有着密切的联系,我国春秋时期有个著名的“三分损益法”:以“宫”为基本音,“宫”经过一次“损”,频率变为原来的,得到“徵”;“徵”经过一次“益”,频率变为原来的,得到“商”…….依次损益交替变化,获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶.据此可推得 ()A.“宫、商、角”的频率成等比数列B.“宫、徵、商”的频率成等比数列C.“商、羽、角”的频率成等比数列D.“徵、商、羽”的频率成等比数列【解析】选A.设“宫”的频率为a,由题意经过一次“损”,可得“徵”的频率是a;“徵”经过一次“益”,可得“商”的频率是a,“商”经过一次“损”,可得“羽”的频率是a;最后“羽”经过一次“益”,可得“角”的频率是a,由于a,a,a成等比数列,所以“宫、商、角”的频率成等比数列.题的前n项和为Sn,a1+a4+a7=9,a2+a5+a8=18,则S9= ()A.27 B.36 C.63 D.72【解析】选C.设等比数列的公比为q,所以a2+a5+a8=(a1+a4+a7)q,所以q=2,又a3+a6+a9=(a2+a5+a8)q=36,所以S9=a1+a4+a7+a2+a5+a8+a3+a6+a9=9+18+36=63.题的前n项和为Sn,且3Sn+1=4an,则使不等式++…+<1000成立的n的最大值为 ()A.7B.8C.9D.10【解析】选C.因为3Sn+1=4an,所以Sn=an,当n=1时,a1=S1=a1,即a1=1,当n≥2时,an=SnSn1==anan1即an=4an1,所以数列是首项a1=1,公比qan=a1qn1=4n1即===2n1,所以++…+=20+21+…+2n1==2n1,若使不等式++…+<1000成立,则需2n1<1000即n≤9,所以n的最大值为9.题8.已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*).记数列{an}的前n项和为Sn,则 ()A.<S100<3 B.3<S100<4C.4<S100< D.<S100<5【解析】选A.因为数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),所以a2=,a3=1,0<an+1<an≤1.由an+1=,可得=+=,所以<,所以<+,即<.由累加法,得≤1+=,当且仅当n=1时,等号成立.所以≥,所以an+1=≤=an,所以≤,则····…··≤····…··,即≤,所以an≤=6,所以S100≤6=6×<6×=3,显然S100>a1=1>.综上所述,<S100<3.题9（多选题）.已知公差不为0的等差数列的前n项和为Sn,若a9=S17,下列说法正确的是 ()A.a8=0 B.a9=0C.a1=S16 D.S8>S10【解析】选BC.由题意可知,在等差数列中,因为a9=S17,所以a9===17a9,则a9=0,故选项B正确;因为公差d≠0,所以a8≠0,故选项A错误;因为a9=0,所以a1+8d=0,所以a1=8d,所以S16=16a1+d=16(a1+d)=16×()d=8d=a1,所以选项C正确;因为S10S8=a9+a10=a10=a1+9d=8d+9d=d,且d未知正负,所以选项D错误.题10（多选题）.在数列中,若=p(n≥2,n∈N*,p为非零常数),则称为“等方差数列”,p称为“公方差”,下列对“等方差数列”的判断正确的是 ()A.是等方差数列B.若正项等方差数列的首项a1=1,且a1,a2,a5是等比数列,则=2n1C.等比数列不可能为等方差数列D.存在数列既是等方差数列,又是等差数列【解析】选BC.设an=(1)n,则=11=0,p=0不满足p为非零常数,所以不是等方差数列,故A错误;由题意得=1+(n1)p,则a2=,a5=,即1+p=,解得p=2或p=0(舍去),当p=2时,=2n1满足题意,故B正确;设数列为等比数列,不妨设an=cqn,则an1=cqn1,所以=c2q2n2(q21),若c2q2n2(q21)为常数,则q=±1,但此时c2q2n2(q21)=0,不满足题意,故C正确;若数列既是等方差数列,又是等差数列,不妨设=p(n≥2,n∈N*,p为非零常数),anan1=d(d≠0),所以(an+an1)d=p,即an+an1=,所以2and=,即an=+,所以为常数列,这与anan1=d(d≠0),=p(p≠0)矛盾,故D错误.题11（多选题）.我国明代音乐理论家和数学家朱载堉在所著的《律学新说》一书中提出了“十二平均律”的音乐理论,该理论后被意大利传教士利玛窦带到西方,对西方的音乐产生了深远的影响.以钢琴为首的众多键盘乐器就是基于“十二平均律”的理论指导设计的.