广东省东莞市第七高级中学高三数学理月考试题含解析

广东省东莞市第七高级中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.平面向量与的夹角为60°，则=（

）A．

B．

C．4

D．12参考答案：B2.函数y=2sin（2x﹣）+1的最大值为（） A．﹣1 B． 1 C． 2 D． 3参考答案：考点： 三角函数的最值．专题： 函数的性质及应用．分析： 直接利用正弦函数的值域，求解函数的最大值即可．解答： 解：函数y=sinx∈[﹣1，1]，∴函数y=2sin（2x﹣）∈[﹣2，2]．∴函数y=2sin（2x﹣）+1∈[﹣1，3]．函数y=2sin（2x﹣）+1的最大值为3．故选：D．点评： 本题考查三角函数的最值的求法，基本知识的考查．3.已知复数,则复数在复平面内对应的点在（

）A．第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D第四象限参考答案：A4.已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】7C：简单线性规划；7D：简单线性规划的应用；9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，由向量的坐标运算公式可得=（3m+n，m﹣3n），再由向量模的计算公式可得=，可以令t=，将m+n∈[1，2]的关系在直角坐标系表示出来，分析可得t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，进而可得t的取值范围，又由=t，分析可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，=（3m+n，m﹣3n），则==，令t=，则=t，而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐标系表示如图，t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，分析可得：≤t＜2，又由=t，故≤＜2；故选：B．【点评】本题考查简单线性规划问题，涉及向量的模的计算，关键是求出的表达式．5.设复数的共轭复数）是纯虚数的一个充分不必要条件是参考答案：C略6.当时，则下列大小关系正确的是

（

） A.

B.

C.D.参考答案：C略7.如右图，两点都在河的对岸(不可到达)，为了测量两点间的距离，选取一条基线，A、B、C、D在一平面内。测得：，则A． B． C． D．数据不够，无法计算参考答案：A8.在等差数列中，若，，那么等于（

）A．4 B．5 C．9 D．18参考答案：B因为，所以，所以，因为，所以，所以公差，所以．故选B．9.已知f（x）＝asin2x＋bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≤｜f（）｜对一切x∈R恒成立，且f（）＞0，则f（x）的单调递增区间是（

）A．[kπ－，kπ＋]（k∈Z）

B．[kπ＋，kπ＋]（k∈Z）C．[kπ，kπ＋]（k∈Z）

D．[kπ－，kπ]（k∈Z）参考答案：B10.过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为坐标原点，若=（+），则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题设知|EF|=b，|PF|=2b，|PF'|=2a，再由抛物线的定义和方程，解得P的坐标，进而得到c2﹣ac﹣a2=0，再由离心率公式，计算即可得到．【解答】解：∵|OF|=c，|OE|=a，OE⊥EF，∴|EF|==b，∵=（+），∴E为PF的中点，|OP|=|OF|=c，|PF|=2b，设F'（c，0）为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点，则EO为三角形PFF'的中位线，则|PF'|=2|OE|=2a，可令P的坐标为（m，n），则有n2=4cm，由抛物线的定义可得|PF'|=m+c=2a，m=2a﹣c，n2=4c（2a﹣c），又|OP|=c，即有c2=（2a﹣c）2+4c（2a﹣c），化简可得，c2﹣ac﹣a2=0，由于e=，则有e2﹣e﹣1=0，由于e＞1，解得，e=．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为

.

参考答案：略12.若等比数列{an}的公比为2，且a3﹣a1=6，则++…+=

．参考答案：1﹣【考点】数列的求和．【分析】等比数列{an}的公比为2，且a3﹣a1=6，可得a1（22﹣1）=6，解得a1．可得an=2n．再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：等比数列{an}的公比为2，且a3﹣a1=6，∴a1（22﹣1）=6，解得a1=2．∴an=2n．则++…+=+…+==1﹣．故答案为：1﹣．13.已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（k，）．若与共线，则k=

．参考答案：1【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量的坐标运算求出的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出k的值．【解答】解：∵与共线，∴解得k=1．故答案为1．14.在△中，角所对的边分别为，且，则_______；若,则__________．参考答案：15.给出下列命题：①若函数的一个对称中心是，则的值为；②函数在区间上单调递减；③已知函数，若对任意恒成立，则；④函数的最小正周期为．其中正确结论的序号是

．参考答案：①③16.已知,且满足，则__________。参考答案：由，所以,(kz)。17.数列是等差数列，，其中，则此数列的前项和_______。参考答案：或略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，它在处的切线方程为.（1）求a、b的值；（2）求函数f(x)在上的最小值；（3）若斜率为k的直线与曲线交于，，两点，求证.参考答案：(1)，(2)(3)证明见解析【分析】(1)由题得到关于，的方程组，解方程即得解；（2）对t分三种情况讨论，利用导数求函数在上的最小值；（3）先求出，再令，设，利用导数证明，再令，设，再证明,即证.【详解】（1），∵，∴，即，∵，∴，即.（2）∵，令，∴，①时，在单调递增，，②时，即时，在单调递减，单调递增，.③时，∵，∴舍去.综上.（3）∵，，∴，，∵，∴，令，设，，∵，∴，即在单调递减，∵，∴，∵，∴，即，，令，设，，∵，∴，即在单调递增，∵，∴，∵，∴，即，综上，即.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调性和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.设奇函数，且对任意的实数当时，都有

（1）若，试比较的大小；（2）若存在实数使得不等式成立，试求实数的取值范围。

参考答案：（1）由已知得，又，，即6分（2）为奇函数，等价于8分又由（1）知单调递增，不等式等价于即10分存在实数使得不等式成立，12分的取值范围为15分略20.已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.（1）求椭圆C的方程;（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.参考答案：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意————2分，————4分

所求椭圆方程为．————5分（Ⅱ）设，．（1）当轴时，．————6分（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为．由已知，得．————7分把代入椭圆方程，整理得，——8分，．————9分．当且仅当，即时等号成立．————11分当时，，综上所述．————12分当最大时，面积取最大值．——14分21.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解关于x的不等式；（2）若，求实数a的取值范围.参考答案：解：（1）可化为，所以，所以，所以所求不等式的解集为.（2