高等数学第一章函数和极限试题1

PAGEPAGE12PAGE高等数学第一章函数与极限试题选择题1.设F(x)是持续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有（A）F(x)是偶函数f(x)是奇函数.（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数.（C）F(x)是周期函数f(x)是周期函数.（D）F(x)是单调函数f(x)是单调函数2．设函数则x=0,x=1都是f(x)的第一类中断点.x=0,x=1都是f(x)的第二类中断点x=0是f(x)的第一类中断点，x=1是f(x)的第二类中断点.x=0是f(x)的第二类中断点，x=1是f(x)的第一类中断点.3．设(x)=，x≠0,1,则[]=()A）1－xB）C）D）x4．下列各式正确的是()A）=1B）=eC）=-eD）=e5．已知，则()。；B.；C.；D.。6．极限：()；B.；C.；D.7．极限：=（）；B.；；．8．极限：=（）；B.；C；．9. 极限：=（）；B.；；D.．10．极限:=（）；B.；C.；．二.填空题11．极限=.12.=_______________.13.若在点持续，则=_______________；14.___________；15._________________；16.若函数，则它的中断点是___________________17.绝对值函数其概念域是,值域是18.符号函数其概念域是，值域是三个点的集合19.无穷小量是20.函数在点x0持续，要求函数yf(x)知足的三个条件是三.计算题21.求22.设f(e)=3x-2,求f(x)(其中x>0);23.求(3－x);24.求();25.求26.已知，求的值；27.计算极限28.求它的概念域。29.判断下列函数是不是为同一函数：⑴f(x)＝sin2x＋cos2xg(x)＝1⑵⑶⑷⑸y＝ax2s＝at230.已知函数f(x)＝x2-1，求f(x+1)、f(f(x))、f(f(3)+2)31.求32.求33.求34.求35.判断下列函数在指定点的是不是存在极限⑴⑵36.37.38.39.求当x→∞时，下列函数的极限40.求当x→∞时，下列函数的极限41.41.42.43.44.45.46.47.48.研究函数在指定点的持续性x0＝049.指出下列函数在指定点是不是中断，若是中断，指出是哪类中断点。,x＝150.指出下列函数在指定点是不是中断，若是中断，指出是哪类中断点。，x＝０51.指出下列函数在指定点是不是中断，若是中断，指出是哪类中断点。，x＝０52.证明f(x)＝x2是持续函数53.54.55.试证方程2x3－3x2＋2x－3＝0在区间[1,2]至少有一根56.57.试证正弦函数y=sinx在(-∞,+∞)内持续。58.函数f(x)=x=在点x=0处是不是持续？59.函数=是不是在点持续？60.求极限.答案：一.选择题【分析】本题可直接推证，但最简便的方式仍是通过反例用排除法找到答案.【详解】方式一：任一原函数可表示为，且当F(x)为偶函数时，有，于是，即，也即，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则为偶函数，从而为偶函数，可见(A)为正确选项.方式二：令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,则取F(x)=,排除(D);故应选(A).【评注】函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过.请读者试探f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系?2.D【分析】显然x=0,x=1为中断点，其分类主要考虑左右极限.【详解】由于函数f(x)在x=0,x=1点处无概念，因此是中断点.且，所以x=0为第二类中断点；，，所以x=1为第一类中断点，故应选(D).【评注】应特别注意：，从而，345C678∵x→∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”：原式=.（有理化法）9D10解原式.▌错误！注错误！原式.二.填空题11.212.113.014.515.16.17.18.19.在某一极限进程中，以0为极限的变量，称为该极限进程中的无穷小量20.①函数yf(x)在点x0有概念；②x→x0时极限存在；③极限值与函数值相等，即三.计算题21.【分析】型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.【详解】===22.(x)=3lnx+1x＞023.24.25.26.;27.328.解：由x＋2≥０解得x≥-2由x－１≠０解得x≠１由5－２x＞０解得x＜函数的概念域为｛x｜＞x≥-2且x≠1｝或表示为（,1）∪（1,-2）29.⑴、⑸是同一函数，因为概念域和对应法则都相同，表示变量的字母能够不同。⑵⑶不是同一函数，因为它们的概念域不相同。⑷不是同一函数，因为它们对应的函数值不相同，即对应法则不同。30.解：f(x+1)＝(x+1)2-1＝x2+2x，f(f(x))＝f(x2-1)＝(x2-1)2-1＝x4-2x2f(f(3)+2)＝f(32-1+2)＝f(10)＝9931.解：32.解：33.解：34.解：35.解：⑴因为，所以函数在指定点的极限不存在。⑵因为，所以函数在指定点的极限36.37.38.39.40.41.42.43.=44.45.46.47.49.中断，函数在x＝1处无概念且左右极限不存在，第二类中断点50.中断，函数在x＝0处左右极限不存在，第二类中断点51.中断，但f(0)＝1，二者不相等，第一类中断点52.证明：x0∈(－∞,＋∞)因为，f(x0)=x02所以因此，函数f(x)＝x2是持续函数。53.54.55.证明：设f(x)＝2x3－3x2＋2x－3，则f(x)在[1,2]上持续，f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0按照零点定理，必存在一点ξ∈(1,2)使f(ξ)＝0，则x＝ξ就是方程的根。56.原式57.证x(-∞,+∞)，任给x一个增量Δx，对应的有函数y的增量Δy=sin(+Δx)-sinx=.∵，由夹逼准则知，△y→0（Δx→0），再由x的任意性知正弦函数y=sinx在其概念域(-∞,+∞)上处处持续，即它是持续函数。58.解注意f(x)是分段函数，且点双侧f表达式不一致。解法1∵f(0-0)=，f(0+0)=，∴.又f(0)=0，∴函数f(x)=x在点x=0处持续（图1—19）。解法2∵，∴函数在点左持续；又∵，∴函数在点右持续，所以函数