图中钢琴上的每12个琴键(7个白键5个黑键)构成一个“八度”,每个“八度”各音阶的音高都是前一个“八度”对应音阶的两倍,如图中所示的琴键的音高C5=2·C4(C4称为“中央C”).将每个“八度”(如C4与CA4键调为标准音440Hz时,下列选项中的哪些频率(单位:Hz)的音可以是此时的钢琴发出的音 ()(参考数据:≈1.414,≈1.260,≈1.189,≈1.149,≈1.122,≈1.059)A.110 B.233 C.505 D.1244【解析】选ABD.因为A4=440,=4=22,故110Hz是A4往左两个“八度”A2键的音,Aq,则=2=q12,所以q=.而A3=220,A4=440,A5=880,≈1.059==q,B正确;相近,且不等于qn(n∈N*),C不正确;≈1.414≈=q6,D正确.题12（多选题）.已知单调递增数列的前n项和Sn满足2Sn=an,且Sn>0,记数列的前n项和为Tn,则使得Tn>2020成立的n的值有()A.7B.8C.10D.11【解析】选BCD.由题意,2Sn=an,当n≥2时,2Sn1=an1,所以2an=2Sn2Sn1=anan1,整理得=0,因为数列单调递增且Sn>0,所以an+an1≠0,anan11=0,即an=an1+1,当n=1时,2S1=a1,所以a1=1,所以数列是以1为首项,公差为1的等差数列,所以an=n,所以Tn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n,2Tn=1·22+2·23+3·24+…+·2n+n·2n+1,所以Tn=2+22+23+24+…+2nn·2n+1=n·2n+1=·2n+12,所以Tn=·2n+1+2,所以T7=6×28+2=1538,T8=7×29+2=3586,所以Tn>2020成立的n的最小值为8.题13（多选题）．已知等差数列的前项和为，公差为，若，则A． B． C． D．【分析】根据等差数列前项和的定义与性质，对选项中的命题进行分析判断即可．【解答】解：等差数列中，因为，所以，，所以，选项正确；又因为，所以选项错误；因为，所以选项错误；因为，所以选项正确．故选：．【点评】本题考查了等差数列前项和的定义与性质应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．题14（多选题）．关于递增等比数列，下列说法正确的是A．当时， B．当时， C．当时， D．【分析】根据等比数列的单调性判断正误即可．【解答】解：设数列的公比为，则，数列是递增数列，，当时，，此时，当时，，此时，错误，正确，故选：．【点评】本题主要考查等比数列单调性的应用，属于基础题．题15（多选题）．数列满足，，，定义函数是数列的特征函数，则下列说法正确的是A．当时，数列单调递增 B．当时， C．当时， D．当方程有唯一解时，存在，对任意，都有【分析】由题意，利用不等式及函数的单调性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：由于数列满足，，，对于选项：当时，，故数列单调递减，故选项错误．对于选项：当时，，即成立，故数列是以2为公比，为首项的等比数列，，故选项正确．对于选项：当时，则，因为，则，，故，，根据数列迭代递推，不完全归纳猜想：成立，用数学归纳法证明如下：证明：（1）显然，当时，．（2）假设当，时，，则当时，，，，，．综上，，故选项正确；对于选项：取，易知为在处切线，此时，方程有唯一解，，则，再根据指数函数和一次函数增长速度的快慢可知，当趋于时，趋于，故选项错误，故选：．【点评】本题主要考查数列的函数特性，不等式及函数的单调性，属于中档题．题16（多选题）．以下叙述不正确的是A．若等比数列单调递减，则其公比满足 B．等比数列满足，，则 C．等差数列满足，则 D．公差为负的等差数列满足，则当且仅当时其前项和取得最大值【分析】由题意，利用等差数列、等比数列的定义和性质、通项公式，得出结论．【解答】解：等比数列单调递减，其公比，则满足，，或，，故错误；等比数列满足，，设公比为，则，，，故错误；等差数列满足，则，故正确；公差为负的等差数列满足，由于前6项为正数，分别为，，，，，，第7项为0，从第8项开始为负数，故当且仅当或7时，其前项和取得最大值，故错误，故选：．【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质、通项公式，属于基础题．题17.已知是等差数列,a2=5,a5=14,设bn=(1)n+1an,数列的前n项和为Sn,则S2022=.【解析】因为是等差数列,且a2=5,a5=14,所以3d=a5a2=9,解得d=3,所以an=a2+(n2)d=3n1,则bn=(1)n+1an=(1)n+1(3n1),所以S2022=b1+b2+…+b2022=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2021+b2022)=(3+3+…+3)=3×1011=3033.