2020-2021学年湖北省天门市八年级（上）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年湖北省天门市八年级第一学期期末数学试卷

一、选择题（每题3分，共30分）

1.若分式三2的值为0,则x的值应为（）

x-3

A.1B.-1C.3D.-3

2.在下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（）

A.1,2,3B.1,2,4C.2,2,4D.2,3,4

3.下列运算正确的是（）

A.«64-a3=a2B.(房)3=〃5

C.（-2注b）3=-8〃6。3D.(2〃+1)2=4。2+2。+1

4.下列各式与上相等的是（）

x-y

6.如图，等边△ABC的边长为1cm,D、E分别AB.AC是上的点，将△A0E沿直线DE

折叠，点A落在点A'处，且点A'在AABC外部，则阴影部分的周长为（）cm

A

C.3D.4

7.A、3两地相距160千米，甲车和乙车的平均速度之比为4：5,两车同时从A地出发到

8地，乙车比甲车早到30分钟，若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为4xT・米/小时,

则所列方程是（）

人160160。八口1601601

4x5x4x5x2

「1601601「160160

5x4x24x5x

8.如图，点E在△ABC的外部，点。在5C边上，OE交AC于点R若NEDC=NEAC=

ABAD,AC=AEf则()

A.AABD^AAFDB.AABC^AADEC.AAFE^AADCD.AAFE^ADFC

9.已知〃、b满足1=〃2+岳+21,>=4（2b-a）,则％、y的大小关系是（）

A.B.C.x>yD.x<y

10.如图，在△ABC中，AB=AC,D、石是△ABC内的两点，A。平分NBA。，NEBC=N

E=60°.若BE=6cm,DE=2cm,则5C的长为()

E

D

BC

A.4cmB.6cmC.8cmD.12cm

二、填空题（每题3分，共18分）

11.一个等腰三角形的两边长分别是3c力和7。小则它的周长是cm.

12.在平面直角坐标系中，点尸（-2,3）关于x轴对称的点P的坐标是.

13.将代数式（a+2）（a-2）-3a分解因式的结果是.

14.如图，ZC=90°,AO平分NBAC交BC于点。，若BC=55i,BD=3cm,则。到AB

的距离为.

15.如图是由4个全等的小正方形组成的网格，点A、B、C、D、E都在格点上，贝IJNABC

与/EDC的数量关系为.

16.如图，在△ABC中，AB=4,AC=6,BC=7,垂直平分BC,点尸为直线EF上的

任一点，则周长的最小值是.

三、解答题（共72分）

17-解方程:急口任

18.先化简，再求值.

(2)8尤2-(2x-3)(4x-5),其中x=3.

19.图1,图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，△ABC为格点三角形.请仅用

无刻度直尺在网格中完成下列画图.

(1)在图1中，画出△A8C中A3边上的中线CM；

(2)在图2中，画出/APC,使NAPC=/ABC,且点P是格点(画出一个即

20.如图：AD^BC,BD=AC，求证：EA=EB.

21.如图，△ABC中，NACB=90。，AC^BC,将△ABC绕点C逆时针旋转角a(0°<a

<90°)得到向C,连接设CBi交A8于点4囱分别交A8、AC于点E、F.

(1)在不再添加其它任何线段的情况下，请你写出图中所有全等的三角形：

(△ABC与△481C全等除外)；

(2)当BD=BBi,求a.

A

22.图①是一个长为2m、宽为2w的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然

后按图②的形状拼成一个正方形.

n

④

(1)观察图②，请用两种不同的方式表示阴影部分的面积，写出三个代数式2、

(m-n)2、如?之间的等量关系是；

(2)有许多等式可以用图形的面积来表示，如图③，它表示了；

(3)请你用图③提供的若干个长方形和正方形硬纸片图形，用拼长方形的方法，把下列

二次三项式进行因式分解：，"2+47WW+3".要求：在图④的框中画出图形并在下方写出分

解的因式.

23.某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽

种.已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360

元购买甲种树苗的棵数相同.

(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？

(2)在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售

价比第一次购买时降低了10%,乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用

不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？

24.如图，平面直角坐标系中，A(-1,0),B(0,2),以点B为直角顶点在第二象限

内作等腰RtAABC.

