专题7 最大整数与最小整数问题（模拟+真题）2024高考总复习压轴题《数学》函数与导数解析版

第第页专题7最大整数与最小整数问题1．已知．（1）若函数在上有1个零点，求实数的取值范围．（2）若关于的方程有两个不同的实数解，求的取值范围．【答案】（1）（2）【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数判断即可；（2）由可得，令，则，由关于的方程有两个不同的实数解，即方程有两个不同的实数解，令，求出函数的最值，即可得解.（1）解：，，，所以，当时，，所以在，单调递增，又因为，所以在，上无零点；当时，，使得，所以在，单调递减，在单调递增，又因为，，所以若，即时，在，上无零点，若，即时，在，上有一个零点，当时，，在，上单调递减，在，上无零点，综上当时，在，上有一个零点；（2）解：由，即，即，则有，令，则，，所以函数在上递增，所以，则有，即，因为关于的方程有两个不同的实数解，则方程有两个不同的实数解，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以，当时，，当时，，所以.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间及最值问题，考查了分类讨论思想、转化思想及同构思想，难度较大.2．已知函数.（1）若在处取得极值，求的值及函数的单调区间；（2）请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择.如果多写按第一个计分.①若恒成立，求的取值范围.②若仅有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为.（2）选择①时，；选择②时，【分析】（1）把代入，然后对求定义域，求导，利用求出求的值，观察出是个增函数进而求出函数的单调区间；（2）对进行同构变形，然后构造新函数求的取值范围（1）定义域为，，在处取得极值，则，所以，此时，可以看出是个增函数，且，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.故的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）①选择若恒成立，若恒成立，即，整理为，即设函数，则上式为：因为恒成立，所以单调递增，所以所以，令，.，当时，，当时，，故在处取得极大值，，故1，解得：故当时，恒成立.②选择若仅有两个零点，即有两个根，整理为，即设函数，则上式为：因为恒成立，所以单调递增，所以=所以只需有两个根，令，.，当时，，当时，，故在处取得极大值，，要想有两个根，只需，解得：，所以的取值范围为【点睛】同构变形是一种处理含有参数的函数常用方法，特别是指对同构，对不能参变分离的函数可以达到化简后可以参变分离的效果，非常的好用3．已知函数.（1）选择下列两个条件之一：①；②；判断在区间是否存在极小值点，并说明理由；（2）已知，设函数若在区间上存在零点，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）若选择①，则，由于在上单调递增，且，从而可求出求出的单调区间，进而可求出的最小值非负，则无极值；若选择②，则，由在上单调递增，且，可得的单调区间，从而得其最小值小于0，进而可判断函数的极值，（2）令，则可得，令，即转化为有解，构造函数，由导数可得由唯一零点，从而将问题转化为在有解，即，再构造函数，利用导数求出函数的值域可得的范围，从而可求出实数的取值范围【详解】解：（1）若选择①，则，由在上单调递增，且，所以在上单调递减，上单调递增，有，则在上单调递增，不存在极小值点.若选择②，则，由在上单调递增，且，所以在上单调递减，上单调递增，有，而，所以存在极小值点.（2）令，有，又，所以，令，即转化为有解，设，则由可得，在单调递减，在单调递增，而，所以由唯一零点.若在区间存在零点，即为在有解.整理得：，设，由知，在单调递减，在单调递增，则，所以，故有.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决零点问题，解题的关键是由可得，令，将问题转化为有解，构造利用导数讨论其解的情况即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题4．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数.(1)讨论函数的单调性与极值；(2)当时，函数在上的最大值为，求使得上的整数k的值（其中e为自然对数的底数，参考数据：，）.【答案】(1)单调性见解析，极大值为，无极小值(2)【解析】【分析】（1）对函数求导，并对a的取值范围进行分类讨论，利用导数研究函数的单调性、极值即可求解；（2）对函数求导，构造新函数，利用导数研究函数的单调性、零点、函数值域即可求解.(1)，.当，即时，恒成立，则函数在上单调递增，无极值；当，即时，令，即，解得，当时，，故函数在上单调递增；当时，，故函数在上单调递减，所以当时，函数取得极大值，且极大值为.综上所述，当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在上单调递增；在上单调递减，在处，取得极大值，且极大值为，无极小值.(2)依题意，当时，，.因为，所以.令，，则在上恒成立，所以在上单调递增.又，，所以存在，使得，即，则当时，，则，所以函数在上单调递增；当时，，则，所以函数在上单调递减，所以函数在上的最大值.又因为，所以，.令，，则在上恒成立，所以函数在上单调递增，所以.因为，，所以，又，所以整数.5．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）设函数．(1)当时，恒成立，求b的范围；(2)若在处的切线为，且，求整数m的最大值．【答案】(1);(2)2【解析】【分析】（1）求出当时，只需要；（2）先根据切线的条件求出参数，在类似（1）中用恒成立的方式来处理.