答案:3033题18.已知正项等比数列的前n项和为Sn,若a3=3,S3=39,则a7=.【解析】设的公比为q,则,解得q=或q=(舍去).所以a7=a3q4=3×=.答案:题19.数列{an}满足an+2+(1)nan=3n1,前16项和为540,则a1=.【解析】方法一:因为an+2+(1)nan=3n1,所以当n为偶数时,an+2+an=3n1,所以a4+a2=5,a8+a6=17,a12+a10=29,a16+a14=41,所以a2+a4+a6+a8+a10+a12+a14+a16=92.因为数列{an}的前16项和为540,所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=54092=448.①因为当n为奇数时,an+2an=3n1,所以a3a1=2,a7a5=14,a11a9=26,a15a13=38,所以(a3+a7+a11+a15)(a1+a5+a9+a13)=80.②由①②得a1+a5+a9+a13a3=a1+2,a5=a3+8=a1+10,a7=a5+14=a1+24,a9=a7+20=a1+44,a11=a9+26=a1+70,a13=a11+32=a1+102,所以a1+a1+10+a1+44+a1+102=184,所以a1=7.方法二:同方法一得a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=448.当n为奇数时,有an+2an=3n1,由累加法得an+2a1=3(1+3+5+…+n)=(1+n)·=n2+n+,所以an+2=n2+n++a1.所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=a1+(×12+1++a1)+（×32+3++a1）+（×52+5++a1）+（×72+7++a1）+（×92+9++a1）+（×112+11++a1）+(×132+13++a1)=8a1+392=448,解得a1=7.答案:7题20.某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸,对折1次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm两种规格的图形,它们的面积之和S1=240dm2,对折2次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm三种规格的图形,它们的面积之和S2=180dm2,以此类推,则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为;如果对折n次,那么Sk=dm2.【解析】对折3次有2.5×12,6×5,3×10,20×1.5共4种,面积和为S3=4×30=120dm2,对折4次有1.25×12,2.5×6,3×5,1.5×10,20×0.75共5种,面积和为S4=5×15=75dm2,对折n次有n+1种类型,Sn=(n+1),因此Sk=240·,Sk=240·,所以Sk=240·dm2.答案:5240·题21.已知等差数列的前n项和为Sn,a1+a6=6,a4=2.(1)求数列的通项公式;(2)求Sn的最大值及相应的n的值.【解析】(1)在等差数列中,因为a1+a6=6,a4=2,所以,解得,所以an=a1+(n1)d=102n;(2)因为a1=8,d=2,所以Sn=na1+d=8n+·(2)=n2+9n,所以当n=4或n=5时,Sn有最大值20.题22.已知数列的前n项和为Sn,且满足Sn=2ann,(1)求a1,a2,a3,并猜想数列的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的猜想.【解析】(1)因为Sn=2ann,当n=1时,a1=1,且Sn+1=2an+1n1,于是an+1=2an+1,从而可以得到a2=3,a3=7,猜想通项公式an=2n1;(2)下面用数学归纳法证明:an=2n1.①当n=1时,a1=1满足通项公式;②假设当n=k(k∈N*)时,命题成立,即ak=2k1,由(1)知ak+1=2ak+1=2+1,ak+1=2k+11,即当n=k+1时命题成立.由①②可证an=2n1成立.题23.已知函数f(x)=logkx(k为常数,k>0且k≠1).(1)在下列条件中选择哪个可以使数列成等比数列,说明理由;①数列是首项为2,公比为2的等比数列;②数列是首项为4,公差为2的等差数列