高等数学课后习题及参考答案(第七章)

.@;高等数学课后习题及参考答案（第七章）习题7-11设uab2cva3bc试用a、b、c表示2u3v解2u3v2(ab2c)3(a3bc)2a2b4c3a9b3c5a11b7c2如果平面上一个四边形的对角线互相平分试用向量证明这是平行四边形证而所以这说明四边形ABCD的对边ABCD且AB//CD从而四边形ABCD是平行四边形3把ABC的BC边五等分设分点依次为D1、D2、D3、D4再把各分点与点A连接试以、表示向量、、、解4已知两点M1(012)和M2(110)试用坐标表示式表示向量及解5求平行于向量a(676)的单位向量解平行于向量a(676)的单位向量为或6在空间直角坐标系中指出下列各点在哪个卦限？A(123)B(234)C(234)D(231)解A在第四卦限B在第五卦限C在第八卦限D在第三卦限7在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置A(340)B(043)C(300)D(010)解在xOy面上点的坐标为(xy0)在yOz面上点的坐标为(0yz)在zOx面上点的坐标为(x0z)在x轴上点的坐标为(x00)在y轴上点的坐标为(0y0)在z轴上点的坐标为(00z)A在xOy面上B在yOz面上C在x轴上D在y轴上8求点(abc)关于(1)各坐标面(2)各坐标轴(3)坐标原点的对称点的坐标解(1)点(abc)关于xOy面的对称点为(abc)点(abc)关于yOz面的对称点为(abc)点(abc)关于zOx面的对称点为(abc)(2)点(abc)关于x轴的对称点为(abc)点(abc)关于y轴的对称点为(abc)点(abc)关于z轴的对称点为(abc)(3)点(abc)关于坐标原点的对称点为(abc)9自点P0(x0y0z0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线写出各垂足的坐标解在xOy面、yOz面和zOx面上垂足的坐标分别为(x0y00)、(0y0z0)和(x00z0)在x轴、y轴和z轴上垂足的坐标分别为(x000)(0y00)和(00z0)10过点P0(x0y0z0)分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解在所作的平行于z轴的直线上点的坐标为(x0y0z)在所作的平行于xOy面的平面上点的坐标为(xyz0)11一边长为a的立方体放置在xOy面上其底面的中心在坐标原点底面的顶点在x轴和y轴上求它各顶点的坐标解因为底面的对角线的长为所以立方体各顶点的坐标分别为12求点M(435)到各坐标轴的距离解点M到x轴的距离就是点(435)与点(400)之间的距离即点M到y轴的距离就是点(435)与点(030)之间的距离即点M到z轴的距离就是点(435)与点(005)之间的距离即13在yOz面上求与三点A(312)、B(422)和C(051)等距离的点解设所求的点为P(0yz)与A、B、C等距离则由题意有即解之得y1z2故所求点为(012)14试证明以三点A(419)、B(1016)、C(243)为顶点的三角形是等腰三角直角三角形解因为所以因此ABC是等腰直角三角形15设已知两点和M2(302)计算向量的模、方向余弦和方向角解16设向量的方向余弦分别满足(1)cos0(2)cos1(3)coscos0问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解(1)当cos0时向量垂直于x轴或者说是平行于yOz面(2)当cos1时向量的方向与y轴的正向一致垂直于zOx面(3)当coscos0时向量垂直于x轴和y轴平行于z轴垂直于xOy面17设向量r的模是4它与轴u的夹角是60求r在轴u上的投影解18一向量的终点在点B(217)它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为447求这向量的起点A的坐标解设点A的坐标为(xyz)由已知得解得x2y3z0点A的坐标为A(230)19设m3i5j8kn2i4j7k和p5ij4k求向量a4m3np在x轴上的投影及在y轴上的分向量解因为a4m3np4(3i5j8k)3(2i4j7k)(5ij4k)13i7j15k所以a4m3np在x轴上的投影为13在y轴上的分向量7j习题721设a3ij2kbi2jk求(1)ab及ab(2)(2a)3b及a2b(3)a、b夹角的余弦解