冀教版七年级数学下册第九章《三角形》（同步教学设计）

第第页冀教版七年级数学下册第九章《三角形》（同步教学设计）单元备课第4单元本单元所需课时数5课时课标要求1.结合实例，理解三角形以及顶点、边、内角、外角等概念。2.能证明三角形的任意两边之和大于第三边,会根据三条线段的长度判断它们是否能构成三角形。3.通过探究活动,发现三角形内角之间以及内角与外角之间的关系，会证明三角形的内角和定理,并掌握它的推论。4.理解三角形的角平分线、中线和高的概念,会画出三角形的角平分线、中线和高。教材分析本章内容的编写是在学生已学点、线、角的基础上展开的，三角形是最基本的几何图形之一，它既在现实生活中有着广泛的应用,同时又是几何知识体系中的基本内容,对进一步研究其他几何图形发挥着重要作用.本章介绍了三角形的有关概念,探究并证明了三角形内角和定理及其推论,分别从边和角两个方面对三角形进行了分类，较好地渗透了分类讨论的数学思想方法。同时，本章也对三角形的角平分线和中线的性质进行了适当的渗透。主要内容本章主要考查三角形的有关概念、性质及主要的线段。主要包括三节：第9.1节“三角形的边”主要介绍三角形的有关概念和三边关系，第9.2节“三角形的内角和外角”主要是介绍三角形的内角和及其推论，第9.3节“三角形的角平分线、中线和高”主要介绍三角形的角平分线、中线和高的概念及其画法。教学目标1.理解三角形以及顶点、边、内角、外角等概念，能对三角形进行分类。2.掌握三角形三边关系,并且会判断三条线段是否能构成三角形。3.会证明三角形的内角和定理,并掌握它的推论。4.理解三角形的角平分线、中线和高的概念,会画出三角形的角平分线、中线和高。课时分配9.1三角形的边1课时9.2三角形的内角和外角2课时9.3三角形的角平分线、中线和高1课时回顾与反思1课时教与学建议1.加强几何图形学习中的观察、操作、推理和概括的教学方法。2.重视培养学生空间观念和实践能力。3.抓住重点、加强练习，打好基础。9.1三角形的边课题三角形的边课型新授课教学内容教材第100-102页的内容教学目标1.掌握三角形的定义,并能正确地表示出三角形，掌握三角形的边、角、顶点的表示方法.2.能正确地进行三角形的分类.3.掌握三角形的三边关系,并能判定已知三条线段能否构成三角形.教学重难点教学重点：掌握三角形的分类及三角形的三边关系.教学难点：利用三角形的三边关系解答实际问题.教学过程备注1.创设情境，引入课题同学们，大家看下面的图案美丽吗？图案主要是由什么图形要素构成的?2.归纳总结，学习新知【问题1】指出下列图片中的三角形。（你还能举出生活中哪些地方有三角形？）【师生活动】学生观察图片，积极思考，相互交流，积极发言。教师点评。【问题2】如图所示,下列图形哪个是三角形？【师生活动】学生观察后回答，教师点评，追问。【追问】观察上面图形，说一说是怎样用线段a，b，c构成三角形的？【师生活动】学生经过观察，对比，讨论，最后得出三角形的概念。教师在学生讨论时，可以适时地提示。教师最后点评，总结给出三角形的定义。【定义】由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形．【问题3】观察下面的三角形，它有几条线段，几个顶点，几个角？分别是什么？【师生活动】学生观察图形，交流讨论，回答问题。教师点评，给出三角形的相关概念及表示。【相关概念】线段AB，BC，CA叫做三角形的边，点A，B，C叫做三角形的顶点，∠A，∠B，∠C叫做三角形的内角（简称三角形的角）。以点A，B，C为顶点的三角形记作△ABC，读作“三角形ABC”。三角形的边有时也用小写字母来表示。一般地，△ABC的顶点A，B，C的对边分别用a，b，c表示。【问题4】画出一个△ABC，假设有一只小虫要从B点出发，沿三角形的边爬到C，它有几种路线可以选择？各条路线的长一样吗？【师生活动】学生画图，观察，思考，作答。学生成果：有两条路线，最短路线就是直接连接BC线段，它的长度为最短距离，原理是两点之间，距离最短。【追问】请你用已经准备好的四根木条，分别长为2cm，3cm，4cm，5cm来摆摆三角形，试试能否成功？做好实验记录。【师生活动】学生动手操作，并记录。学生成果：【追问】通过上面你的记录，想一想：在同一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么大小关系？【师生活动】学生观察、思考、总结。【追问】你能通过说理的形式，来说明你的结论的正确性吗？【师生活动】学生分组讨论，尝试书写说理过程。教师可以巡视时及时给予指导，最后点评总结。【总结】角形的任意两边之和大于第三边。【练习】大家一起来来看看课本P101页“大家谈谈”。【师生活动】学生分组讨论，相互交流，发言分享，教师点评、总结。【方法总结】三角形第三边的取值范围：大于两边之差，小于两边之和。【问题5】如图所示。我们把两条边相等的三角形叫做等腰三角形,相等的两边叫做腰；把三边相等的三角形叫做等边三角形;把三边互不相等的三角形叫做不等边三角形.（1）等边三角形和等腰三角形之间是什么关系？（2）如何按照边的关系对三角形分类呢？【师生活动】学生分组交流讨论，组内总结，班内发言讨论，教师点评，总结。