Cl)求点C的坐标；

(2)在y轴右侧是否存在点P,使与△ABC全等？若存在，请求出点P的坐标，

若不存在，请说明理由.

25.概念学习

规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形

互为“等角三角形”.

从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线

段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，

另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割

线”.

理解概念

(1)如图1,在中，NACB=90°,CZ)_LA8,请写出图中两对''等角三角形”.

概念应用

(2)如图2,在△A8C中，CD为角平分线，ZA=40°,ZB=60°.

求证：。为△ABC的等角分割线.

(3)在△ABC中，ZA=42°,C。是AABC的等角分割线，直接写出/ACB的度数.

参考答案

一、选择题（每题3分，共30分）

1.若分式耳•的值为0,则x的值应为（）

x-3

A.1B.-1C.3D.-3

【分析】分式的值为零：分子为零，且分母不为零.

解：由题意知尤-1=0且尤-3#0,

解得：x=l,

故选：A.

2.在下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（）

A.1,2,3B.1,2,4C.2,2,4D.2,3,4

【分析】根据三角形的三边关系”任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，

进行分析.

解：A、1+2=3,不能组成三角形，故此选项不符合题意；

8、1+2<4,不能组成三角形，故此选项不符合题意；

C、2+2=4,不能组成三角形，故此选项不符合题意；

D、2+3=5>4,能组成三角形，故此选项符合题意；

故选：D.

3.下列运算正确的是（）

A.a6-^-a3—a2B.（a2）3—a5

C.（-2a2Z?）3=-8a6Z?3D.（2a+l）2=4a2+2a+l

【分析】分别根据同底数塞的除法，塞的乘方，积的乘方以及完全平方公式逐一判断即

可.

解：a64-a3=cz3,故选项A不合题意；

（区）3=°6,故选项B不合题意；

（-2a2b）3=_8a6b3,正确，故选项C符合题意；

2=4a2+4a+l,故选项。不合题意.

故选：C.

4.下列各式与白相等的是（

22

A.—^-2B.二%

(x-y)2(x-y)2

2x

rD.

2x-yx+y

【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于。的整式,

分式的值不变，逐项判断即可.

xx(x-y)

解：：

x-y(x-y)2'

，选项A不符合题意;

..x£(X2Y)_x2-xy

•x-y—(x-y)2―(x_y)2

，选项8符合题意；

..x_2x

x-y2(x-y)

・•・选项。不符合题意；

・・x=r

*x-yy-x，

・•・选项。不符合题意.

故选：B.

5.下列图案属于轴对称图形的是（

A.

C.D.

【分析】根据轴对称图形的定义，寻找四个选项中图形的对称轴，发现只有，A有一条

对称轴，由此即可得出结论.

解：4能找出一条对称轴，故A是轴对称图形；

B、不能找出对称轴，故8不是轴对称图形;

C、不能找出对称轴，故C不是轴对称图形;

D、不能找出对称轴，故。不是轴对称图形.

故选：A.

6.如图，等边△ABC的边长为lc〃z,D、E分别AB、AC是上的点，将△AOE沿直线DE

折叠，点A落在点A'处，且点A'在△A8C外部，则阴影部分的周长为（）cm

【分析】由题意得AE=A'E,AD=A'D,故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC

的周长.

解：将△AOE沿直线OE折叠，点A落在点A'处，

所以AZ）=A'D,AE^A'E.

则阴影部分图形的周长等于BC+BO+CE+A，D+A'E,

=BC+5D+CE+AD+AE,

=BC^~AB+ACj

=3cm.

故选：C.

7.A、B两地相距160千米，甲车和乙车的平均速度之比为4：5,两车同时从A地出发到

8地，乙车比甲车早到30分钟，若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为4x千米/小时,

则所列方程是（）

1603=3。1601601

4x5x4x5x2

1601601

C.

5x4x2

【分析】设甲车平均速度为4x千米/小时，则乙车平均速度为5x千米/小时，根据两车同

时从A地出发到2地，乙车比甲车早到30分钟列出方程即可.

解：设甲车平均速度为4x千米/小时，则乙车平均速度为5x千米/小时,

根据题意得,嘿-要3

故选：B.