(1)由，当时，得．当时，，所以，即在上单调递增，所以，由恒成立，得，所以，即b的范围是．(2)由得，且．由题意得，所以，又在切线上．所以，所以，即．因为，所以有．令，则等价于，即，从而．设，则．易知在上单调递增，且．所以，由函数零点存在性定理知，存在唯一的使得，即，则．当时，在上单调递减；当时，在上单调递增．从而．而在上是减函数，所以．因此的最小值．从而整数m的最大值是2．6．（2022·全国·模拟预测）已知函数，其中e为自然对数的底数，．(1)讨论函数的单调性；(2)当a＝0时，若存在使得关于x的不等式成立，求k的最小整数值．（参考数据：）【答案】(1)答案见解析；(2)0.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，分，，三种情况讨论的符号求解作答.（2）构造函数，求出的最小值取值范围，再由不等式成立求整数k的最小值作答.(1)函数的定义域R，求导得：，若，由，得，当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，若，则对任意都有，则在R上单调递增，若，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．(2)当a=0时，令，则，令，则，则当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，因，，则存在，使得，即，则当时，，当时，，又当时，，所以当时，，因此在上单调递减，在上单调递增，于是，，．若存在使得关于x的不等式成立，且k为整数，得，所以k的最小整数值为0.【点睛】结论点睛：函数的定义区间为，若，使得成立，则；若，使得成立，则.7．（2021·陕西·铜川市第一中学高二阶段练习（理））设函数.(1)求的单调区间；(2)当时，恒成立，求整数的最大值.【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为(2)2【解析】【分析】（1）求导，分别解不等式，可得；（2）分离参数，将恒成立问题转化为函数的最值问题，通过二次求导可得导函数单调性，结合导函数的零点可得函数的单调区间，从而可得最值，然后可得.(1)，由解得，由解得，所以的单调增区间为，单调减区间为(2)当时，所以记，则记因为当时，，所以在上单调递增，，所以存在，记，则…①所以当时，，即，此时单调递减，当时，，即，此时单调递增所以当时，由最小值…②将①代入②可得所以，因为a为整数，所以a的最大值为2.8．已知函数，.（1）若，讨论函数在定义域内的极值点个数；（2）若，函数在上恒成立，求整数的最大值.【答案】（1）答案见解析；（2）最大值为3.【分析】（1）求，计算方程的，分别讨论和时的单调性，由单调性可得极值点的个数；（2）先求出，再计算，再构造函数，利用的单调性以零点存在定理可判断的单调性，进而可得的最小值，只需，再结合是整数即可求解.【详解】（1）的定义域为；且，因为方程的，①当，即时，恒成立，此时对于恒成立，所以在上单调递增，故极值点个数为；②当，即时，设方程的两根分别为和，则，，所以，，设，则，，由即可得：或，由即可得：所以在和上单调递增，在上单调递减，故极值点个数为2；综上所述，当时，极值点个数为，当时，极值点个数为2.（2）时，，则，令，则，所以在上单调递增，而，，所以存在，使，即，故，当时，，；当时，，；即在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以，因为，即的最大值为3.【点睛】方法点睛：由不等式恒成立（或能成立）求参数时，（1）可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；（2）可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.9．已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）令，若在恒成立，求整数a的最大值．参考数据：，【答案】（1）答案见解析；（2）3.【分析】求得，结合二次函数性质对a进行讨论求解单调性；由题设可得，将问题转化为恒成立，构造并应用导数研究最小值，由即可求整数a的最大值．【详解】的定义域为且，①当时，由得：，∴时，的增区间为，减区间为，②当时，令得：或，∴的增区间为和减区间为③当时，恒成立，此时的增区间为，无递减区间：④当时，令得：或，∴的递增区间为和，减区间为．，则恒成立．令，则，令，，知在上递增且，，∴，使，即在递减，在递增，∴，∴由知：整数a的最大值为3．【点睛】关键点点睛：第二问，将题设问题转化为恒成立，构造函数并应用导数研究最值，求参数.10．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求整数的最大值．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）-1．【分析】（1）求出函数导数，根据a分类讨论，即可求解；（2）由原不等式恒成立，分离参数可得，利用导数求的最小值即可求解.【详解】（1）的定义域为，，（1）当时，，由得，由得，．∴的单调递增区间为，单调减区间为（2）当时，，由得或，由得，∴的单调减区间为，单调增区间为和（3）当时，，在上恒成立，∴单调增区间为，无减区间；（4）当时，，由得或，由得，∴的单调减区间为，单调增区间为和．综上所述，当时，的单调减区间为，单调增区间为和；当时，单调增区间为，无减区间；当时，的单调减区间为，单调增区间为和当时，的单调增区间为，单调减区间为；（2）设，则．设，则恒成立∴在上单调递增，∵∴使得，时，从而，∴时，，在上为减函数，时，，从而，∴时，在上为增函数，∴，把代入得令，，则为增函数，∴，，∴∴整数的最大值为-1．【点睛】关键点点睛：利用导数求出后，需要构造函数，在利用函数的单调性求的最小值，是解题的关键，属于难题.11．