人教版八年级数学下册同步练习-正方形的判定2

18.2.3正方形

第2课时正方形的判定

选择题（共8小题）

1.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC,②NABC=90°,③AC=BD,

④ACLBD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列

四种选法，其中错误的是（）

A.选①②B.选②③C.选①③D.选②④

2.下列说法中，正确的是（）

A.相等的角一定是对顶角

B.四个角都相等的四边形一定是正方形

C.平行四边形的对角线互相平分

D.矩形的对角线一定垂直

3.下列命题中是假命题的是（）

A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

B.一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形

C.一组邻边相等的平行四边形是菱形

D.一组邻边相等的矩形是正方形

4.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（）

①当AB=BC时，它是菱形；②当AC_LBD时，它是菱形；③当NABC=90。时，它是矩形;

④当AC=BD时，它是正方形.

A.1组B.2组C.3组D.4组

5.四边形ABCD的对角线AC=BD,AC±BD,分别过A、B、C、D作对角线的平行线，

所成的四边形EFMN是（）

A.正方形B.菱形C.矩形D.任意四边形

6.如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的

基础上，进一步证明（）

A.AB=AD且AC_LBDB.AB=AD且AC=BDC.NA=NB且AC=BDD.AC

和BD互相垂直平分

7.下列命题中，真命题是（）

A.对角线相等的四边形是矩形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.对角线互相平分的四边形是平行四边形

D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

8.如图，在△ABC中，ZACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,

且BE=BF,添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）

B

A.BC=ACB.CF±BFC.BD=DFD.AC=BF

二.填空题（共6小题）

9.能使平行四边形ABCD为正方形的条件是（填上一个符合题目要求的条

件即可）.

10.如图，在RIAABC中，NC=90。，DE垂直平分AC,DFJLBC,当AABC满足条件_

___________时，四边形DECF是正方形.

（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）

11.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,请你添加一个条件：，使得该

12.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA,对角线AC与BD相交于点O,若不增

加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是.

13.已知四边形ABCD中，NA=NB=NC=90。，若添加一个条件即可判定该四边形是正方

形，那么这个条件可以是.

14.要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为.

三.解答题（共8小题）

15.已知：如图，△ABC中，ZABC=90°,BD是NABC的平分线，DE_LAB于点E,DF±BC

于点F.求证：四边形DEBF是正方形.

16.如图，在四边形ABCD中，AB=BC,对角线BD平分NABC,P是BD上一点，过点P

作PM_LAD,PN±CD,垂足分别为M,N.

(1)求证：ZADB=ZCDB；

(2)若NADC=90°,求证：四边形MPND是正方形.

17.如图，在RSABC中，NACB=90。，过点C的直线MNIIAB,D为AB边上一点，过

点D作DE_LBC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE.

(1)求证：CE=AD；

(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；

(3)若D为AB中点，则当NA的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明

你的理由.

18.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180。

得到△CFE.

(1)求证：四边形ADCF是平行四边形.

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由.

19.如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M、N

两点，连接MN,交AB于点D、C是直线MN上任意一点，连接CA、CB,过点D作DE±AC

于点E,DFLBC于点F.

(1)求证：△AED合△BFD；

(2)若AB=2,当CD的值为时，四边形DECF是正方形.

20.如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M,过点M作ME_1_AC,MF±AD,垂

足分别为E、F.

(1)求证：ZCAB=ZDAB；

(2)若NCAD=90。，求证：四边形AEMF是正方形.

21.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MNIIBC,设MN交NACB

的平分线于点E,交NACB的外角平分线于点F.

(1)探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；

(2)当点。运动到何处时，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？

（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE是菱形吗？（填"可能"或"不

可能”）

22.已知：如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点0作直线MNIIAC,设MN交

NBCA的平分线于点E,交NBCA的外角NACG的平分线于点E连接AE、AF.

（1）求证：ZECF=90°；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，△ABC应该满足条件：,就能使矩形AECF变为正

方形.（直接添加条件，无需证明）

E0

B

参考答案与试题解析

选择题（共8小题）

1.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC,②NABC=90°,③AC=BD,

④AC_LBD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列

四种选法，其中错误的是（）

A.选①②B.选②③C.选①③D.选②④

考点：正方形的判定；平行四边形的性质.

分析：要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形.