(1)ab31(1)2(2)(1)3(2)(2a)3b6ab6318a2b2(ab)2(5ij7k)10i2j14k(3)2设a、b、c为单位向量且满足abc0求abbcca解因为abc0所以(abc)(abc)0即aabbcc2ab2ac2ca0于是3已知M1(112)、M2(331)和M3(313)求与、同时垂直的单位向量解为所求向量4设质量为100kg的物体从点M1(318)沿直线称动到点M2(142)计算重力所作的功(长度单位为m重力方向为z轴负方向)解F(0010098)(00980)WFS(00980)(236)5880(焦耳)5在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为x1的点P1处有一与成角1的力F1作用着在O的另一侧与点O的距离为x2的点P2处有一与成角1的力F1作用着问1、2、x1、x2、|F1|、|F2|符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？解因为有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零再注意到对力矩正负的规定可得使杠杆保持平衡的条件为x1|F1|sin1x2|F2|sin20即x1|F1|sin1x2|F2|sin26求向量a(434)在向量b(221)上的投影解7设a(352)b(214)问与有怎样的关系能使得ab与z轴垂直?解ab(32524)ab与z轴垂abk(32524)(001)0即240所以2当2时ab与z轴垂直8试用向量证明直径所对的圆周角是直角证明设AB是圆O的直径C点在圆周上则因为所以∠C909设已知向量a2i3jkbij3k和ci2j计算(1)(ab)c(ac)b(2)(ab)(bc)(3)(ab)c解(1)ab21(3)(1)138ac21(3)(2)8(ab)c(ac)b8c8b8(cb)8[(i2j)(ij3k)]8j24k(2)ab3i4j4kbc2i3j3k(3)(ab)c81(5)(2)10210已知求OAB的面积解根据向量积的几何意义表示以和为邻边的平行四边形的面积于是OAB的面积为因为所以三角形OAB的面积为12试用向量证明不等式其中a1、a2、a3、b1、b2、b3为任意实数并指出等号成立的条件解设a(a1a2a3)b(b1b2b3)则有于是其中当1时即a与b平行是等号成立习题731一动点与两定点(231)和(456)等距离求这动点的轨迹方程解设动点为M(xyz)依题意有(x2)2(y3)2(z1)2(x4)2(y5)2(z6)2即4x4y10z6302建立以点(132)为球心且通过坐标原点的球面方程解球的半径球面方程为(x1)2(y3)2(z2)214即x2y2z22x6y4z03方程x2y2z22x4y2z0表示什么曲面?解由已知方程得(x22x1)(y24y4)(z22z1)141即所以此方程表示以(121)为球心以为半径的球面4求与坐标原点O及点(234)的距离之比为12的点的全体所组成的曲面的方程它表示怎样曲面？解设点(xyz)满足题意依题意有化简整理得它表示以为球心以为半径的球面5将zOx坐标面上的抛物线z25x绕x轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程解将方程中的z换成得旋转曲面的方程y2z25x6将zOx坐标面上的圆x2z29绕z轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程解将方程中的x换成得旋转曲面的方程x2y2z297将xOy坐标面上的双曲线4x29y236分别绕x轴及y轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程解双曲线绕x轴旋转而得的旋转曲面的方程为4x29y29z236双曲线绕y轴旋转而得的旋转曲面的方程为4x24z29y2368画出下列方程所表示的曲面(1)(2)(3)(4)y2z0(5)z2x29指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形(1)x2解在平面解析几何中x2表示平行于y轴的一条直线在空间解析几何中x2表示一张平行于yOz面的平面(2)yx1解在平面解析几何中yx1表示一条斜率是1在y轴上的截距也是1的直线在空间解析几何中，yx1表示一张平行于z轴的平面(3)x2y24解在平面解析几何中x2y24表示中心在原点半径是4的圆在空间解析几何中x2y24表示母线平行于z轴准线为x2y24的圆柱面(4)x2y21解在平面解析几何中x2y21表示双曲线在空间解析几何中x2y21表示母线平行于z轴的双曲面10说明下列旋转曲面是怎样形成的(1)解这是xOy面上的椭圆绕x轴旋转一周而形成的或是zOx面上的椭圆绕x轴旋转一周而形成的(2)解这是xOy面上的双曲线绕y轴旋转一周而形成的或是yOz面上的双曲线绕y轴旋转一周而形成的(3)x2y2z21解这是xOy面上的双曲线x2y21绕x轴旋转一周而形成的或是zOx面上的双曲线x2z21绕x轴旋转一周而形成的(4)(za)2x2y2解这是zOx面上的曲线(za)2x2绕z轴旋转一周而形成的或是yOz面上的曲线(za)2y2绕z轴旋转一周而形成的11画出下列方程所表示的曲面(1)4x2y2z24(2)x2y24z24(3)习题741画出下列曲线在第一卦限内的图形(1)(2)(3)2指出下方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形(1)解在平面解析几何中表示直线y5x1与y2x3的交点在空间解析几何中表示平面y5x1与y2x3的交线它表示过点并且行于z轴(2)解在平面解析几何中表示椭圆与其切线y3的交点(03)在空间解析几何中表示椭圆柱面与其切平面y3的交线3分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线的柱面方程解把方程组中的x消去得方程3y2z216这就是母线平行于x轴且通过曲线的柱面方程把方程组中的y消去得方程3x22z216这就是母线平行于y轴且通过曲线的柱面方程4求球面x2y2z29与平面xz1的交线在xOy面上的投影的方程解由xz1得z1x代入x2y2z29得方程2x22xy28这是母线平行于z轴准线为球面x2y2z29与平面xz1的交线的柱面方程于是所求的投影方程为5将下列曲线的一般方程化为参数方程(1)解将yx代入x2y2z29得2x2z29即令则z3sint故所求参数方程为z3sint(2)解将z0代入(x1)2y2(z1)24得(x1)2y23令则于是所求参数方程为z06求螺旋线在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程解由前两个方程得x2y2a2于是螺旋线在xOy面上的投影曲线的直角坐标方程为由第三个方程得代入第一个方程得即于是螺旋线在zOx面上的投影曲线的直角坐标方程为由第三个方程得代入第二个方程得即于是螺旋线在yOz面上的投影曲线的直角坐标方程为7求上半球与圆柱体x2y2ax(a>0)的公共部分在xOy面和zOx面上的投影解圆柱体x2y2ax在xOy面上的投影为x2y2ax它含在半球在xOy面上的投影x2y2a2内所以半球与圆柱体的公共部分在xOy面上的投影为x2y2ax为求半球与圆柱体的公共部分在zOx面上的投影由圆柱面方程x2y2ax得y2axx2代入半球面方程得(0xa)于是半球与圆柱体的公共部分在zOx面上的投影为(0xa)即z2axa20xaz08求旋转抛物面zx2y2(0z4)在三坐标面上的投影解令z4得x2y24于是旋转抛物面zx2y2(0z4)在xOy面上的投影为x2y24令x0得zy2于是旋转抛物面zx2y2(0z4)在yOz面上的投影为y2z4令y0得zx2于是旋转抛物面zx2y2(0z4)在zOx面上的投影为x2z4习题751求过点(301)且与平面3x7y5z120平行的平面方程解所求平面的法线向量为n(375)所求平面的方程为3(x3)7(y0)5(z1)0即3x7y5z402求过点M0(296)且与连接坐标原点及点M0的线段OM0垂直的平面方程解所求平面的法线向量为n(296)所求平面的方程为2(x2)9(y9)6(z6)0即2x9y6z12103求过(111)、(222)、(112)三点的平面方程解n1(112)(111)(023)n1(112)(222)(310)所求平面的法线向量为所求平面的方程为3(x1)9(y1)6(z1)0即x3y2z04指出下列各平面的特殊位置并画出各平面(1)x0解x0是yOz平面(2)3y10解3y10是垂直于y轴的平面它通过y轴上的点(3)2x3y60解2x3y60是平行于z轴的平面它在x轴、y轴上的截距分别是3和2(4)解是通过z轴的平面它在xOy面上的投影的斜率为(5)yz1解yz1是平行于x轴的平面它在y轴、z轴上的截距均为1(6)x2z0解x2z0是通过y轴的平面(7)6x5z0解6x5z0是通过原点的平面5求平面2x2yz50与各坐标面的夹角的余弦解此平面的法线向量为n(221)此平面与yOz面的夹角的余弦为此平面与zOx面的夹角的余弦为此平面与xOy面的夹角的余弦为6一平面过点(101)且平行于向量a(211)和b(110)试求这平面方程解所求平面的法线向量可取为所求平面的方程为(x1)(y0)3(z1)0即xy3z407求三平面x3yz12xyz0x2y2z3的交点解解线性方程组得x1y1z3三个平面的交点的坐标为(113)8分别按下列条件求平面方程(1)平行于zOx面且经过点(253)解所求平面的法线向量为j(010)于是所求的平面为0(x2)5(y5)0(z3)0即y5(2)通过z轴和点(312)解所求平面可设为AxBy0因为点(312)在此平面上所以3AB0将B3A代入所设方程得Ax3Ay0所以所求的平面的方程为x3y0(3)平行于x轴且经过两点(402)和(517)解所求平面的法线向量可设为n(0bc)因为点(402)和(517)都在所求平面上所以向量n1(517)(402)(119)与n是垂直的即b9c0b9c于是n(09cc)c(091)所求平面的方程为9(y0)(z2)0即9yz209求点(121)到平面x2y2z100的距离解点(121)到平面x2y2z100的距离为习题761求过点(413)且平行于直线的直线方程解所求直线的方向向量为s(215)所求的直线方程为2求过两点M1(321)和M2(102)的直线方程解所求直线的方向向量为s(102)(321)(421)所求的直线方程为3用对称式方程及参数方程表示直线解平面xyz1和2xyz4的法线向量为n1(111)n2(211)所求直线的方向向量为在方程组中令y0得解得x3z2于是点(302)为所求直线上的点所求直线的对称式方程为参数方程为x32tytz23t4求过点(203)且与直线垂直的平面方程解所求平面的法线向量n可取为已知直线的方向向量即所平面的方程为16(x2)14(y0)11(z3)0即16x14y11z6505求直线与直线的夹角的余弦解两直线的方向向量分别为两直线之间的夹角的余弦为6证明直线与直线平行解两直线的方向向量分别为因为s23s1所以这两个直线是平行的7求过点(024)且与两平面x2z1和y3z2平行的直线方程解因为两平面的法线向量n1(102)与n2(013)不平行所以两平面相交于一直线此直线的方向向量可作为所求直线的方向向量s即所求直线的方程为8求过点(312)且通过直线的平面方程解所求平面的法线向量与直线的方向向量s1(521)垂直因为点(312)和(430)都在所求的平面上也是垂直的因此所求平面的法线向量可取为所求平面的方程为8(x3)9(y1)22(z2)0即8x9y22z5909求直线与平面xyz10的夹角解已知直线的方向向量为已知平面的法线向量为n(111)因为sn214(1)(2)(1)0所以sn从而直线与平面xyz10的夹角为010试确定下列各组中的直线和平面间的关系(1)和4x2y2z3解所给直线的方向向量为s(273)所给平面的法线向量为n(422)因为sn(2)4(7)(2)3(2)0所以sn从而所给直线与所给平面平行又因为直线上的点(340)不满足平面方程4x2y2z3所以所给直线不在所给平面上(2)和3x2y7z8解所给直线的方向向量为s(327)所给平面的法线向量为n(327)因为sn所以所给直线与所给平面是垂直的(3)和xyz3解所给直线的方向向量为s(314)所给平面的法线向量为n(111)解已知直线的方向向量分别为所求平面的法线向量可取为所求平面的方程为(x1)(y2)(z1)0即xyz012求点(120)在平面x2yz10上的投影解平面的法线向量为n(121)过点(120)并且垂直于已知平面的直线方程为将此方程化为参数方程x1ty22tzt代入平面方程x2yz10中得(1t)2(22t)(t)10解得再将代入直线的参数方程得于是点(120)在平面x2yz10上的投影为点13求点P(312)到直线的距离解已知直线的方向向量为过点P且与已知直线垂直的平面的方程为3(y1)3(z2)0即yz10解线性方程组得x1点P(312)到直线的距离就是点P(312)与点间的距离即14设M0是直线L外一点M是直线L上任意一点且直线的方向向量为s试证点M0到直线L的距离解设点M0到直线L的距离为dL的方向向量根据向量积的几何意义以和为邻边的平行四边形的面积为又以和为邻边的平行四边形的面积为因此15求直线在平面4xyz1上的投影直线的方程解过已知直线的平面束方程为(23)x(4)y(12)z90为在平面束中找出与已知平面垂直的平面令(411)(23412)0即4(23)(1)(4)1(12)0解之得将代入平面束方程中得17x31y37z1170故投影直线的方程为16画出下列各曲面所围成的立体图形(1)x0y0z0x2y13x4y2z120(2)x0z0x1y2(3)z0z3xy0x2y21(在第一卦限内)(4)x0y0z0x2y2R2y2z2R2(在第一卦限内)总习题七1填空(1)设在坐标系[Oijk]中点A和点M的坐标依次为(x0y0z0)和(xyz)则在[Aijk]坐标系中点M的坐标为___________向量的坐标为___________解M(xx0yy0zz0)提示自由向量与起点无关它在某一向量上的投影不会因起点的位置的不同而改变(2)设数1、2、3不全为0使1a2b3c0则a、b、c三个向量是__________的解共面(3)设a(212)b(4110)cba且ac则____________解3提示因为ac所以ac0又因为由acabaa241(1)210(221222)279所以3(4)设a、b、c都是单位向量且满足abc0则abbcca____________解提示因为abc0所以(abc)(abc)0即aabbcc2ab2ac2ca0于是(5)设|a|3|b|4|c|5且满足abc0则|abbcca|____________解36提示c(ab)abbccaabb(ab)(ab)aabbaba3ab|abbcca|3|ab|3|a||b|334362在y轴上求与点A(137)和点B(575)等距离的点解设所求点为M(0y0)则有12(y3)27252(y7)2(5)2即(y3)2(y7)2解得y2所求的点为M(020)3已知ABC的顶点为A(3,2,1)、B(5,4,7)和C(1,1,2)求从顶点C所引中线的长度解线段AB的中点的坐标为所求中线的长度为4设ABC的三边、、三边中点依次为D、E、F试用向量a、b、c表示、、并证明解5试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边且其长度等于第三边长度的一半证明设DE分别为ABAC的中点则有所以从而DE//BC且6设|ab||ab|a(358)b(11z)求z解ab(248z)ab(468z)因为|ab||ab|所以解得z17设|b|1求向量ab与ab的夹角解|ab|2(ab)(ab)|a|2|b|22ab|a|2|b|22|a||b|cos(a^b)|ab|2(ab)(ab)|a|2|b|22ab|a|2|b|22|a||b|cos(a^b)设向量ab与ab的夹角为则8设a3b7a5ba4b7a2b求解因为a3b7a5ba4b7a2b所以(a3b)(7a5b)0(a4b)(7a2b)0即7|a|216ab15|b|207|a|230ab8|b|20又以上两式可得于是9设a(212)b(11z)问z为何值时最小？并求出此最小值解因为当时为单调减函数求的最小值也就是求的最大值令得z4当z4时所以10设|a|4|b|3求以a2b和a3b为边的平行四边形的面积解(a2b)(a3b)3ab2ba5ba以a2b和a3b为边的平行四边形的面积为11设a(231)b(123)c(212)向量r满足rarbPrjcr14求r解设r(xyz)因为rarb所以ra0rb0即2x3yz0x2y3z0又因为Prjcr14所以即2xy2z42解线性方程组得x14y10z2所以r(14102)另解因为rarb所以r与平行故可设r(751)又因为Prjcr14所以rc42即(725112)422所以r(14102)12设a(132)b(234)c(3126)证明三向量a、b、c共面并用a和b表示c证明向量a、b、c共面的充要条件是(ab)c0因为(ab)c(6)(3)012(3)60所以向量a、b、c共面设cab则有(23324)(3126)即有方程组解之得51所以c5ab13已知动点M(x,y,z)到xOy平面的距离与点M到点(1,1,2)的距离相等求点M的轨迹方程解根据题意有或z2(x1)2(y1)2(z2)2化简得(x1)2(y1)24(z1)这就是点M的轨迹方程14指出下列旋转曲面的一条母线和旋转轴(1)z2(x2y2)解旋转曲面的一条母线为zOx面上的曲线z2x2旋转轴为z轴(2)