8.如图，点石在△ABC的外部，点。在3C边上，DE交AC于点忆若NE0C=NE4C=

/BAD,AC=AEf贝I]()

A.AABD^AAFDB.AABC^AADEC.AAFE^AADCD.AAFE^ADFC

【分析】由条件可得到NE=NC,再由已知可得N5AC=NZME,又因为AC=AEf所

以根据ASA可判定△ABC四/XADE.

解：/XA。尸与△DC尸中，

9：ZEDC=ZEAC,/AFE=NCFD,

：.ZC=ZE,

•：NEAC=NBAD,

：.ZDAE=ABAC.

9：AC=AE,

：.AABC^AADE(ASA).

故选：B.

9.已知〃、/?满足1=〃2+/+21,y=4(2b-a),则x、y的大小关系是()

A.xWyB.x^yC.x>yD.x<y

【分析】用x减去y,对1和y分别配方，利用偶次方的非负性，可判断x-y的正负,

从而问题得解.

解:x=d2+b2+21,y=4(2b-a)

.\x-y=d2+b2+2\-4(2b-a)

=4Z2+/?2+21-8/7+4〃

=32)2+(人-4)2+l

・・,32)22o,(b-4)22o

.\x-y>0

・・.x>y

故选：C

10.如图，在△ABC中，AB=AC,D、E是△ABC内的两点，A。平分NA4C,NEBC=N

E=60°.若BE=6cm,DE=2cm,则8C的长为()

A.4cmB.6cmC.%cmD.12cm

【分析】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出3E=6,DE=2,进而得出为

等边三角形，从而得出8N的长，进而求出答案.

解：延长即交5c于延长AO交5C于N,

9

：AB=ACfAZ）平分NA4C,

：.ANLBC,BN=CNf

'：ZEBC=ZE=60°,

・・・△BEM为等边三角形，

*.*BE=6cm,DE=2cmf

.9.DM=4cm,

:△BEM为等边三角形,

：.ZEMB=60°,

9

：AN±BCf

：.ZDNM=90°,

AZNDM=30°,

:.NM=2cm,

:・BN=4cm,

：.BC=2BN=8cm.

故选：C.

二、填空题（每题3分，共18分）

11.一个等腰三角形的两边长分别是3。九和7c机，则它的周长是17cm.

【分析】等腰三角形两边的长为3cm和7c%,具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，

因此要分两种情况讨论.

解：①当腰是3cm,底边是7c7〃时：不满足三角形的三边关系，因此舍去.

②当底边是3c7”,腰长是7cm时，能构成三角形，则其周长=3+7+7=17c:w.

故答案为：17.

12.在平面直角坐标系中，点尸（-2,3）关于无轴对称的点P的坐标是R（-2,-3）.

【分析】根据关于无轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；则P的坐标为（-

2,-3）.

解：：尸（-2,3）与P关于x轴对称，

横坐标相同，纵坐标互为相反数，

Pi的坐标为（-2,-3）.

故答案为（-2,-3）.

13.将代数式（a+2）（a-2）-3a分解因式的结果是（〃-4）（a+1）.

【分析】直接利用整式乘法运算法则结合十字相乘法分解因式得出答案.

解：原式=4-4-3a

=（a-4）（fi+1）.

故答案为：（a-4）（a+1）.

14.如图，/C=90°,AD平分N8AC交BC于点若BC=5cm,BD=3cm,贝i|£）至I]AB

的距离为2cm

DB

【分析】过。作。于E,根据角平分线的性质得出CD=OE,求出C。即可.

解：过。作。瓦LAB于E,

VZC=90°,

：.ACLBC,

TA。平分N3AC交8C于点。，DE±ABf

：.CD=DE,

BC=5cm,BD=3cm,

CD=BC-BD=2cm,

DE=2cm,

即D到AB的距离为2cm,

故答案为：2cm.

15.如图是由4个全等的小正方形组成的网格，点A、B、C、D、E都在格点上，贝U/A8C

与NEDC的数量关系为/ABC+/EDC=180°.

【分析】根据勾股定理得出8C=OC,进而利用全等三角形的判定和性质解答即可.

