江西省宜春市高级中学高三数学文期末试题含解析

江西省宜春市高级中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，，则使的x的值是(

) A．2n（n∈Z） B．2n﹣1（n∈Z） C．4n+1（n∈Z） D．4n﹣1（n∈Z）参考答案：D考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据f（x）是奇函数且f（x+2）=﹣f（x）求出函数的周期，以及﹣1≤x≤0时的解析式，然后求出在[﹣1，1]上满足方程f（x）=﹣的解，最后根据周期性即可选得答案．解答： 解：∵f（x）是奇函数且f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）∴函数f（x）的周期T=4．∵当0≤x≤1时，f（x）=x，又f（x）是奇函数，∴当﹣1≤x≤0时，f（x）=x，令x=﹣解得：x=﹣1而函数f（x）是以4为周期的周期函数，∴方程f（x）=﹣的x的值是：x=4k﹣1，k∈Z．故选D．点评：本题主要考查函数的奇偶性和递推关系，利用函数的奇偶性和周期性结合来转化是关键，属于中档题．2.如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为A．

B．

C．

D．参考答案：A略3.已知是椭圆的两个焦点，p是椭圆上的任意一点，则的最大值是（

）A.、9

B.16

C.25

D.参考答案：C4.若函数的定义域均为R，则

（

）

A．均为偶函数

B．为偶函数，为奇函数

C．均为奇函数

D．为偶函数，为偶函数参考答案：A略5.若椭圆的离心率，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C6.若α，β为锐角，且满足cosα=，cos（α+β）=，则sinβ的值为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、sin（α+β）的值，再利用两角和差的正弦公式求得sinβ=sin的值．【解答】解：α，β为锐角，且满足cosα=，∴sinα==，sin（α+β）==，则sinβ=sin=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣×=，故选：C．7.右上图所示为一个判断直线与圆的位置关系的程序框图的一部分，在？处应该填上

.参考答案：略8.已知，若，则=(

)

A.1

B.-2

C.-2或4

D.4参考答案：D略9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则角C=（

）A． B． C． D．参考答案：D∵，∴由正弦定理可得：，又∵，∴可得：，可得：，∵，∴，可得：，又∵，，∴由正弦定理可得，∵，为锐角，∴．故选D．10.已知数列{an}中，a3=，a7=，且{}是等差数列，则a5=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】等差数列的通项公式．

【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】设等差数列{}的公差为d，则=+4d，解出d，即可得出．【解答】解：设等差数列{}的公差为d，则=+4d，∴=+4d，解得d=2．∴=+2d=10，解得a5=．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知样本的平均数是，标准差是，则

.参考答案：96略12.在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是

参考答案：解析：由题知四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，所以，故，。13.下面四个命题：①命题“?x＞0，x2﹣3x+2＜0”的否定是“?x＞0，x2﹣3x+2≥0”；②要得到函数y=sin（2x+）的图象，只要将y=sin2x的图象向左平移个单位；③若定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），则f（x）是周期函数；④已知奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（﹣1）=0，则不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1}．其中正确的是

．（填写序号）参考答案：①③14.已知函数，给出下列四个结论：

①若，则；

②的最小正周期是；

③在区间上是增函数；

④的图象关于直线对称．

其中正确的结论是

.参考答案：③④15.．设向量，且，则=

．参考答案：因为，所以，即，，所以。16.若非零向量，满足：2=（5﹣4）?，则cos＜，＞的最小值为．参考答案：由题意可得?=（2+42），由向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方，运用基本不等式和向量的夹角公式，即可得到所求最小值．解：非零向量，满足：2=（5﹣4）?，可得?=（2+42）=（||2+4||2）≥?2=||?||，即有cos＜，＞=≥?=，当且仅当||=2||，取得最小值．故答案为：．17.给出下列四个命题:①集合A={－1，0，1}，B={}，则AB={1}②若函数,,使;③在△ABC中，若A>B，则sinA>sinB;④在数列中，,为非零常数．，且前项和为，则实数=-1;⑤已知向量,，,，,;⑥集合,若则的图象关于原点对称.其中所有正确命题的序号是

.参考答案：①③④

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中，圆C的方程为．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数）,l与C交于A，B两点，，求l的斜率．参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.试题分析：（Ⅰ）利用，化简即可求解；（Ⅱ）先将直线化成极坐标方程，将的极坐标方程代入的极坐标方程得，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解.试题解析：（Ⅰ）化圆的一般方程可化为.由，可得圆的极坐标方程.（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.设，所对应的极径分别为，，将的极坐标方程代入的极坐标方程得.于是，..由得，.所以的斜率为或.

