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文档简介

河北省五个一名校2024年高考数学五模试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.关于函数有下述四个结论:()①是偶函数;②在区间上是单调递增函数;③在上的最大值为2;④在区间上有4个零点.其中所有正确结论的编号是()A.①②④ B.①③ C.①④ D.②④2.已知点,点在曲线上运动,点为抛物线的焦点,则的最小值为()A. B. C. D.43.已知命题,那么为()A. B.C. D.4.已知为圆的一条直径,点的坐标满足不等式组则的取值范围为()A. B.C. D.5.已知函数为奇函数,则()A. B.1 C.2 D.36.已知,则()A.5 B. C.13 D.7.若双曲线:()的一个焦点为,过点的直线与双曲线交于、两点,且的中点为,则的方程为()A. B. C. D.8.已知复数是纯虚数,其中是实数,则等于()A. B. C. D.9.若不等式对于一切恒成立,则的最小值是()A.0 B. C. D.10.设抛物线的焦点为F,抛物线C与圆交于M,N两点,若,则的面积为()A. B. C. D.11.若样本的平均数是10,方差为2,则对于样本,下列结论正确的是()A.平均数为20,方差为4 B.平均数为11,方差为4C.平均数为21,方差为8 D.平均数为20,方差为812.定义在R上的函数满足,为的导函数,已知的图象如图所示,若两个正数满足,的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知数列的前项和为,,,,则满足的正整数的所有取值为__________.14.若双曲线C:(,)的顶点到渐近线的距离为,则的最小值________.15.设f(x)=etx(t>0),过点P(t,0)且平行于y轴的直线与曲线C:y=f(x)的交点为Q,曲线C过点Q的切线交x轴于点R,若S(1,f(1)),则△PRS的面积的最小值是_____.16.已知,满足不等式组,则的取值范围为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某市调硏机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查,抽调了50名市民,他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表:月收入(单位:百元)频数51055频率0.10.20.10.1赞成人数4812521(1)若所抽调的50名市民中,收入在的有15名,求,,的值,并完成频率分布直方图.(2)若从收入(单位:百元)在的被调查者中随机选取2人进行追踪调查,选中的2人中恰有人赞成“楼市限购令”,求的分布列与数学期望.(3)从月收入频率分布表的6组市民中分别随机抽取3名市民,恰有一组的3名市民都不赞成“楼市限购令”,根据表格数据,判断这3名市民来自哪组的可能性最大?请直接写出你的判断结果.18.(12分)已知椭圆()的离心率为,且经过点.(1)求椭圆的方程;(2)过点作直线与椭圆交于不同的两点,,试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.19.(12分)已知椭圆C的离心率为且经过点(1)求椭圆C的方程;(2)过点(0,2)的直线l与椭圆C交于不同两点A、B,以OA、OB为邻边的平行四边形OAMB的顶点M在椭圆C上,求直线l的方程.20.(12分)在数列中,已知,且,.(1)求数列的通项公式;(2)设,数列的前项和为,证明:.21.(12分)某地为改善旅游环境进行景点改造.如图,将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通(道路不计宽度),l1和l2所在直线的距离为0.5(百米),对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5(百米)(其中A为抛物线的顶点,抛物线的对称轴垂直于l3,且交l3于M

),在堤岸线l3上的E,F两处建造建筑物,其中E,F到M的距离为1

(百米),且F恰在B的正对岸(即BF⊥l3).(1)在图②中建立适当的平面直角坐标系,并求栈道AB的方程;(2)游客(视为点P)在栈道AB的何处时,观测EF的视角(∠EPF)最大?请在(1)的坐标系中,写出观测点P的坐标.22.(10分)已知曲线的参数方程为(为参数).以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求的普通方程和的直角坐标方程;(2)若过点的直线与交于,两点,与交于,两点,求的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据函数的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析,由此得出正确结论的编号.【详解】的定义域为.由于,所以为偶函数,故①正确.由于,,所以在区间上不是单调递增函数,所以②错误.当时,,且存在,使.所以当时,;由于为偶函数,所以时,所以的最大值为,所以③错误.依题意,,当时,,所以令,解得,令,解得.所以在区间,有两个零点.由于为偶函数,所以在区间有两个零点.故在区间上有4个零点.所以④正确.综上所述,正确的结论序号为①④.故选:C【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.2、D【解析】