解：如图：

♦；DE=BF,CE=CF,BC=DC=Q]2+？2=遍,

：./\FBC^AEDC(SSS),

，/EDC=/FBC,

：./ABC+NEDC=ZABC+ZFBC=180°,

故答案为：ZABC+ZEZ)C=180°.

16.如图，在△ABC中，AB=4,AC=6,BC=7,斯垂直平分8C,点尸为直线EP上的

任一点，则AABP周长的最小值是10

【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C,故当点P与点D重合时，AP+BP

的最小值等于AC的长，根据AB,AC的长度即可得到AABP周长的最小值.

解：：斯垂直平分3C,

：.B,C关于Ef对称，

设AC交所于。，

当尸和。重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，

VAB=4,AC=6,

周长的最小值是AB+AC=4+6=10.

故答案为：10.

三、解答题（共72分）

17.解方程：翁口堂

【分析】分式方程去分母后转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即

可得到分式方程的解.

解：去分母得：2x=x-2+4,

解得：x=2,

经检验x=2是增根，原分式方程无解.

18.先化简，再求值.

1台

(1)(1+^-)4-^—,其中〃=2.

a-1a+1

(2)8x2-(2x-3)(4x-5),其中1=3.

【分析】(1)先对括号内的式子通分，然后再计算括号外的除法，即可将所求式子化简,

再将〃=2代入化简后的式子即可;

(2)先算乘法、再合并同类项即可化简题目中的式子，然后将兀的值代入化简后的式子

即可.

解：(1)(1+-2)a

a-1a+1

=/]+].]+1

(a+1)(a-1)a

2

_a

a(a-1)

_a

a-l'

9

当a=2时，原式=7^丁=2；

(2)8x2-(2x-3)(4x-5)

=8x2-8x2+10x+12x-15

=22x-15,

当x=3时，原式=22X3-15=66-15=51.

19.图1,图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，△ABC为格点三角形.请仅用

无刻度直尺在网格中完成下列画图.

(1)在图1中，画出AABC中A3边上的中线CM；

(2)在图2中，画出NAPC,使NAPC=NABC,且点P是格点(画出一个即

【分析】（1）根据三角形中线的定义即可得到结论;

（2）根据圆周角定理即可得到结论.

解：（1）如图所示，线段CM即为所求.

（2）如图所示，点尸即为所求.

【分析】由“SSS”可证△ABC四△A4。，可得可得结论.

【解答】证明：在△ABC和△BAQ中,

'AD=BC

<BD=AC-

.AB=BA

(SSS)，

：.ZCAB=ZABD,

：.EA=EB.

21.如图，△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,将△ABC绕点C逆时针旋转角a（0°<a

<90°）得到△AiBC连接B3.设CBi交A8于点D,43分别交A3、AC于点£、F.

（1）在不再添加其它任何线段的情况下，请你写出图中所有全等的三角形：

△CBDQ^CAiF,

△AEF咨ABiED,

△ACDGABCF（△ABC与△A1SC全等除外）；

⑵当BD=BBi,求a.

Ai

【分析】(1)利用ASA证明得Cr=C。，从而得AF=S。，从而证

明丝△BiED,AACD^ABiCF；

(2)根据三角形内角和定理得/C88i=NCBiBh^(180°-Cl),由2。=2修，则/

BDBi=ZBBiD,得45°+a=y(180°-d),解方程即可求出a的值.

解：(1)全等的三角形有：△CB。之△CARAAEF丝ABiED,AACD^ABiCF,

理由：VZACBi+ZAiCF=ZACBi+ZBCD=90a,

NAiCF=NBCD,

：.AiC=BC,

：.ZAi=ZCBD=45°,

在△CB。与△C4E中，

,

ZA1CF=ZBCCD

<A|C=BC,

ZAj=ZCBD

.,.△CBD^ACAIF(ASA),

:.CF=CD,

VCA=CBi,

：.AF=BiD,

在AAEF与ABiED中，

'ZA=ZEB1D

-ZAEF=ZB1ED,

AF=B]D

AAAEF^ABtED(AAS),

在△ACD与△BCE中，

,

ZACD=ZB1CF

<AC=BjC,

ZA=ZCB1F

/.AACD^ABiCF(ASA),

故答案为：ACBDmACAiF,AAEF^ABiED,AACD^ABiCF；

(2)在；CB=CBi,

.•./训=4^/卷(180。-a),

又：AABC是等腰直角三角形，

ZABC=45°,

;BD=BBi,

；.NBDBi=NBBiD,

A45°+a=y(1800-a),

.,.a=30o.

