江苏省常州市金坛市第四高级中学高三数学理上学期摸底试题含解析

江苏省常州市金坛市第四高级中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量a，b满足|a|=2,|b|=l，且（a+b）⊥b，则a与b的夹角为

A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.已知命题，则命题p的否定（

）A．

B．C．

D．参考答案：C3.若点P是不等式组表示的平面区域内的点，则点P到直线的距离的最大值与最小值的和为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C4.设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数和，使；③给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；④给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B略5.对任意的实数a、b，记．若，其中奇函数在时有极小值-2，是正比例函数，函数与函数的图象如图所示．则下列关于函数的说法中，正确的是(

)A．为奇函数B．有极大值F（-1）且有极小值F（0）C．的最小值为-2且最大值为2D．在（-3，0）上为增函数参考答案：B略6.如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则

.参考答案：1005略7.如图，某地一天中时至时的温度变化曲线近似满足函数（其中，），则估计中午时的温度近似为（

）A． B． C．

D．参考答案：B8.函数具有如下性质：，则函数()A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数，又是偶函数 D．既不是奇函数，又不是偶函数参考答案：B略9.已知全集为R，集合则A.B.C.或

D..或

参考答案：C，，则或,选C.10.设，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先确定，然后将利用对数的运算，求得，从而得到的大小关系.【详解】由于，所以为三个数中最大的.由于，而，故.综上所述，故选C.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小.解决的方法是区间分段法，如本题中的“和”作为分段的分段点.在题目给定的三个数中，有一个是大于的，有一个是介于和之间的，还有一个是小于的，由此判断出三个数的大小关系.在比较过程中，还用到了对数和指数函数的性质.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题“，”的否定是__________．参考答案：，解：特称命题变否定时，“”需改成“”．12.在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，且，则____．参考答案：-2【知识点】复数乘除和乘方【试题解析】由题知：

所以

故答案为：-213.如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，且直角边长为1，那么这个几何体的体积为_________.

参考答案：14.若将函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为

参考答案：15.已知集合与满足，则实数的值所组成的集合是

．

参考答案：16.

设，则不等式的解集为

参考答案：17.如图所示，一种树形图为：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1，第二层在第一层线段的前端作两条与其成135°角的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一条线段的前端生成两条与其成135°角的线段，长度为其一半．重复前面的作法作图至第n层，设树形的第n层的最高点至水平线的距离为第《层的树形图的总高度，则到第二层的树形图的总高度h2=_______，当n为偶数时，到第n层的树形图的总高度hn=________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分13分)等比数列{an}中的前三项a1、a2、a3分别是下面数阵中第一、二、三行中的某三个数，且三个数不在同一列．(1)求此数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝3an－lgan，求数列{bn}的前n项和Sn.参考答案：(1)经检验，当a1＝5或4时，不可能得到符合题中要求的等比数列；故有a1＝3，a2＝6，a3＝12，等比数列公比q＝2，所以an＝3·2n－1.(5分)n为偶数时，Sn＝9×－lg2＝9(2n－1)－lg2.19.已知m为实数，函数f（x）=x3+x2﹣3x﹣mx+2，g（x）=f′（x），f′（x）是f（x）的导函数．（1）当m=1时，求f（x）的单调区间；（2）若g（x）在区间[﹣1，1]上有零点，求m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）m=0时，不合题意，m≠0时，根据二次函数的性质得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）由f（x）=x3+x2﹣3x﹣mx+2，得f′（x）=2mx2+2x﹣3﹣m，m=1时，f′（x）=2（x+2）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜1，故f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，1）递减，在（1，+∞）递增；（2）由（1）得g（x）=2mx2+2x﹣3﹣m，若g（x）在区间[﹣1，1]上有零点，则方程g（x）=2mx2+2x﹣3﹣m=0在[﹣1，1]上有解，m=0时，g（x）=2x﹣3在[﹣1，1]上没有零点，故m≠0，方程g（x）=2mx2+2x﹣3﹣m=0在[﹣1，1]上有解等价于g（﹣1）?g（1）≤0或，解得：1≤m≤5或m≤或m≥5，故m的范围是（﹣∞，]∪[1，+∞）．20.某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有N人参加，现将所有参加者按年龄情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）等七组，其频率分布直方图如下所示．已知[35，40）这组的参加者是8人．（1）求N和[30，35）这组的参加者人数N1；（2）已知[30，35）和[35，40）这两组各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有1名数学老师的概率；（3）组织者从[45，55）这组的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为x，求x的分布列和均值．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）先求出年龄在[35，40）内的频率，由此能求出总人数和[30，35）这组的参加者人数N1．（2）记事件B为“从年龄在[30，35]之间选出的人中至少有1名数学教师”，记事件C为“从年龄在[35，40）之间选出的人中至少有1名数学教师”，分别求出P（B），P（C），由此能求出两组选出的人中都至少有1名数学老师的概率．（3）年龄在[45，55）之间的人数为6人，其中女教师4人，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（1）∵年龄在[35，40）内的频率为0.04×5=0.2，∴总人数N==40人．∵[30，35）这组的频率为：1﹣（0.01×2+0.02+0.03×2+0.04）×5=0.3，[30，35）这组的参加者人数N1为：40×0.3=12人．（2）记事件B为“从年龄在[30，35]之间选出的人中至少有2名数学教师”，∵年龄在[30，35）之间的人数为12，∴P（B）=1﹣=，记事件C为“从年龄在[35，40）之间选出的人中至少有1名数学教师”，∵年龄在[35，40）之间的人数为8，∴P（C）=1﹣=，∴两组选出的人中都至少有1名数学老师的概率P（BC）==．（3）年龄在[45，55）之间的人数为6人，其中女教师4人，∴ξ的可能取值为1，2，3，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：ξ123PEξ==2．21.已知抛物线的方程为，为其焦点，过不在抛物线上的一点作此抛物线的切线，为切点.且.（Ⅰ）求证：直线过定点；（Ⅱ）直线与曲线的一个交点为，求的最小值.参考答案：（Ⅰ）设直线的方程为，设，以为切点的切线方程分别为，.由消去得.则，.这两条切线的斜率分别为，.由这两切线垂直得，得.所以直线恒过定点.（Ⅱ）设，则，，当时，则，可得，当时，则，，，同样可得.所以.由.所以.令，..所以在上为减函数，在上为增函数.所以.（或当时取等号.）22.对某电子元件进行寿命追踪调查，所得样本数据的频率分布直方图如下.（1）求，并根据图中的数据，用分层抽样的方法抽取个元件，元件寿命落在之间的应抽取几个？（2）从（1）中抽出的寿命落在之间的元件中任取个元件，求事件“恰好有一个元件寿命落在之间，一个元件寿命落在之间”的概率.参考答案：（1）根据题意：解得

………………2分设在寿命落在之间的应抽取个，根据分层抽样有：

………4分解得：所以寿命落在之间的元件应抽取个

……………6分（2）记“恰好有一个寿命落在之间，一个寿命为之间”为事件，易知，寿命落在之间的元件有个，分别记，落在之间的元件有个，分别记为：，从中任取个元件，有如下基本事件：，，共有个基本事件.