已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若在上恒成立，求整数的最大值.(参考数据：，).【答案】（1）答案见解析；（2）最大值为3.【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为，在恒成立，令，根据函数的单调性求出的最小值，求出的最大值即可．【详解】解：（1）的定义域为，.当时，令，得，令，得，所以的减区间为，增区间为.当时，恒成立，所以的减区间为；当时，令，得，令，得，所以的增区间为，减区间为.（2）由在上恒成立.可得：在上恒成立，令，则.令，∵与在上均单调递增，∴在上单调递增，且，.∴，使得，此时，∴当时，；当时，；∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∵在恒成立，∴，∴整数的最大值为3.【点睛】关键点点睛：求解恒成立问题的关键是能够将问题转化为，在恒成立,再利用导数求最值.12．已知偶函数满足，，且当，时，，关于的不等式在，上有且只有300个整数解，求实数的取值范围【解答】解：偶函数满足满足，，的周期为8，且的图象关于直线对称．由于，上含有50个周期，且在每个周期内都是轴对称图形，关于的不等式在，上有3个整数解．当，时，，在上单调递增，在，上单调递减，（1），（2）（3）（4），当，2，3，时，，当时，在，上有4个整数解，不符合题意，，由可得或．显然在，上无整数解，故而在，上有3个整数解，分别为1，2，3．（4），（3），（1），．故选：．13．已知关于的不等式的解集为，其中，若该不等式在中有且只有一个整数解，求实数的取值范围【解答】解：关于的不等式化为：，令，，则．令，在上单调递增，因此存在，使得，，，（1），（2）．因此存在，使得，因此函数在内单调递减，在，单调递增．（1），（2）．关于的不等式的解集为，其中，该不等式在中有且只有一个整数解，实数的取值范围是．另解：式子可化为，令，则必过，因为之间含一个整数解，那么这个整数解必须是1，且，，通过这个进一步可以确定的范围．故选：．14．（2019•苏州三模）已知函数，其中．（Ⅰ）函数的图象能否与轴相切？若能，求出实数，若不能，请说明理由；（Ⅱ）求最大的整数，使得对任意，，不等式恒成立．【解答】解：（Ⅰ）．假设函数的图象与轴相切于点，则有，即．显然，，代入方程中得，．△，方程无解．故无论取何值，函数的图象都不能与轴相切；（Ⅱ）依题意，恒成立．设，则上式等价于，要使对任意，恒成立，即使在上单调递增，在上恒成立．（1），则，在上成立的必要条件是：．下面证明：当时，恒成立．设，则，当时，，当时，，，即，．那么，当时，，；当时，，，恒成立．因此，的最大整数值为3．15.（2021•湛江三模）已知函数，为的导函数．（1）讨论在区间内极值点的个数；（2）若，时，恒成立，求整数的最小值．【解答】解：（1）由，得，令，则，，，，当时，，单调递增，即在区间内无极值点，当时，，，故，故在单调递增，又，，故存在，使得，且时，，递减，，时，，单调递增，故为的极小值点，此时在区间内存在1个极小值点，无极大值点；综上：当时，在区间内无极值点，当时，在区间内存在1个极小值点，无极大值点．（2）若，时，恒成立，则，故，下面证明时，在，恒成立，，时，，故时，，令，，，故，令，则，在区间，单调递增，又，故在，上单调递减，又，，故存在，，使得，且，时，，递增，，时，，单调递减，故时，取得最大值，且，，，，故单调递减，故，时，即成立，综上，若，时，恒成立，则整数的最小值1．16．已知函数（其中为自然对数的底数）．（1）当时，求证：函数图象上任意一点处的切线斜率均大于；（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1）证明：时，，，设，则，令，解得：，故在区间递减，在递增，故的最小值是，即对任意恒成立，故函数图象上任意一点处的切线斜率均大于；（2）先证对任意，，，，令，，令，解得：，故在区间递增，在递减，故，故，令，，，令，解得，故在区间递减，在区间递增，故，故，递增，故，故，，，对于任意，恒成立，，故，当时，，即对于任意的，恒成立，综上，的取值范围是．17．函数．（1），求的单调区间；（2）若在，上恒成立，求实数的取值范围；（3）令函数，求证：．【解答】解：（1），，，当，时，，当，时，，所以的单调递增区间是，，的单调递减区间是，．（2）不等式恒成立等价于，令，则由，可得到，可以看作是关于的一次函数，单调递增，令，对于，，，恒成立，只需证明即可，，当，，则，在上单调递减，又，所以此时恒成立．当时，恒成立；当时，单调递增，，，所以在上存在唯一的，使得，当时，，当，时，，所以在时单调递减，在，时单调递增，，，，恒成立，故恒成立，．（3）证明：由（2）可知，，令，，，2，，8，可得到，从而，即得证．18．（Ⅰ）证明：，，；（Ⅱ）若在，上恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）已知函数，若正实数，满足，证明：当时，恒有．【解答】解：（1）令，当，时，，故在区间，上单调递增，从而，由于为偶函数，所以当，时，，故，，．（2）结合（1）可知，所以，易证，故为原不等式成立的必要条件，下面证明充分性，当时，，令，易知为偶函数．设，，则，令，则，故在，上单调递减，即，故在，上单调递减，，故当时，原不等式在，上恒成立，综上，的取值范围为，．（3）当时，，在（2）中令，，则有，下面证明即可，即证，解法一：，即，，，易知在处取得最小值1，则，又，所以．综上，当时，恒有．解法二：不妨令，在上，，则在上单调递增，又（1），所以要使，则需，要证，即证，即证，又，所以即证，设，，，则，故在，上单调递增，（1）（1），令，可得，所以，即，所以．综上，当时，恒有．

1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（