22.图①是一个长为2m、宽为2〃的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然

后按图②的形状拼成一个正方形.

④

(1)观察图②，请用两种不同的方式表示阴影部分的面积，写出三个代数式(%+〃)2、

Cm-n)2、之间的等量关系是(m-n)2=(m+n)2-4mn.；

(2)有许多等式可以用图形的面积来表示，如图③，它表示了(加+〃)⑵n+n)=

2"Z2+3〃〃Z+“2；

(3)请你用图③提供的若干个长方形和正方形硬纸片图形，用拼长方形的方法，把下列

二次三项式进行因式分解：，/+4祖〃+3层.要求：在图④的框中画出图形并在下方写出分

解的因式.

【分析】(1)用两种不同的方式表示阴影部分的面积即可解答；

(2)用两种不同的方式表示图③的面积即可解答;

解：(1)用两种不同的方式表示阴影部分的面积，可得：(根-〃)2=(m+n)2-4m几,

故答案为：(m-九)2=(m+n)2-4mn；

22

(2)用两种不同的方式表示图③的面积，可得：(m+n)(2m+n)=2m+3mn+nf

故答案为：(加十九)(2m+n)=2m2+3mn+n2；

(3)m2+4mn+3n2=(m+n)(m+3n).

r二------1一二一：一।—-

~~~•

।।

iI

\m；

!~?n---，%，；

④

23.某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽

种.已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360

元购买甲种树苗的棵数相同.

(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？

(2)在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售

价比第一次购买时降低了10%,乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用

不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？

【分析】(1)可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是(x+10)元，

根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，

列出方程求解即可；

(2)可设他们可购买y棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过

1500元，列出不等式求解即可.

解：(1)设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是(x+10)元，依题意

有

480_360

x+10x'

解得：x=3O.

经检验，x=3O是原方程的解，

x+10=30+10=40.

答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元.

(2)设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有

30X(1-10%)(50-y)+40yW1500,

7

解得yWiifp

为整数，

最大为11.

答：他们最多可购买11棵乙种树苗.

24.如图，平面直角坐标系中，A(-1,0),B(0,2),以点8为直角顶点在第二象限

内作等腰RtAABC.

(1)求点C的坐标；

(2)在y轴右侧是否存在点P,使△PA8与△ABC全等？若存在，请求出点P的坐标，

若不存在，请说明理由.

【分析】(1)先过点C作CE_Ly轴于E,证△AECgZxBOA,推出CE=OA=2,AE=

BO=1,即可得出点C的坐标；

(2)构造直角三角形，证出三角形全等，根据全等三角形对应边相等即可得出答案.

解：(1)如图1中，过点C作CELy轴于E,则NCE8=NA。艮

图1

・・・AABC是等腰直角三角形，

：.BC=BA,ZABC=90°,

；・/BCE+NCBE=90°=NBAO+/CBE,

：.ZBCE=ZABOf

在ABCE和△R40中，

'ZCEB=ZAOB

<ZBCE=ZABO，

BC=AB

.,.△CBE^ABAO(AAS),

VA(-1,0),B(0,2),

.\AO=BE=lfOB=CE=2,

：.OE=1+2=3,

：.C(-2,3)；

(2)存在，使△PA5与△A5C全等，

如图2中，过C作CM_Lx轴于“，过尸作PE_Lx轴于E则NCM3=NPE3=90°,

图2

VACAB^APAB,

ZPBA=ZCBA=45°,BC=BP,

：.ZCBP=90°,

ZMCB+ZCBM=90°,NCBM+/PBE=90°,

：.ZMCB=ZPBE,

在ACMB和△BEP中，

，ZMCB=ZPBE

<NCMB=NPEB，

,BC=BP

:.ACMBq△BEP(AA5),

：.PE=BM,CM=BE,

•：C(-2,3),B(-1,0),

；.PE=1,OE=BE-BO=3-1=2,

即尸的坐标