如图所示:过点作垂直准线于,交轴于,则,设,,则,利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示:过点作垂直准线于,交轴于,则,设,,则,当,即时等号成立.故选:.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题,意在考查学生的计算能力和转化能力.3、B【解析】

利用特称命题的否定分析解答得解.【详解】已知命题,,那么是.故选:.【点睛】本题主要考查特称命题的否定,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.4、D【解析】

首先将转化为,只需求出的取值范围即可,而表示可行域内的点与圆心距离,数形结合即可得到答案.【详解】作出可行域如图所示设圆心为,则,过作直线的垂线,垂足为B,显然,又易得,所以,,故.故选:D.【点睛】本题考查与线性规划相关的取值范围问题,涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识,考查学生转化与划归的思想,是一道中档题.5、B【解析】

根据整体的奇偶性和部分的奇偶性,判断出的值.【详解】依题意是奇函数.而为奇函数,为偶函数,所以为偶函数,故,也即,化简得,所以.故选:B【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数值,属于基础题.6、C【解析】

先化简复数,再求,最后求即可.【详解】解:,,故选:C【点睛】考查复数的运算,是基础题.7、D【解析】

求出直线的斜率和方程,代入双曲线的方程,运用韦达定理和中点坐标公式,结合焦点的坐标,可得的方程组,求得的值,即可得到答案.【详解】由题意,直线的斜率为,可得直线的方程为,把直线的方程代入双曲线,可得,设,则,由的中点为,可得,解答,又由,即,解得,所以双曲线的标准方程为.故选:D.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程的求解,其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组,合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.8、A【解析】

对复数进行化简,由于为纯虚数,则化简后的复数形式中,实部为0,得到的值,从而得到复数.【详解】因为为纯虚数,所以,得所以.故选A项【点睛】本题考查复数的四则运算,纯虚数的概念,属于简单题.9、C【解析】

试题分析:将参数a与变量x分离,将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题,即可得到结论.解:不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,]成立,等价于a≥-x-对于一切成立,∵y=-x-在区间上是增函数∴∴a≥-∴a的最小值为-故答案为C.考点:不等式的应用点评:本题综合考查了不等式的应用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于中档题10、B【解析】

由圆过原点,知中有一点与原点重合,作出图形,由,,得,从而直线倾斜角为,写出点坐标,代入抛物线方程求出参数,可得点坐标,从而得三角形面积.【详解】由题意圆过原点,所以原点是圆与抛物线的一个交点,不妨设为,如图,由于,,∴,∴,,∴点坐标为,代入抛物线方程得,,∴,.故选:B.【点睛】本题考查抛物线与圆相交问题,解题关键是发现原点是其中一个交点,从而是等腰直角三角形,于是可得点坐标,问题可解,如果仅从方程组角度研究两曲线交点,恐怕难度会大大增加,甚至没法求解.11、D【解析】

由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案.【详解】样本的平均数是10,方差为2,所以样本的平均数为,方差为.故选:D.【点睛】样本的平均数是,方差为,则的平均数为,方差为.12、C【解析】

先从函数单调性判断的取值范围,再通过题中所给的是正数这一条件和常用不等式方法来确定的取值范围.【详解】由的图象知函数在区间单调递增,而,故由可知.故,又有,综上得的取值范围是.故选:C【点睛】本题考查了函数单调性和不等式的基础知识,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、20,21【解析】

由题意知数列奇数项和偶数项分别为等差数列和等比数列,则根据为奇数和为偶数分别算出求和公式,代入数值检验即可.【详解】解:由题意知数列的奇数项构成公差为的等差数列,偶数项构成公比为的等比数列,则;.当时,,.当时,,.由此可知,满足的正整数的所有取值为20,21.故答案为:20,21【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项与求和公式,是综合题,分清奇数项和偶数项是解题的关键.14、【解析】