解答：解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是

直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意;

B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形,

所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；

C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形,

所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；

D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是

菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意.

故选：B.

点评：本题考查了正方形的判定方法：

①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；

②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角.

③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定.

2.下列说法中，正确的是（）

A.相等的角一定是对顶角

B.四个角都相等的四边形一定是正方形

C.平行四边形的对角线互相平分

D.矩形的对角线一定垂直

考点：正方形的判定；对顶角、邻补角；平行四边形的性质；矩形的性质.

分析：根据对顶角的定义，正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质对各选

项分析判断利用排除法求解.

解答：解：A、相等的角一定是对顶角错误，例如，角平分线分成的两个角相等，

但不是对顶角，故本选项错误；

B、四个角都相等的四边形一定是矩形，不一定是正方形，故本选项错误；

C、平行四边形的对角线互相平分正确，故本选项正确；

D、矩形的对角线一定相等，但不一定垂直，故本选项错误.

故选：C.

点评：本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质，对顶角的定义,

熟记各性质与判定方法是解题的关键.

3.下列命题中是假命题的是（）

A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

B.一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形

C.一组邻边相等的平行四边形是菱形

D.一组邻边相等的矩形是正方形

考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定.

专题：证明题.

分析：做题时首先熟悉各种四边形的判定方法，然后作答.

解答：解:A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,（平行四边形判定定理）;

正确.

B、一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形，不一定是矩形，还可能是不规则四边

形，错误.

C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确；

D、一组邻边相等的矩形是正方形，正确.

故选B.

点评：本题主要考查各种四边形的判定，基础题要细心.

4.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（）

①当AB=BC时，它是菱形；②当AC_LBD时，它是菱形；③当NABC=90。时，它是矩形；

④当AC=BDH寸，它是正方形.

A.1组B.2组C.3组D.4组

考点：正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定.

分析：根据邻边相等的平行四边形是菱形可判断①正确；根据所给条件可以证出

邻边相等，可判断②正确；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断③正确；根据

对角线相等的平行四边形是矩形可以判断出④错误.

解答：解：①根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边

形，当AB=BC时，它是菱形正确；

②四边形ABCD是平行四边形，

BO=OD,

•••AC_LBD,

AB2=BO2+AO2,AD2=DO2+AO2,

AB=AD,

.••四边形ABCD是菱形，故②正确；

③根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知③正确；

④根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故④

错误；

故不正确的有1个.

故选：A.

0

B

点评：此题主要考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定，关键是熟练掌握

三种特殊平行四边形的判定定理.

5.四边形ABCD的对角线AC=BD,AC±BD,分别过A、B、C、D作对角线的平行线,

所成的四边形EFMN是（）

A.正方形B.菱形C.矩形D.任意四边形

考点：正方形的判定.

分析：根据平行线的性质和判定得出NNAO=NAOD=NN=90。，EN=NM=FM=EF,

进而判断即可.

解答：证明：如图所示：

,分别过A、B、C、D作对角线的平行线，

ACIIMNIIEF,ENIIBDIIMF,

对角线AC=BD,AC±BD,

ZNAO=ZAOD=ZN=90°,EN=NM=FM=EF,

四边形EFMN是正方形.

故选：A.

点评：此题主要考查了正方形的判定以及平行线的性质和判定等知识，熟练掌握正

方形的判定定理是解题关键.

6.如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的

基础上，进一步证明（）

A.AB=AD且AC_LBDB.AB=AD且AC=BDC.NA=NB且AC=BDD.AC

和BD互相垂直平分

考点：正方形的判定.

分析：根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案.

解答：解：A、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的

平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD是正方形；

B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判

断四边形ABCD是正方形；

C、一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四

边形ABCD是矩形，不能判断四边形ABCD是正方形；

D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以不

能判断四边形ABCD是正方形.

故选B.

点评：本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的

概念，途经有两种：

①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；

②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角.

7.下列命题中，真命题是（）

A.对角线相等的四边形是矩形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.对角线互相平分的四边形是平行四边形

D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；命题与定理.

分析：A、根据矩形的定义作出判断；

B、根据菱形的性质作出判断；

C、根据平行四边形的判定定理作出判断；

D、根据正方形的判定定理作出判断.

解答：解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；

B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；

C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；

D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；

故选C.

点评：本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定.解答此题时，必

须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系.