【总结】等边三角形是特殊的等腰三角形。3.学以致用，应用新知考点1三角形的三边关系【例1】判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？（1）3cm、8cm、4cm；（2）5cm、6cm、11cm；（3）5cm、6cm、10cm。解：（1）不能，因为3cm+4cm<8cm；（2）不能，因为5cm+6cm=11cm；（3）能，因为5cm+6cm>10cm。【师生活动】学生自主解答，教师点名让学生口述答案及原因。有的学生可能是每一个都验证了三次，这样增加了解题时间，教师点评给出方法总结。【方法总结】判断三条线段是否可以组成三角形，只需说明两条较短线段之和大于第三条线段即可.考点2三角形三边关系的应用【例2】用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？答案：（1）3.6cm、7.2cm、7.2cm；（2）因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论.①若底边长为4cm，设腰长为xcm,则4+2x=18.得x=7.②若腰长为4cm,设底边长为xcm，则2×4+x=18.得x=10.因为4+4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形.由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形.4.随堂训练，巩固新知1.课本P101页练习2.备用练习（1）在如图所示的图形中,三角形的个数为(C)A.1个B.2个C.3个D.4个（2）如图所示,为估计池塘两岸A,B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P,测得PA=16m,PB=12m，那么AB间的距离不可能是(D）A.5mB.15mC.20mD.28m(3)如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是8cm,则这个等腰三角形的周长为______________.答案：18cm或21cm（4）已知：a、b、c为三角形的三边长，化简：|b+c-a|+|b-c-a|-|c-a-b|-|a-b+c|.答案：2c-2a5.课堂小结，自我完善这节课你有什么收获？6.布置作业课本P102习题1-4。先从具体事物中，让学生感受生活中的建筑中有很多三角形的色彩，引发学生从生活感受中进一步深化认识三角形。帮助学生从生活情境中去重新认识三角形,增强数学来源于生活的认识，也有利于学生用数学的眼光观察生活、思考生活。给出定义时，教师要强调“不在同一直线上”和“首尾顺次相接”。学习三角形的有关概念及表示方法．通过生活中的有趣例子，让学生感受到两点之间最短距离的普遍适用性，同时能够理解三角形三边关系。通过动手让学生体会三边关系，并总结。通过进行说理验证，进一步理解三角形三边关系。教材对“三角形任意两边之差小于第三边”不作要求，且学生还没有学习不等式，所以这里应以“试值”的办法得出“4〈a"。给出等腰三角形、等边三角形和不等边三角形的定义，为下面按边将三角形分类做铺垫。将三角形按边进行分类。通过例1，让学生加深对三边关系的理解，同时总结方法，可以让学生以后做题更快捷。通过练习，让学生巩固本节所学知识。板书设计9.1三角形的边1.三角形的相关定义及表示2.三角形的三边关系3.三角形的分类4.例题教后反思本课的重点与难点均是三角形的三边关系.本课时教案的设计思路是让学生通过自己的思考、探索得出结论,而不是直接去接受结论。这样既增强了学生的动手能力，也让学生更加深刻地理解三角形三边之间的关系。在处理三角形三边关系时，对“任意"二字没有做突出强调，学生容易误解有两边之和大于第三边就行。

9.2三角形的内角和外角第1课时三角形的内角和课题三角形的内角和课型新授课教学内容教材103-105页的内容教学目标1.掌握三角形内角和定理的证明并灵活应用。2.体会多角度求证的思路，体验辅助线在证明中的作用。教学重难点教学重点：会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.教学难点：会运用三角形内角和定理进行计算.教学过程备注1.创设情境，引入课题我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.小学时，我们是通过度量和剪拼的方法证明这个结论的，在学习了平行线之后，还有其他的证明办法吗？2.推理探究，学习新知【问题1】如图所示，在小学,我们通过剪拼发现了三角形的三个内角和等于180°.从这种剪拼过程中,你能得到什么启示?其中哪两条直线是平行的?【追问】你能用哪些方法说明图中的相关两条直线是平行的？【师生活动】学生回忆平行线的相关知识，分组交流讨论，得出结论。【追问】如图所示,已知△ABC。延长BC到点D,过点C作直线CE∥AB,得到∠4和∠5。∠4和∠5与三角形的内角有什么关系?【师生活动】教师引导学生思考∠4与∠1，∠5与∠2的关系，∠3、∠4和∠5与三角形内角和的关系。