山东省青岛市经济技术开发区第十四中学高三数学文模拟试题含解析

山东省青岛市经济技术开发区第十四中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量＝（1，2），＝（2，0），＝（1，－2），若向量λ＋与共线，则实数λ的值为

A．－2

B．－

C．－1

D．－参考答案：C略2.若抛物线的焦点是,准线是,点是抛物线上一点,则经过点、且与相切的圆共（A）个

（B）个

（C）个

（D）个参考答案：D3.已知cos（π﹣α）=﹣，则cos2α=（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：D4.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为4π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则()A．f(x)在区间[－π，0]上是减函数

B．f(x)在区间[－2π，－π]上是减函数C．f(x)在区间[2π，3π]上是增函数

D．f(x)在区间[3π，4π]上是增函数参考答案：D5.设复数，，则复数在复平面内对应的点位于（

）

A.第一象限

B.

第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：C6.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2的取值范围是（）A.

B.

C.(1,16)

D.参考答案：B7.已知函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)……(x－100)，则＝(

)

A．－99！ B．－100！ C．－98！ D．0

参考答案：A略8.若幂函数的图象过点，则函数的最大值为（

）A. B. C. D.－1参考答案：C【分析】先将点代入，求得幂函数解析，再换元，转化为二次函数求最值即可【详解】设幂函数，图象过点，故故，，令，则，，∴时，.故选C【点睛】本题考查幂函数的解析式，考查二次函数求值，是基础题，注意换元时新元的范围9.定义运算，则函数的图像是参考答案：D10.已知的矩形ABCD，沿对角形BD将折起得到三棱锥C—ABD，且三棱锥的体积为则异面直线BC与AD所成角的余弦值为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.阅读如图所示的程序框图，输出的结果的值为

参考答案：

12.己知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，其前n项和为Sn，若直线y=a1x与圆（x﹣2）2+y2=4的两个交点关于直线x+y+d=0对称，则Sn=．参考答案：2n﹣n2【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由直线和圆的知识易得a1和d，再由等差数列的求和公式可得．【解答】解：∵直线y=a1x与圆（x﹣2）2+y2=4的两个交点关于直线x+y+d=0对称，∴直线x+y+d=0过圆（x﹣2）2+y2=4的圆心（2，0），∴2+d=0，解得d=﹣2；又直线x+y+d=0的斜率是﹣1，∴a1=1，∴Sn=na1+d=2n﹣n2，故答案为：2n﹣n2【点评】本题考查等差数列的求和公式，涉及直线和圆的位置关系，属基础题．13.向量，向量．若，则实数k=______．参考答案：－3【分析】由向量垂直的坐标表示求解即可【详解】，，则，得故答案为【点睛】本题考查向量的坐标运算，垂直的坐标表示，熟记公式准确计算是关键，是基础题14.过原点作曲线的切线，则切线方程为

．

参考答案：略15.如图：已知，，在边上，且，，，（为锐角），则的面积为_________．参考答案：在中，由余弦定理可得，得，在中，由正弦定理，解得，所以，在中，，由正弦定理可得，解得，所以的面积为．16.已知满足：，若的最大值为2，则

．参考答案：

略17.已知=

.参考答案：因为，令得，由两式相减得，即，所以是首项为公比为的等比数列，因为，，所以．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数.（1）若存在，使得，求实数m的取值范围；（2）若m是（1）中的最大值，且正数a，b满足，证明：.参考答案：(1).(2)见解析.【分析】(1)先求出f(x)的最小值为3，再解不等式得解；（2）利用基本不等式证明2a+2b,又因为a+b=1,不等式即得证.【详解】（1）∵，∵存在，使得，∴，∴.（2）由（1）知：的最大值为1，∴，∴，∴.当且仅当时取“=”.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，考查不等式的存在性问题，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.（本小题满分12分）已知函数．（1）若为函数的一个极值点，试确定实数的值，并求此时函数的极值；（2）求函数的单调区间．参考答案：解：（1）∵f（x）=2x3－3ax2+1，∴=6x2－6ax．依题意得=6－6a=0，解得a=1．

所以f（x）=2x3－3x2+1，=6x（x－1）．令=0，解得x=0或x=1．列表如下：x（-∞，0）0（0，1）1（1，+∞）f′（x）+0－0＋f（x）↗极大值↘极小值↗所以当x=0时，函数f（x）取得极大值f（0）=1；当x=1时，函数f（x）取得极小值f（1）=0．（2）∵=6x2－6ax=6x（x－a），∴①当a=0时，=6x2≥0，函数f（x）在（－￥，+￥）上单调递增；

②当a>0时，=6x（x－a），、f（x）随x的变化情况如下表：x（-∞，0）0（0，a）a（a，+∞）f′（x）+0－0＋f（x）↗极大值↘极小值↗

由上表可知，函数f（x）在（－￥，0）上单调递增，在（0，a）上单调递减，在（a，+￥）上单调递增；

③同理可得，当a<0时，函数f（x）在（－￥，a）上单调递增，在（a，0）上单调递减，在（0，+￥）上单调递增．

综上所述，当a=0时，函数f（x）的单调递增区间是（－￥，+￥）；

当a>0时，函数f（x）的单调递增区间是（－￥，0）和（a，+￥），单调递减区间是（0，a）；

当a<0时，函数f（x）的单调递增区间是（－￥，a）和（0，+￥），单调递减区间是（a，0）．20.已知椭圆C：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C上，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、P两点，与x轴、y轴分别相交于点N和M，且PM=MN，点Q是点P关于x轴的对称点，QM的延长线交椭圆于点B，过点A、B分别作x轴的垂涎，垂足分别为A1、B1（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，使得点N平分线段A1B1？若存在，求求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C上，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）假设存在这样的直线l：y=kx+m，则直线QM的方程为y=﹣3kx+m，由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，由，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件，能求出直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆C：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C上，∴由题意得，解得a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为．（2）假设存在这样的直线l：y=kx+m，∴M（0，m），N（﹣，0），∵PM=MN，∴P（，2m），Q（），∴直线QM的方程为y=﹣3kx+m，设A（x1，y1），由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，∴，∴，设B（x2，y2），由，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，∴x2+=，∴x2=﹣，∵点N平分线段A1B1，∴，∴﹣=﹣，∴k=，∴P（±2m，2m），∴，解得m=，∵|m|=＜b=，∴△＞0，符合题意，∴直线l的方程为y=．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的探究与求法，考查推理谁论证能力、数据处理能力、运算求解能力，考查转化思想、化归思想，是中档题．21.（本小题满分12分）

已知函数．（1）若函数在（，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，求实数a的值；（2）是否存在正整数a，使得在（，）上既不是单调递增函数也不是单调递减函数？若存在，试求出a的值，若不存在，请说明理由．参考答案：解（1）∵在（，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，∴f′（x）＝3x2＋2ax－2，

……………2分f′（1）＝0，∴a＝－．………………6分（2）令f′（x）＝3x2＋2ax－2＝0．15分∵a是正整数，∴a＝2．…………………16分22.（本小题共12分）已知椭圆的右焦点为F（2，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且是等腰直角三角形．（I）求椭圆的方程；（II）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为证明：直线AB过定点．参考答