湘教版七年级数学下册基础知识专项讲练 专题2.9 多项式的乘法（知识讲解）

专题2.9多项式的乘法（知识讲解）【知识回顾】单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即.【学习目标】1.会进行多项式与多项式的乘法计算．2.掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算.【要点梳理】多项式乘法运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.【典型例题】类型一、多项式相乘的运算1、计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案与解析】解：（1）．（2）．（3）．（4）．【总结升华】多项式乘以多项式时须把一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，刚开始时要严格按法则写出全部过程，以熟悉解题步骤，计算时要注意的是：（1）每一项的符号不能弄错；（2）不能漏乘任何一项．类型二、多项式相乘的应用2、若（x+a）（x+2）=x2﹣5x+b，则a+b的值是多少？【思路点拨】根据多项式与多项式相乘的法则把等式的左边展开，根据题意列出算式，求出a、b的值，计算即可．【答案与解析】解：（x+a）（x+2）=x2+（a+2）x+2a，则a+2=﹣5，2a=b，解得，a=﹣7，b=﹣14，则a+b=﹣21．【总结升华】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．举一反三：【变式】求出使成立的非负整数解．【答案】不等式两边分别相乘后，再移项、合并、求解．解：，，，，．∴取非负整数为0，1，2，3．类型三、多项式相乘的规律题3．探索题．（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1……观察以上等式，发现规律，利用所得规律，解决下列问题：（1）直接写出（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝．（2）直接写出（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+……x2+x+1）＝．（3）直接写出26+25+24+23+22+2+1的值．【答案】（1）x6﹣1；（2）xn+1﹣1；（3）63．【解析】（1）仿照阅读材料中的等式写出第5个等式即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）利用得出的规律化简，计算即可求出值．解：（1）（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1；故答案为：x6﹣1；（2）（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1；故答案为：xn+1﹣1；（3）原式＝（2﹣1）（26+25+24+23+22+2+1）＝26﹣1＝63，故答案为：63【点拨】本题主要考查了整式乘法，是整式乘法的规律探究题，找准等式的一般性规律是解题的关键.举一反三：【变式】．仔细观察，探索规律：（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4．（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝①（其中n为正整数，且n≥2）．②（2﹣1）（2+1）＝；③（2﹣1）（22+2+1）＝；④（2﹣1）（23+22+2+1）＝；⑤（2n﹣1+2n﹣2+…+2+1）＝；（2）根据上述规律，求22019+22018+22017+…+2+1的个位数字是多少？（3）根据上述规律，求29﹣28+27﹣…+23﹣22+2的值？【答案】（1）①an﹣bn②22﹣1；③23﹣1；④24﹣1；⑤2n﹣1；（2）5；（3）342解：（1）①由上式的规律可得，an﹣bn，故答案为：an﹣bn；由题干中提供的等式的规律可得，②（2+1）（2﹣1）＝22﹣1；③（2﹣1）（22+2+1）＝23﹣1；④（2﹣1）（23+22+2+1）＝24﹣1；⑤（2n﹣1+2n﹣2+…+2+1）＝（2﹣1）（2n﹣1+2n﹣2+…+2+1）＝2n﹣1；（2）22019+22018+22017+…+2+1＝（2﹣1）（22019+22018+22017+…+2+1）＝22020﹣1，又∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……∴22020的个位数字为6，∴22020﹣1的个位数字为6﹣1＝5，答：22019+22018+22017+…+2+1的个位数字是5．（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2＝28（2﹣1）+26（2﹣1）+24（2﹣1）+22（2﹣1）+2＝28+26+24+22+2＝256+64+16+4+2＝342．【点拨】本题考查多项式乘以多项式、平方差公式、数字的变化规律等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．类型四、多项式相乘的参数问题4．已知的展开式中不含和项．（1）分别求的值．（2）计算．【答案】；.【分析】（1）把展开，令含有和项的系数为0可得二元一次方程组，解得即可；（2）利用积的乘方运算法则，平方差公式化简式子，然后把m、n的值代入即可解得．解：原式，，，因为展开式不含和项，，解得，故答案为：；原式，，，将代入得：原式，，故答案为：．【点拨】本题考查了多项式的化简求值，多项式中不含某一项求字母的值，平方差公式，积的乘方运算法则，熟练掌握多项式的化简求值是解题的关键．举一反三：【变式】已知的结果中不含关于字母的一次项．先化简，再求：的值．【答案】9解：∵（x+a）（x-2）=x2-2x+ax-2a=x2+（a-2）x-2a不含关于x的一次项，∴a−2=0，即a=2，∴（a+1）2+（2-a）（2+a）=a2+2a+1+4-a2=2a+5=2×2+5=9故答案为：9．【点拨】本题考查了多项式乘以多项式，根据不含关于字母x的一次项，推出一次项系数为0，求出a的值是解题关键．类型五、多项式相乘的面积问题5．准备若干张如图一所示边长为､的正方形和边长分别为､的长方形卡片，用这些卡片拼出新的图形，用不同的方法计算它的面积，可以得到一些等式．请解答下列问题：（1）由图二，可得等式______．（2）圆圆同学用x张边长为a的正方形､y张边长为b的正方形和z张边长分别为a､b的长方形纸片，拼出一个面积为长方形，求的值．（3）已知这两个边长为a､b的正方形面积和为60，边长为a､b的长方形面积为20．点点同学将这两个正方形拼成图三形状，B､C､G三点在同一直线上，连接和．求阴影部分的面积．【答案】（1）；（2）32；（3）20．【分析】（1）根据大长方形的面积等于三个正方形的面积与三个长方形的面积之和即可得；（2）先根据所有卡片的面积之和等于建立等式，再根据整式的乘法可得x、y、z的值，然后代入求值即可得；（3）先根据正方形和长方形的面积公式可得，再根据即可得．解：（1）由图可知，大长方形的面积等于三个正方形的面积与三个长方形的面积之和，则，故答案为：；（2）由题意得：，，∴，则；（3）由题意得：，则，，，，，，即阴影部分的面积为20．【点拨】本题考查了整式的乘法与图形面积，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．举一反三：【变式】如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形长为2a+b，宽为a+b，正方形边长为a．（1）请你用含有a，b的式子表示阴影部分的面积；（2）当a＝6，b＝2时，求阴影部分的