学生根据提示思考，得出结论。【追问】根据上面的图形及辅助线，完成∠A+∠B+∠ACB=180°的说理过程。【师生活动】学生自主完成说理过程，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。可以让同学上台展示说理过程，最后老师给出总结。【总结】三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。【追问】你还可以怎么做辅助线证明三角形的内角和定理。【师生活动】学生相互交流讨论，做辅助线的方法，教师可以让同学回答几种做辅助线的方法，最后让学生独立完成。教师巡视，帮助有困难的同学。最后总结，【总结】几种做辅助线的方法；多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是作平行线，借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.3.学以致用，应用新知考点三角形的内角和定理【例1】如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF相交于点D，∠F＝40°，∠C＝30°，求∠EDF、∠DBC的度数．答案：∠EDF＝50°，∠DBC＝100°.【例2】在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.答案：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.【方法总结】几何问题借助方程来解.这是一个重要的数学思想.4.随堂训练，巩固新知1.课本P104练习2.备用练习（1）求出下列各图中的x值．答案：30,50（2）如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________.（3）如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．答案：42°（4）如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.答案：40°5.课堂小结，自我完善这节课你有什么收获？还有存在什么疑问？6.布置作业课本P105习题A组第2、4题，习题B组第1、2题。通过旧知引出课题。展示说理过程，既通过说理证明了三角形的内角和定理，又为下面学生自己作辅助线完成证明过程做了铺垫。：通过课堂练习，加深学生对三角形内角和定理的应用。板书设计9.2三角形的内角和外角第1课时三角形的内角和1.三角形的内角和定理2，三角形的内角和定理的证明3.例题教后反思以往学生接触的三角形内角和知识是建立在直接观察基础上的,本课时是通过说理方式得到的，而且鼓励学生通过多种方式探索出三角形内角和定理。但是例题的难度较小，应该增加例题，多展示学生可能用到的说明方法。第2课时三角形的外角课题三角形的外角课型新授课教学内容教材第106-108页的内容教学目标1.了解三角形外角的概念，能在图形中找出外角。2.掌握三角形外角与内角的关系。3.能按角对三角形分类，渗透分类思想。4.会利用三角形的外角性质解决问题.教学重难点教学重点：掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。教学难点：能够在能够复杂图形中找出外角，且会利用三角形的外角性质解决问题.教学过程备注1.创设情境，引入课题下面图形中，哪些角是三角形的内角？哪些不是？这些角是如何组成的呢？图1图2【师生活动】学生观察、思考，分组交流讨论。教师组织学生积极发言，班内相互交流讨论结果。学生成果：△ABC内的角是三角形的内角，如∠A、∠B、∠ACB这几个角是内角。∠ACD、∠BCD不是三角形的内角，这些角的顶点是三角形的顶点，一条边是三角形的边，另一条边是三角形边的反向延长线。2.推理探究，学习新知【问题1】像上图中的∠ACD、∠BCD，是三角形的外角。你能根据它们的组成，描述一下外角的定义吗？【师生活动】学生分组交流讨论，组内尝试概括三角形外角的定义。教师点名请几名同学回答，并点评，最后给出定义。【定义】三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。【练习】画出△ABC的所有外角，共有几个呢?答案：共有6个。每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.【问题2】观察上图1，∠ACD与∠ACB有什么关系？【师生活动】学生独立思考，并发言。学生成果：互补，∠ACD+∠ACB=180°.【追问】结合上述问题答案，及三角形的内角和定理，你能发现∠ACD与∠A+∠B有什么关系吗？尝试给出说理过程。【师生活动】学生分组交流讨论，在练习册上完成说理过程。教师请同学上台展示，并点评、追问。学生成果：证明：∵∠ACD+∠ACB=180°，(补角的定义）又∵∠A+∠B+∠ACB=180°，(三角形的内角和定理）∴∠ACD=∠A+∠B.【追问】那通过上述说理过程，你能说出∠ACD与∠A（或∠B）的大小关系吗？