）．A． B．e C． D．【答案】C【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，，故，即，即a的最小值为．故选：C．2．（2023·全国·统考高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.【详解】，则，若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，令，解得或，且当时，，当，，故的极大值为，极小值为，若要存在3个零点，则，即，解得，故选：B.3．（2015·全国·高考真题）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围.【详解】设，，由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，，当时，；当时，.所以，函数的最小值为.又，.直线恒过定点且斜率为，故且，解得，故选D.【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.4．（2017·全国·高考真题）已知函数有唯一零点，则A． B． C． D．1【答案】C【详解】因为，设，则，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：C.【点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.5．（2014·全国·高考真题）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：当时，，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；当时，，令，得或．时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，选C．考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性．6．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论：①若，恰有2个零点；②存在负数，使得恰有1个零点；③存在负数，使得恰有3个零点；④存在正数，使得恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是．【答案】①②④【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；对于②，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，存在，使得只有一个零点，②正确；对于③，当直线过点时，，解得，所以，当时，直线与曲线有两个交点，若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；对于④，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，当时，函数有三个零点，④正确.故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．7．（2019·全国·高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.【答案】(1)见详解；(2).【分析】(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2)讨论的范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终求得的取值范围.【详解】(1)对求导得.所以有当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；当时，区间上单调递增；当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.(2)若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为.而，故所以区间上最大值为.所以，设函数，求导当时从而单调递减.而，所以.即的取值范围是.若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为.所以，而，所以.即的取值范围是.综上得的取值范围是.【点睛】(1)这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少.考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算.思考量不大，由计算量补充.8．（2019·北京·高考真题）已知函数.（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当时，求证：；（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．【答案】（Ⅰ）和.（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.【分析】(Ⅰ)首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程；(Ⅱ)由题意分别证得和即可证得题中的结论；(Ⅲ)由题意结合(Ⅱ)中的结论分类讨论即可求得a的值.【详解】（Ⅰ），令得或者.当时，，此时切线方程为，即；当时，，此时切线方程为，即；综上可得所求切线方程为和.（Ⅱ）设，，令得或者，所以当时，，为增函数；当时，，为减函数；当时，，为增函数；而，所以，即；同理令，可求其最小值为，所以，即，综上可得.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，所以是中的较大者，若，即时，；若，即时，；所以当最小时，，此时.【点睛】本题