19.如图，已知六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1的侧棱垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，M，N分别是棱AB，AA1上的点，且AM=AN=1．（1）证明：M，N，E1，D四点共面；（2）求直线BC与平面MNE1D所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；平面的基本性质及推论．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）正面四点共面的方法主要采用线线平行来得到．（2）首先建立空间直角坐标系，进一步利用法向量知识利用向量的夹角余弦公式求出结果．【解答】（1）证明：连接A1B，D1B1，BD，A1E1，在四边形A1B1D1E1中，A1E1=B1D1，且，A1E1∥B1D1，在四边形BB1D1D中，BD∥B1D1，且BD=B1D1，所以：A1E1∥BD，且A1E1=BD，则四边形A1BDE1是平行四边形．所以A1B∥E1D．在△ABA1中，AM=AN=1，AB=AA1=3，所以：则：MN∥BA1，且：MN∥DE1，所以：M，N，E1，D四点共面；（2）解：以点E坐标原点，EA，ED，EE1线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系，则B（），C（），D（0，3，0），E1（0，0，3），M（3，1，0）．，，，设平面MNE1D的法向量为：，则：，即：，解得：，设直线BC与平面MNE1D所成的角为θ，则sinθ==故直线BC与平面MNE1D所成的角的正弦值为．【点评】本题考查的知识要点：四点共面的判定，直线与平面的夹角的应用，空间直角坐标系的建立，法向量的应用，向量的数量积的应用．主要考查学生的应用能力．20.某大学举办“我爱记歌词”校园歌手大赛，经过层层选拔，有5人进入决赛。决赛办法如下：选手先参加“千首电脑选歌”演唱测试，测试过关者即被授予“校园歌手”称号，否则参加“百首电脑选歌”演唱测试。若“百首电脑选歌”演唱测试过关也被授予“校园歌手”称号，否则被彻底淘汰。若进入决赛的5人“千首电脑选歌”演唱测试过关的概率是0.5，“百首电脑选歌”演唱测试合格的概率是0.8，而且每个人每轮测试是否合格是相互独立的。试计算（结果精确到0.01）：

（1）恰好有两人参加“百首电脑选歌”演唱的概率；

（2）平均有几人参加“百首电脑选歌”演唱；

（3）至少一人被最终淘汰的概率。参考答案：（1）记A表示事件“恰好有两人参加“百首电脑选歌”演唱”，则事件A等价于进入决赛的5人中，恰好有3人“千首电脑选歌”演唱测试过关，所以，因此恰好有两人参加“百首电脑选歌”演唱的概率是0.31。（2）设参加“百首电脑选歌”演唱的人数为，依题意=0，1，2，3，4，5。表示进入决赛的5人“千首电脑选歌”演唱测试过关人，未过关人，其中=0，1，2，3，4，5。由已知，从而的数学期望是＝，即平均有2.50人参加“百首电脑选歌”演唱。（3）记B表示事件“至少一人被最终淘汰”，则表示事件“5人都被授予“校园歌手”称号”，包括参加“千首电脑选歌”演唱测试过关者和参加“千首电脑选歌”演唱测试未过关者又参加“百首电脑选歌”演唱测试合格者”。因为每个人未被最终淘汰的概率为0.5+(1-0.5)×0.8=0.9，所以，故至少一人被最终淘汰的概率。21.（本小题13分）如图，在四棱锥中，平面，，平分，为的中点，（1）证明：平面（2）证明：平面（3）求直线与平面所成角的正切值参考答案：证明：∵可知O为AC中点

又E为PC中点∴PA//EOEO平面BDEPA平面BDE∴PA//平面BDE（2）证明：∵AC⊥BD∵PD⊥平面ABCD∴AC⊥PD

∵BDPD=D∴AC⊥平面PBD（3）10

∵AC⊥平面PBD

∴BC在平面PBD内的射影即为BO

∴∠CBD

即为所求角20如图建立

D（0，0，0）

B（2，2，0）

C（1，0，0）

A（0，1，0）平面PBD的法向量为22.已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=的单调性；（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，即可讨论函数h（x）=的单调性；（2）求出g（x）max=g（2）=1，当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx恒成立，然后利用导数求函数u（x）=x﹣x2lnx在区间[，2]上取得最大值，则实数a的取值范围可求．【解答】解：（1）h（x）==+lnx，h′（x）=，①a≤0，h′（x）≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增②a＞0时，h'（x）＞0，则x∈（，+∞），函数h（x）的单调递增区间为（，+∞），h'（x）＜0，则x∈（0，），函数h（x）的单调递减区间为（0，），．（2）g（x）=x3﹣x2﹣3，g′（x）=3x（x﹣），x2g′（x）0﹣0+

g（x）﹣3递减极小值递增1由上表可知，g（x）在x=2处取得最大值，即g（x）max=