8.如图，在△ABC中，ZACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,

且BE=BF,添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）

A.BC=ACB.CF±BFC.BD=DFD.AC=BF

考点：正方形的判定；线段垂直平分线的性质.

分析：根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC,

BF=FC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而

分别分析得出即可.

解答：解：,•・EF垂直平分BC,

BE=EC,BF=CF,

BF=BE,

BE=EC=CF=BF,

四边形BECF是菱形；

当BC=AC时，

•••ZACB=90°,

则NA=45。时，菱形BECF是正方形.

•1,ZA=45°,ZACB=90°,

ZEBC=45°

ZEBF=2ZEBC=2x45°=90°

菱形BECF是正方形.

故选项A正确，但不符合题意；

当CF_LBF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合

题意；

当BD=DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C正确，但不符合题

当AC=BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D错误，符合题意.

故选：D.

点评：本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形

的判定等知识，熟练掌握正方形的相关的定理是解题关键.

二.填空题（共6小题）

9.能使平行四边形ABCD为正方形的条件是AC=BD目.ACLBD（填上一个符合题目

要求的条件即可）.

考点：正方形的判定；平行四边形的性质.

专题：开放型.

分析：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，矩

形和菱形的结合体是正方形.

解答：解：可添加对角线相等且对角线垂直或对角线相等，且一组邻边相等；或对

角线垂直，有一个内角是90。.答案不唯一，此处填：AC=BD且ACLBD.

点评：本题考查正方形的判定，需注意它是菱形和矩形的结合.

10.如图，在RSABC中，NC=90°,DE垂直平分AC,DF_LBC^AABC满足条件AC=BC

时，四边形DECF是正方形.

（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）

考点：正方形的判定.

专题：计算题；开放型.

分析：由已知可得四边形的四个角都为直角，因此再有四边相等即是正方形添加条

件.此题可从四边形DECF是正方形推出.

解答：解：设AC=BC,即△ABC为等腰直角三角形，

••ZC=90°,DE垂直平分AC,DF±BC,

ZC=ZCED=ZEDF=ZDFC=90",

DF=1AC=CE,

2

DE」BC=CF,

2

DF=CE=DE=CF,

四边形DECF是正方形，

故答案为：AC=BC.

点评：此题考查的知识点是正方形的判定，解题的关键是可从四边形DECF是正方

形推出△ABC满足的条件.

11.如图，菱形ABCD的对角线相交于点0,请你添加一个条件：AC=BD或ABLBC

使得该菱形为正方形.

考点：正方形的判定；菱形的性质.

专题：压轴题.

分析：根据正方形判定定理进行分析.

解答：解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC=BD；

根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB±BC；

故添加的条件为：AC=BD或ABLBC.

点评：本题答案不唯一，根据菱形与正方形的关系求解.

12.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA,对角线AC与BD相交于点0,若不增

加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是AC=BD或

AB±BC.

考点：正方形的判定；菱形的判定.

专题：开放型.

分析：根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答.

解答：解：1,在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA

四边形ABCD是菱形

二要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC=BD或ABLBC.

点评：解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即有一个角是直角的菱形是

正方形.

13.已知四边形ABCD中，NA=NB=NC=90。，若添加一个条件即可判定该四边形是正方

形，那么这个条件可以是AB=AD或ACLBD等.

考点：正方形的判定；矩形的判定与性质.

专题：开放型.

分析：由已知可得四边形ABCD是矩形，则可根据有一组邻边相等或对角线互相

垂直的矩形是正方形添加条件.

解答：解：由NA=NB=NC=90。可知四边形ABCD是矩形，根据根据有一组邻边

相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：AB=AD或ACJLBD等.

故答案为：AB=AD或ACJ_BD等.

点评：本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的

概念，途经有两种：

①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；

②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角.

14.要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为有一个角是直角或对角线相等.

考点：正方形的判定；菱形的性质.

专题：开放型.

分析：根据菱形的性质及正方形的判定进行分析，从而得到最后答案.

解答：解：要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为：有一个角是直角或对角

线相等.

点评：解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理：

（1）有一个角是直角的菱形是正方形；

（2）对角线相等的菱形是正方形.

三.解答题（共8小题）

15.已知：如图，△ABC中，ZABC=90°,BD是NABC的平分线，DE_LAB于点E,DF±BC

于点F.求证：四边形DEBF是正方形.

考点：正方形的判定.

