2024高考数学（理科）押题【全国卷】

2024高考数学（理科）押题【全国卷】【满分：150分】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集，集合，集合，则()A. B.C. D.2.若，则()A. B. C. D.3.已知函数，若的最小值为m，其中是函数的导函数，则曲线在处的切线方程是()A. B.C. D.4.设有下面四个命题：，；，；，；，.其中真命题为()A. B. C. D.5.已知是等差数列的前n项和，若，则()A.2 B.3 C.4 D.66.设向量a，b满足，，a与b的夹角为，则()A. B. C. D.37.已知函数图象的一个对称中心为，则为了得到函数的图象，只需将函数的图象()A.向左平移1个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移1个单位长度 D.向右平移个单位长度8.为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有()A.54种 B.240种 C.150种 D.60种9.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的表面积为()A. B.C. D.10.已知圆，为圆C的动弦，且满足，G为弦MN的中点，两动点P，Q在直线上，且，运动时，始终为锐角，则线段PQ中点的横坐标取值范围是()A. B.C. D.11.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与x轴交于，B两点，与y轴正半轴交于点A，线段与C交于点M.若与C的焦距的比值为，则C的离心率为()A. B. C. D.12.如图，已知菱形ABCD中，，，E为边BC的中点，将沿AE翻折成（点位于平面ABCD上方），连接和，F为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是()①平面平面②与的夹角为定值③三棱锥体积最大值为④点F的轨迹的长度为A.①② B.①②③ C.①②④ D.②③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.在抛掷一枚骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件发生的概率为__________.14.设x，y满足约束条件，则的最小值为________.15.已知函数是定义在R上的奇函数，若对任意给定的实数，，恒成立，则不等式的解集是___________.16.已知函数，数列是正项等比数列，且，则__________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）已知在锐角中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.（1）求C；（2）记面积为S，求的取值范围.18.（12分）如图，三棱锥中，，，E为BC的中点.（1）证明：；（2）点F满足，求二面角的正弦值.19.（12分）已知点F是抛物线的焦点，点在C上，且.（1）求C的方程；（2）过点F作两条互相垂直的直线，，交C于A，B两点，交C于M，N两点.求证：为定值.20.（12分）某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响.（1）当时，①若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；②甲答了4道题，记甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的概率分布和数学期望；（2）乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲、乙两人各答2道题，若甲答对题的个数比乙答对题的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值.21.（12分）已知函数，其中实数.（1）当时，求函数的单调性；（2）若函数有唯一零点，求实数a的值.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.（10分）[选修4 – 4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，已知直线，曲线C的参数方程为（为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线C和直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线C分别交于O，A两点，直线与曲线C分别交于O，B两点，求的面积.23.（10分）[选修4 – 5：不等式选讲]已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，若存在，使得成立，求的取值范围.

