专题3 函数值域倍增或倍减（周期性与类周期性）（讲义）2024高考总复习压轴题《数学》函数与导数解析版

第第页专题3函数的值域倍增或倍减1.函数的周期对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。【常用结论】A、，函数的周期.B、，函数的周期.C、或，函数的周期.2.函数的值域（1）.函数的值域周期性倍增若函数满足或（），那么此函数的图像会以，值域每次经过一个T，都会周期性变大A倍；（2）.函数的值域周期性倍减若函数满足或（），那么此函数的图像会以，值域每次经过一个T，都会周期性变大A倍；（3）.函数的周期性若函数满足或，那么此函数的图像会以，用周期函数的性质求解即可。(一)函数周期性的应用例1．（1）、（2023·全国·模拟预测）已知是定义域为R的奇函数，满足，则下列结论错误的是（

）A． B．C．的图象关于直线对称 D．是偶函数【答案】B【分析】利用是奇函数、可判断C；利用奇函数求出，令可判断A；判断出是以4为周期的周期函数，利用是奇函数可判断D；举反例可判断B.【详解】由是定义域为R的奇函数，满足，得，故C正确；由是定义域为R的奇函数，得．令，则，即，故A正确；由，得．将两式相减，得，所以是以4为周期的周期函数，所以，因为，所以，即．由是奇函数，得，所以是偶函数，所以也是偶函数，故D正确；设，则满足已知条件，但，，故B错误．故选：B．（2）、（2023·广东·校联考二模）设奇函数的定义域为，且是偶函数，若，则.【答案】【分析】根据所给函数性质求出函数周期，利用周期化简即可得解.【详解】因为是奇函数，且是偶函数，所以，所以，即，故是4为周期的周期函数，且有，则.故答案为：1、（2023·全国·模拟预测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则．【答案】5【分析】根据函数奇偶性的性质分析得出该函数的对称性，借助双对称性的周期将求转换为求即可得.【详解】由为奇函数，可得，则的图象关于点对称，又的定义域为，则有．由为偶函数得，则的图象关于直线对称，则，从而，则，则，故是周期为4的偶函数，所以．而，所以，，故.故答案为：5.2、（2020·安徽·校联考三模）已知函数是定义域为的偶函数，，都有，当时，，则.【答案】5【分析】由题意可知周期为2，从而可求出，，进而可求出的值.【详解】解：由可知，关于对称，又因为是偶函数，所以周期为2，则，.故答案为:5.【点睛】本题考查了分段函数，考查了函数的周期性的应用.由奇偶性和对称性求出函数的周期是求解本题的关键.

(二)函数值域倍减或倍增例2.（1）、已知定义在上的函数，满足，当时，，若方程在区间内有实数解，则实数的取值范围为.【答案】【分析】分别求出，，的解析式，画出的图象，由图象即可求解.【详解】当时，则，所以，即，当时，则，所以，即，则，当时，则，所以，即，画出的图象如下：

由图象可知，当时，方程在区间内有实数解，所以实数的取值范围为（2）、（2022·辽宁沈阳·高三阶段练习）定义在上函数满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是___________．【答案】【分析】由，根据，即，依此类推，作出函数的图象求解．【详解】因为当，时，，所以，因为，当，时，即时，所以，即，当，，即，时，，当，，即，时，，所以，依此类推，作出函数的图象，如图所示：由图象知：，,当时，，当时,因为对任意，，都有，则，解得：，故答案为：（3）、已知定义在R上的函数满足，当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意可得当时，，且，令，解得或，结合图像即可得到结果.【详解】由得，因为当时，，所以；当时，，；当时，，；且，如图令，得或；若对任意，都有，结合图像则的取值范围是.故选：B.（2）、（2021·全国高一专题练习）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题设条件可得当时，，其中，结合函数在上的解析式和函数在的图象可求的取值范围.【详解】当时，，故，因为，故当时，，，同理，当时，，依次类推，可得当时，，其中.所以当时，必有.如图所示，因为当时，的取值范围为，故若对任意，都有，则，令，或，结合函数的图象可得，故选：D.【点睛】思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.定义在上的函数满足，且当时，，当时，的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，求得在区间上，可得，作出函数的图象，结合图象，即可求解.【详解】由函数满足，且当时，当时，可得；当时，可得，所以在区间上，可得，作函数的图象，如图所示，所以当时，，故选：B.

2．（2020·江苏泰州市·泰州中学高三月考）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是______.【答案】【分析】可结合图像大致特点，当函数区间由右移，函数值逐渐减小，当函数区间由左移，函数值逐渐增大，则确定应是比2大的一个值，再由可推出通式，令可解得，再由图像可确定的临界值应为，即可求解【详解】由题可知，则可得一般规律：，可画出大致函数图像，如图：由图可知，当时，，则，，此时，由图像可知，要对任意，都有，则的最大值只能取，故故答案为：【点睛】本题考查由函数的递推式找出一般函数图像规律，数形结合思想，属于难题3、设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】作出图示，求出当时，函数的解析式，求出成立的x的值，运用数形结合的思想可得选项．【详解】解：时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当时，，令，解得，所以要使对任意，都有，则，，故选：B．【点睛】易错点睛：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．4．（2021·陕西·长安一中高二期中（文））设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题先求出的分段函数表达式，分析图象变化规