专题：证明题.

分析：由DE_LAB,DF±BC,ZABC=90。，先证明四边形DEBF是矩形，再由BD

是NABC的平分线，DE_LAB于点E,DFLBC于点F得出DE=DF判定四边形DEBF是正

方形.

解答：解：；DE±AB,DF±BC,

ZDEB=NDFB=90°,

又NABC=90°,

四边形BEDF为矩形，

丫BD是NABC的平分线，且DE_LAB,DF_LBC,

DE=DF,

矩形BEDF为正方形.

点评：本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定.要注意判定一个四

边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形.

16.如图，在四边形ABCD中，AB=BC,对角线BD平分NABC,P是BD上一点，过点P

作PM_LAD,PN±CD,垂足分别为M,N.

(1)求证：ZADB=ZCDB；

(2)若NADC=90°,求证：四边形MPND是正方形.

考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质.

专题：证明题.

分析：(1)根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明^ABD空△CBD,

由全等三角形的性质即可得到：ZADB=ZCDB；

(2)若NADC=90。，由(1)中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边

形是正方形即可证明四边形MPND是正方形.

解答：证明：(1),对角线BD平分NABC,

ZABD=ZCBD,

在^ABDffACBD中,

'AB=CB

,ZABD=ZCBD>

BD=BD

△ABD2△CBD(SAS),

ZADB=ZCDB；

(2)PM±AD,PN_LCD,

ZPMD=ZPND=90°,

ZADC=90°,

四边形MPND是矩形，

ZADB=ZCDB,

ZADB=45"

PM=MD,

四边形MPND是正方形.

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质

以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定.

17.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,过点C的直线MNIIAB,D为AB边上一点，过

点D作DE_LBC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE.

(1)求证：CE=AD；

(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；

(3)若D为AB中点，则当NA的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明

考点:正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定.

专题:几何综合题.

分析：(1)先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可;

(2)求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD,根据菱形的判定推出即可；

(3)求出NCDB=90。，再根据正方形的判定推出即可.

解答：(1)证明：DE±BC,

・•.ZDFB=90°,

•••ZACB=90°,

ZACB=ZDFB,

/.ACIIDE,

MNIIAB,即CEIIAD,

/.四边形ADEC是平行四边形，

/.CE=AD；

(2)解：四边形BECD是菱形，

理由是：:D为AB中点，

/.AD=BD,

•/CE=AD,

・•.BD=CE,

,/BDIICE,

.•・四边形BECD是平行四边形，

•/ZACB=90°,D为AB中点，

・•.CD=BD,

四边形BECD是菱形；

(3)当NA=45。时，四边形BECD是正方形，理由是：

解：：NACB=90。，ZA=45°,

ZABC=NA=45°,

AC=BC,

,.D为BA中点，

CD±AB,

ZCDB=90°,

•••四边形BECD是菱形，

四边形BECD是正方形，

即当/A=45。时，四边形BECD是正方形.

点评：本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三

角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力.

18.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180。

得到△CFE.

(1)求证：四边形ADCF是平行四边形.

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由.

A

考点：正方形的判定；平行四边形的判定.

分析：(1)利用旋转的性质得出点A、E、C三点共线，点D、E、F三点共线，

且AE=CD,DE=FE,即可得出答案；

(2)首先得出CD_LAB,即NADC=90。，由(1)知，四边形ADCF是平行四边形，故四

边形ADCF是矩形.进而求出CD=AD即可得出答案.

解答：(1)证明：・・,△CFE是由△ADE绕点E旋转180。得到，

.•.点A、E、C三点共线，点D、E、F三点共线，

且AE=CE,DE=FE,

故四边形ADCF是平行四边形.

(2)解：当NACB=90。，AC=BC时，四边形ADCF是正方形.

理由如下：

在^ABC中，AC=BC,AD=BD,

CD±AB,BPzADC=90°.

而由(1)知，四边形ADCF是平行四边形，

四边形ADCF是矩形.

又：ZACB=90°,

CD^|AB=AD'

故四边形ADCF是正方形.

点评：此题主要考查了平行四边形的判定以及正方形的判定等知识，得出四边形

ADCF是矩形是解题关键.

19.如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M、N

两点，连接MN,交AB于点D、C是直线MN上任意一点，连接CA、CB,过点D作DEJLAC

于点E,DFJ_BC于点F.