答案以及解析1.答案：D解析：因为，，所以，又因为全集，所以.故选D.2.答案：D解析：，所以，故选D.3.答案：B解析：由题得，的最小值.，，曲线在处的切线方程是，即.故选B.4.答案：C解析：，，所以命题为假命题；当时，，所以命题为假命题；当时，均为非负整数，所以命题为真命题；因为，所以命题为假命题.故选C.5.答案：B解析：由题意，，解得，设等差数列的公差为，则.故选B.6.答案：B解析：，①.又，②.由①②得，，.7.答案：A解析：因为函数图象的一个对称中心为，所以，，所以，，又，所以，所以.因为，所以为了得到的图象，只需将函数的图象向左平移1个单位长度.8.答案：C解析：根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选A，B，C三门德育校本课程，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况：①三组人数为1、1、3，此时有种方法；②三组人数为2、2、1，此时有种方法.所以不同的报名方法有种.9.答案：D解析：由多面体的三视图得到多面体的直观图如图所示：它可以看成由直三棱柱与四棱锥组合而成.其中三角形的底，高为，所以其面积为；梯形与梯形全等，上底，下底，高为，所以其面积为；三角形ABC的底，高为3，所以其面积为；底面为矩形，，，其面积为.所以该多面体的表面积.故选D.10.答案：A解析：由题意，圆，可得圆心坐标为，半径为，因为，G为弦MN的中点，可得，又由两动点P，Q在直线上，且，设PQ的中点，当M，N在圆C上运动时，且恒为锐角，可得以C为圆心，以2为半径的圆与以E为圆心，以2为半径的圆相外离，则，即，解得或，所以线段PQ中点的横坐标取值范围是.故选A.11.答案：D解析：设双曲线的半焦距为c，因为以为圆心的圆过，故该圆的半径为2c，故其方程为，令，则，结合A在y轴正半轴上，得，令，则或，故.故，故直线.设，由题意知，故，整理得，故，故，所以，故，解得或，又因为，则，则，.故选D.12.答案：C解析：对于①：由，，E为边BC的中点知且，易知，，而，EC，面，故面，又面，所以面面，故①正确；对于②：若是的中点，又F为的中点，则且，而且，所以且，即为平行四边形，故，所以与的夹角为或其补角，若G为AB中点，即，由①分析易知，故与CF的夹角为，故②正确；对于③：由上分析知：翻折过程中当面ABCD时，最大，此时，故③错误；对于④：由②分析知：且，故F的轨迹与G到的轨迹相同，由①知：B到的轨迹为以E为圆心，为半径的半圆，而G为AB中点，故G到的轨迹为以AE中点为圆心，为半径的半圆，所以F的轨迹长度为，故④正确.故选C.13.答案：解析：随机抛掷一枚骰子共有6种不同的结果，其中事件A“不大于4的偶数点出现”包括出现2，4两种结果，，事件B“小于5的点数出现”的对立事件为，，，且事件A和事件是互斥件，.故答案为.14.答案：2解析：由约束条件作出可行域，如图阴影部分，结合图可知，平移直线，当平移到经过点A时，直线在y轴上的截距最小，即取得最小值，联立，得，即，将的坐标代入直线，即得的最小值为2，故答案为：215.答案：解析：因为函数对任意给定的实数，，恒成立，即恒成立，所以函数在R上为减函数.又函数是R上的奇函数，所以，则由不等式，得或即或解得.所以原不等式的解集为.16.答案：解析：因为函数，所以当时，.因为数列是正项等比数列，且，所以，所以1，同理可得，令，则，所以，故.17.答案：（1）60°（2）解析：（1），由正弦定理得，，又，，，，；（2），其中，，锐角，，从而得；综上，，.18.答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明：连接AE，DE，，E为BC的中点，.又，，与均为等边三角形，，.又，平面，平面，平面，又平面，.（2）设，则，，，.又，，平面，平面，平面.以E为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，.设平面的一个法向量为，则即令，则.设平面的一个法向量为，则即令，则.设二面角的平面角为，则.又，，二面角的正弦值为.19.答案：（1）；（2）证明见解析.解析：（1）抛物线C的准线方程为，依题意，，解得或，而，则，所以抛物线C的方程为.（2）由（1）知，直线，的斜率均存在，不妨设直线的方程为，，，由消去y得，显然，则，，因此，由，得直线的斜率为，同理得，所以.20.答案：（1）见解析（2）解析：（1）①记事件A为“甲答对了某道题”，事件B为“甲自己答对了某道题”，则，，所以.②随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，由①知，则，所以，则随机变量X的概率分布为X01234P故.（2）记事件为“甲答对了i道题”，事件为“乙答对了i道题”，，1，2，其中甲答对某道题的概率为，答错某道题的概率为，则，，，，所以甲答对题的个数比乙答对题的个数多的概率，所以，即甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值为.21.答案：（1）在上单调递减，在上单调递增（2）解析：（1），，.令，，在上单调递增，即在上单调递增.，令，则，令，则，在上单调递减，在上单调递增.（2），，令，则，在上单调递增，即在上单调递增.设，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，，，即，，又，存在唯一的，使得，即①.当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，.又函数有唯一的零点，，