根据双曲线的方程求出其中一条渐近线,顶点,再利用点到直线的距离公式可得,由,利用基本不等式即可求解.【详解】由双曲线C:(,,可得一条渐近线,一个顶点,所以,解得,则,当且仅当时,取等号,所以的最小值为.故答案为:【点睛】本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值,注意验证等号成立的条件,属于基础题.15、【解析】

计算R(t,0),PR=t﹣(t),△PRS的面积为S,导数S′,由S′=0得t=1,根据函数的单调性得到最值.【详解】∵PQ∥y轴,P(t,0),∴Q(t,f(t))即Q(t,),又f(x)=etx(t>0)的导数f′(x)=tetx,∴过Q的切线斜率k=t,设R(r,0),则k,∴r=t,即R(t,0),PR=t﹣(t),又S(1,f(1))即S(1,et),∴△PRS的面积为S,导数S′,由S′=0得t=1,当t>1时,S′>0,当0<t<1时,S′<0,∴t=1为极小值点,也为最小值点,∴△PRS的面积的最小值为.故答案为:.【点睛】本题考查了利用导数求面积的最值问题,意在考查学生的计算能力和应用能力.16、【解析】

画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示,易知在点处取得最小值,即,所以由图可知的取值范围为.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),频率分布直方图见解析;(2)分布列见解析,;(3)来自的可能性最大.【解析】

(1)由频率和为可知,根据求得,从而计算得到频数,补全频率分布表后可画出频率分布直方图;(2)首先确定的所有可能取值,由超几何分布概率公式可计算求得每个取值对应的概率,由此得到分布列;根据数学期望的计算公式可求得期望;(3)根据中不赞成比例最大可知来自的可能性最大.【详解】(1)由频率分布表得:,即.收入在的有名,,,,则频率分布直方图如下:(2)收入在中赞成人数为,不赞成人数为,可能取值为,则;;,的分布列为:.(3)来自的可能性更大.【点睛】本题考查概率与统计部分知识的综合应用,涉及到频数、频率的计算、频率分布直方图的绘制、服从于超几何分布的随机变量的分布列与数学期望的求解、统计估计等知识;考查学生的运算和求解能力.18、(1)(2)见解析【解析】

(1)由题得a,b,c的方程组求解即可(2)直线与直线恰关于轴对称,等价于的斜率互为相反数,即,整理.设直线的方程为,与椭圆联立,将韦达定理代入整理即可.【详解】(1)由题意可得,,又,解得,.所以,椭圆的方程为(2)存在定点,满足直线与直线恰关于轴对称.设直线的方程为,与椭圆联立,整理得,.设,,定点.(依题意则由韦达定理可得,,.直线与直线恰关于轴对称,等价于的斜率互为相反数.所以,,即得.又,,所以,,整理得,.从而可得,,即,所以,当,即时,直线与直线恰关于轴对称成立.特别地,当直线为轴时,也符合题意.综上所述,存在轴上的定点,满足直线与直线恰关于轴对称.【点睛】本题考查椭圆方程,直线与椭圆位置关系,熟记椭圆方程简单性质,熟练转化题目条件,准确计算是关键,是中档题.19、(1)(2)【解析】

(1)根据椭圆的离心率、椭圆上点的坐标以及列方程,由此求得,进而求得椭圆的方程.(2)设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆的方程,写出韦达定理.根据平行四边形的性质以及向量加法的几何意义得到,由此求得点的坐标,将的坐标代入椭圆方程,化简后可求得直线的斜率,由此求得直线的方程.【详解】(1)由椭圆的离心率为,点在椭圆上,所以,且解得,所以椭圆的方程为.(2)显然直线的斜率存在,设直线的斜率为,则直线的方程为,设,由消去得,所以,由已知得,所以,由于点都在椭圆上,所以,展开有,又,所以,经检验满足,故直线的方程为.【点睛】本小题主要考查根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标求椭圆方程,考查直线和椭圆的位置关系,考查运算求解能力,属于中档题.20、(1);(2)见解析.【解析】

(1)由已知变形得到,从而是等差数列,然后利用等差数列的通项公式计算即可;(2)先求出数列的通项,再利用裂项相消法求出即可.【详解】(1)由已知,,即,又,则数列是以1为首项3为公差的等

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