(1)求证：△AED合△BFD；

(2)若AB=2,当CD的值为1时，四边形DECF是正方形.

考点：正方形的判定；全等三角形的判定.

分析：(1)先由作图知MN是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得

出CA=CB,AD=BD,由等边对等角得到NA=NB,然后利用AAS即可证明4AED空△BFD；

(2)若AB=2,当CD的值为1时，四边形DECF是正方形.先由CD=AD=BD=1,MN_LAB,

得出△ACD与4BCD都是等腰直角三角形，则NACD=NBCD=45。，ZECF=90°,根据有三

个角是直角的四边形是矩形证明四边形DECF是矩形，再由等角对等边得出ED=CE,从而

得出矩形DECF是正方形.

解答：(1)证明：由作图知，MN是线段AB的垂直平分线，

・；C是直线MN上任意一点，MN交AB于点D,

CA=CB,AD=BD,

ZA=NB.

在4AED与4BFD中，

"ZAED=ZBFD=90°

,ZA=ZB>

AD=BD

△AED2ABFD(AAS)；

(2)解：若AB=2,当CD的值为1时，四边形DECF是正方形.理由如下:

「AB=2,

・•.AD=BD=1AB=I.

2

­/CD=AD=BD=1,MN±AB,

」.△ACD与^BCD都是等腰直角三角形，

・•.ZACD=ZBCD=45°,

ZECF=ZACD+zBCD=90°,

•・,ZDEC=ZDFC=90°,

••・四边形DECF是矩形，ZCDE=90°-45°=45°,

・•.ZECD=ZCDE=45°,

・•.ED=CE,

・..矩形DECF是正方形.

故答案为1.

点评：本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定，正方形的判定，等

腰直角三角形的判定与性质，难度适中.

20.如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M,过点M作ME_LAC,MFJLAD,垂

足分别为E、F.

（1）求证：ZCAB=NDAB；

（2）若NCAD=90。，求证：四边形AEMF是正方形.

考点：正方形的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质.

专题：证明题.

分析：（1）根据AB是CD的垂直平分线，得到AC=AD,然后利用三线合一的性

质得到NCAB=ZDAB即可；

（2）首先判定四边形AEMF是矩形，然后证得ME=MF,利用邻边相等的矩形AEMF是正

方形进行判定即可.

解答：（1）证明：；AB是CD的垂直平分线，

AC=AD,

文:AB±CD

ZCAB=ZDAB（等腰三角形的三线合一）；

（2）证明：・.,ME_LAC,MFJLAD,NCAD=90°,

即NCAD=ZAEM=ZAFM=90°,

四边形AEMF是矩形，

又丫NCAB=NDAB,ME±AC,MF_LAD,

ME=MF,

矩形AEMF是正方形.

点评：本题考查正方形的判定，线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性

质的知识，综合性较强，难度不大.

21.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MNIIBC,设MN交NACB

的平分线于点E,交NACB的外角平分线于点F.

(1)探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；

(2)当点0运动到何处时，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？

(3)当点。在边AC上运动时，四边形BCFE不可能是菱形吗?(填"可能"或"不可能")

A

考点：正方形的判定；菱形的判定.

分析：(1)由直线MNIIBC,MN交NBCA的平分线于点E,交NBCA的外角平

分线于点F,易证得AOEC与AOFC是等腰三角形，则可证得OE=OF=OC；

(2)正方形的判定问题，AECF若是正方形，则必有对角线OA=OC,所以0为AC的中点，

同样在△ABC中，当NACB=90。时，可满足其为正方形；

(3)菱形的判定问题，若使菱形，则必有四条边相等，对角线互相垂直.

解答：解：(1)OE=OF.理由如下：

CE是NACB的角平分线，

ZACE=ZBCE,

又MNIIBC,

ZNEC=ZECB,

ZNEC=NACE,

OE=OC,

•••OF是NBCA的外角平分线，

ZOCF=ZFCD,

又MNIIBC,

ZOFC=ZECD,

ZOFC=NCOF,

OF=OC,

OE=OF；

(2)当点O运动到AC的中点，且△ABC满足NACB为直角的直角三角形时，四边形AECF

是正方形.理由如下：

当点O运动到AC的中点时，AO=CO,

又JEO=FO,

四边形AECF是平行四边形，

FO=CO,

AO=CO=