【师生活动】学生分组交流讨论，教师请同学回答，最后总结三角形外角的性质。【总结】根据问题2中的相关探讨，我们会发现：三角形外角的性质：=1\*GB3①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。=2\*GB3②三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。【问题3】一个三角形最多有几个直角？几个钝角？能不能三个角全部是锐角呢？【师生活动】教师指导学生利用假设法进行验证，如果一个三角形含有2个直角，或者含有2个钝角，会出现什么情况？让学生思考得到结论。学生成果：一个三角形最多只能有一个直角，最多只能有一个钝角，因为如果含有的直角或者钝角的数量等于2或3时，内角和大于180°，与定理矛盾。一个三角形最多可以有3个锐角。【追问】当一个角含有一个直角、钝角时，你能画出来吗？如果三个角全部是锐角时，又是怎样的三角形呢？【师生活动】让学生尝试画一画，就能分辨出三类三角形在形状上的不同之处。【追问】从内角的标准上来分类，三角形能分成哪几类呢？【师生活动】学生思考，交流回答。教师给出相关定义。学生成果：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。【总结】三个内角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形。有一个内角是钝角的三角形叫做钝角三角形。【总结】三角形的分类：=1\*GB3①按内角大小分，三角形可分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。=2\*GB3②按是否有边相等分，三角形可分为：不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形包括等边三角形和底和腰不相等的等腰三角形。3.学以致用，应用新知考点三角形外角性质的应用【例1】课本P106页例2如图，∠BCD=92°，∠A=27°，∠BED=44°，求：(1)∠B的度数；(2)∠BFD的度数；答案：（1）65°（2）109°【例2】如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．【分析】延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．答案：100°【变式题】(一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.【分析】添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.①连接AD并延长于点E.②延长BD交AC于点E.③连接延长CD交AB于点F.答案：101°【总结】解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.4.随堂训练，巩固新知1.课本P107页练习2.备用练习（1）如果三角形三个外角度数之比是3：4：5，则此三角形一定是（B）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定（2）已知，如图，△ABC中，∠B=∠DAC，则∠BAC和∠ADC的关系是（B）A．∠BAC＜∠ADCB．∠BAC=∠ADCC．∠BAC＞∠ADCD．不能确定（3）如图，AB//CD，∠A＝37°,∠C＝63°，那么∠F等于（A）A.26°B.63°C.37°D.60°（4）如图所示,已知AB∥DE，∠ABC=70°,∠CDE=140°，则∠BCD的度数为30°.（5）我们设计了一张帆布折椅，它的侧面如图所示,∠A=28°,∠ABC=64°,∠BCD=46°,∠D=12°,试求椅面AE和椅背DE的夹角∠AED的度数。答案：110°5.课堂小结，自我完善这节课你有什么收获？还有什么疑惑？6.布置作业课本P108习题A、B组。通过观察图形，分析角的各部位的特点，很容易让学生感受到外角的特征让学生自己总结定义，锻炼学生的总结概括能力。通过小练习加深对三角形外角的认识。通过推理探究，让学生用证明的方法去说明,培养学生的推理论证能力，更严谨地说明三角形外角的性质，使学生对三角形外角的认识更深刻。利用反证法的思想来得到正确结论，培养学生的观察能力和推理能力。培养学生的动手能力，同时增强学生的操作技能，让学生参与到知识的生成过程中，提高学生的核心素养。通过例题讲解与练习，让学生对三角形外角的应用有一定的认识，加深对外角性质的理解。板书设计9.2三角形的内角和外角第2课时三角形的外角1.三角形外角的定义2.三角形外角的性质3.三角形的分类教后反思在三角形内角和的基础上探索三角形外角的性质关系，知识难度较小，采取了学生自主完成、教师总结的策略.通过例题讲解,重点培养了学生说理的严密性和科学性。但是在教学中没有关注基础知识薄弱的学生，可能会在自主探究的过程中跟不上节奏。

