条件概率高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

条件概率与全概率公式

（第一课时）条件概率年级：高二学科：数学（人教A版）条件概率1问题导学

在必修“概率”一章的学习中，我们遇到过求同一实验中两个事件A与B同时发生（积事件AB）的概率的问题，当事件A与B相互独立时,有P(AB)=P(A)P(B).

如果事件A与B不独立，如何表示积事件AB的概率呢？下面我们从具体问题入手.条件概率2新知探究

问题1.某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表所示，在班级里随机选一人做代表，（1）选到男生的概率是多大？（2）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多大？条件概率团员非团员合计男生16925女生14620合计3015452新知探究

条件概率

2新知探究

问题2.假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，随机选一个家庭，那么（1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？（2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？条件概率2新知探究

条件概率

2新知探究

条件概率2新知探究

条件概率2新知探究问题1.如何判断条件概率?题目中出现“在已知……前提下(或条件下)”“在A发生的条件下”等关键词,表明这个前提已成立或条件已发生,此时通常涉及条件概率.问题2.P(B|A)与P(A|B)的区别是什么?P(B|A)表示在事件A发生的条件下,B发生的概率.P(A|B)表示在事件B发生的条件下,A发生的概率.

条件概率2新知探究条件概率与事件独立性的关系探究1：一般地，P（B|A）与P（B）不一定相等。若P（B|A）与P（B）相等，那么事件A与B应满足什么条件？

条件概率当事件A与B相互独立时，事件A发生与否不影响事件B发生的概率，这等价于P（B|A）=P（B）成立.事实上，若事件A与B相互独立，即P（AB）=P（A）P（B），且P（A）>0，则P(B│A)=(P(AB))/P(A)=P（A）P（B）/P(A)=P（B）；反之，若P(B│A)=P（B），且P（A）>0，则P（B）=P（AB）/P(A)⇒P（AB）=P（A）P（B）

2新知探究条件概率与事件独立性的关系探究2：对于任意两个事件A与B，如果已知P（A）与P（B|A），如何计算P（AB）呢？由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则P（AB）=P（A）P（B|A）.我们称上式为概率的乘法公式（multiplicationformula）.条件概率2新知探究条件概率的性质条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设P（A）>0，则（1）P（Ω|A）=1；（2）如果B和C是两个互斥事件，则P（BUC|A）=P（B|A）+P（C|A）；（3）设B和C互为对立事件，则P（C|A）=1-P（B|A）.条件概率3典例解析例1.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求:(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；(2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.条件概率3典例解析解法1：条件概率设A=“第1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何题”。（1）“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB.从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，试验的样本空间Ω包含20个等可能的样本点，即n(Ω)=5×4=20。因为n(AB)=3×2=6，P（AB）=(n(AB))/(n("Ω"))=6/20=3/10.（2）“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率。显然P（A）=3/5.利用条件概率公式，得P（B|A）=(n(AB))/(n(A))=(3/10)/(3/5)=1/2.3典例解析解法2：在缩小的样本空间A上求P（B|A）.已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道.因此，事件A发生的条件下，事件B发生的概率为P(B|A)=1/2.又P(A)=3/5，可得P(AB)=P(A)P(B|A)=3/5×1/2=3/10条件概率从例1可知，求条件概率有两种方法：方法一：基于样本空间Ω，先计算P（A）和P（AB），再利用条件概率公式求P（B|A）；方法二：根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后，样本空间缩小为A，求P（B|A）就是以A为样本空间计算AB的概率。3典例解析例2：已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？条件概率

3典例解析例3:银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了码的最后1位数字.求：（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果记得密码的