9.3三角形的角平分线、中线和高课题三角形的角平分线、中线和高课型新授课教学内容教材第109-111页的内容教学目标1.理解三角形的角平分线、中线、高的概念，会画出已知三角形的角平分线、中线和高。2.了解三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点。3.掌握“三线”的性质，并能应用进行计算。教学重难点教学重点：理解三角形的角平分线、中线、高的概念，会画出已知三角形的角平分线、中线和高。教学难点：灵活应用“三线”的性质进行运算。教学过程备注1.创设情境，引入课题有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？【师生活动】学生分组交流讨论，可以画图，尝试解决办法。教师可以让同学回答想到的解决办法，有的学生可能会无从下手，有的可能会做角平分线，分成面积不相等的两份。教师点评，并给出解决办法。为什么这么做就可以平分蛋糕呢？从而引出今天的课题2.归纳探究，学习新知1.【问题1】如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？OC是一条（填直线、射线或线段）。【师生活动】学生回答。【追问】在一张白纸上任意画出一个△ABC，你能通过折纸的方法找到△ABC中∠A的平分线吗？【师生活动】让学生拿纸折一下，并说明∠A的平分线。老师指出：使得角的两边重合的折痕就是角平分线。【追问】那么你能找到一个三角形的一个内角的平分线吗？观察这个内角的平分线是（填直线、射线或线段）。【师生活动】学生交流讨论，可能会用量角器或用折纸的办法找三角形的内角的平分线，可能会认为三角形的角平分线是射线。教师点评，并纠正，给出定义。【定义】三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫作三角形的角平分线。注意：角平分线是一条射线，三角形的角平分线是一条线段。【追问】每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个.一个三角形有几条角平分线？用折纸的办法可以得到吗？三条角平分线有怎样的位置关系？【师生活动】学生动手操作，然后观察得出答案，教师让学生发言表述自己的结论，并点评总结。【总结】三角形有三条角平分线，三条角平分线在三角形内部交于一点。2.【问题2】如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？【师生活动】学生回忆线段中点的性质，得出结论。【追问】如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD称为△ABC的什么呢？类比一下.【师生活动】学生思考，经过类比，可能得出三角形的中线，教师总结三角形的中线的定义。【定义】连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线.【追问】如图，在硬纸板上分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？【师生活动】教师可以先指导学生怎么画三角形的中线，避免有的学生不会画。学生根据指导画出三角形的中线，观察，发现规律。【总结】三角形的三条中线在三角形的内部交于一点。【追问】将上面其中一个三角形剪下来，在中线的交点位置钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，三角形硬纸板处于什么状态？这种现象说明了什么？【师生活动】学生实际操作，发现规律，教师总结。【总结】三角形的三条中线在三角形内部交于一点，这个交点叫做这个三角形的重心.3.教师直接给出三角形的高的定义。定义：从三角形的一个顶点到它对边所在的直线的垂线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．【问题3】如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，并观察高的交点有什么规律？【师生活动】学生实际操作，有的学生可能画直角三角形不标准，作出来的高交点位置不对，教师要及时纠正。学生分组交流讨论、观察不同的三角形的高的交点情况，总结规律。教师让学生类比前面角平分线和中线的交点规律总结。学生发言表述规律，教师点评、总结【总结】①锐角三角形的三条高在三角形的内部交于一点.②直角三角形的三条高交于直角顶点.③钝角三角形的三条高在三角形的外部交于一点.3.学以致用，应用新知考点1三角形的角平分线【例1】如图，DC平分∠ACB，DE∥BC,∠AED=80°，求∠ECD的度数.答案:40°考点2三角形的高如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值.答案：4.8【方法总结】面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不求出面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解.考点3三角形的中线【例3】如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC