有理数全章复习精讲

有理数总复习【知识点一】正数与负数1.正数：像+1.8，+420、+30、+10%等带有“+”号的数叫做正数。为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。 2.负数：像－3、－4754、－50、－0.6、－15%等带有“－”号的数叫做负数。而负数前面的“－”号不能省略。 3.零：既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。归纳：正数与负数概念：大于0的叫正数，小于0的叫负数，0既不是正数也不是负数非负数：正实数与零的统称。〔表示为：x≥0〕几个特殊的数：最小的自然数是0;绝对值最小的数是0；同时0也最小的非负整数是0；最小的正整数是1；最大的负整数是-1。注意：对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+”号的数是正数，带“－”号的数是负数。例如－a不一定是负数，因为字母a代表任何一个有理数，当a是0时，－a是0，当a是负数时，－a是正数；能用正数与负数表示相反意义的量，习惯上把增加、盈利等规定为正，它们相反意义的量规定为负，正、负是相对而言有理数。【典例精析】例1把以下各数填在相应额大括号内：－0.1，-789，25，0，-20，-3.14，-590，6/7，π，-5/3,+3.65,π/2正数集｛｝负数集｛｝自然数集｛｝非负数集｛｝例2以下说法正确的选项是：〔〕A．正数都带有“+”号，不带“+”号的数都是负数。B.带“－”号的数不一定是负数.C．一个数不是正数就是负数.D.０℃表示没有温度.【知识点二】有理数及其分类：有理数：整数与分数统称为有理数。整数包括三类：正整数、零、负整数。分数包括两类：正分数和负分数。按整数、分数的关系分类：按正数、负数、零的关系分类： 注意：小学学过的零表示没有，而引入负数后，就不能把“零”完全当作没有了，如0℃就是一个特定的温度；现在我们学过的数，不是有理数，除和与有关的数外，其他的数都是有理数；引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大到整数。【典例精析】例1以下说法错误的有〔〕是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④正整数、负整数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥3.14不是有理数。例2以下各数中：7，-9.25，，-301，，-3.5，0，2，，-7，1.25，，-3，。正整数〔〕；正分数〔〕；负整数〔〕；负分数〔〕；正数〔〕；负数〔〕。例3在，，0，0.333这四个数中，有理数的个数为〔〕〔A〕1个〔B〕2个〔C〕3个〔D〕4个【举一反三】1、判断以下语句正确与否。〔1〕有理数分为正数和负数。〔〕〔2〕有理数可以分为整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类。〔〕〔3〕整数一定是自然数。〔〕〔4〕非负整数是指正分数。〔〕〔5〕非负有理数就是正有理数。〔〕2、以下说法中错误的选项是〔〕〔A〕正整数一定是自然数〔B〕自然数一定是正整数〔C〕零不是正数，也不是负数〔D〕任何有理数都可以表示为分数3、有理数中，是整数而不是正数的数统称为__________，是负数而不是分数的数统称为__________。4、以下说法正确的选项是〔〕〔A〕有最小的自然数，也有最小的整数〔B〕没有最小的整数，但有最小的正整数〔C〕没有最小的负数，但有最小的正数〔D〕零时有理数中最小的数5、零是〔〕〔A〕正数〔B〕负数〔C〕整数〔D〕分数6、正整数集合与负整数集合合并在一起组成的集合是〔〕〔A〕整数集合〔B〕有理数集合〔C〕自然数集合〔D〕以上说法都不对7、既是分数又是正数的是〔〕〔A〕+4〔B〕-1〔C〕0〔D〕3.6【知识点三】数轴：1．数轴的概念规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，所有的有理数在数轴上都能找到表示它的点。①数轴是一条直线，可以向两段无限延伸。②数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。③原点的位置、单位长度的大小都可以根据实际情况而确定，一般都取向右的方向为正方向。单位长度一旦确定，不能再改变。注意：数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数．右边的数总比左边的数大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。故而可以用数轴来比拟数的大小。2．数轴的画法一画：画直线，一般画水平直线。二定：确定原点，在直线的适当位置选取一点作为原点，位置的选取可根据实际问题的需要而确定。三选：选取正方向，一般取向右的方向为正方向，并用箭头表示。四统一：统一单位长度。取适当的长度作为一个单位长度，然后在直线上均匀地画出刻度线。五标数：确定要表示的数的对应点的位置，并用实心圆点表示。【典例精析】例1在数轴上，原点及原点左边的点所表示的数是〔〕A．正数B．负数C．非负数D．非正数例2与原点距离是2．5个单位长度的点所表示的有理数是〔〕A．2．5B．-2．5C．±2．5D．这个数无法确定例3图中所画的数轴，正确的选项是〔〕【举一反三】有理数a，b，c在数轴上的位置如下图，用“<”将a，b，c三个数连接起来________．大于-3．5小于4．7的整数有_______个．在数轴上到表示-2的点相距8个单位长度的点表示的数为_________．【小试牛刀】1.以下说法：①零的意义仅表示没有；②0是最小的整数；③0既不是正数，也不是负数；④0是偶数也是自然数。其中正确的选项是〔〕①③④〔B〕①②③④〔C〕③④〔D〕②④2.将以下各数填在对应的圈中：-0.3,0，-100,3.7,99.9，-7，10，0.3，负数集分数集整数集正数集3.图中表示数轴正确的选项是〔〕〔A〕(B)(C)(D)(E)(F)(G)4.以下说法：〔1〕数轴上表示+3的点只有1个；〔2〕约定向右为正，那么负数都在原点的左边；〔3〕数轴到原点的距离是2个单位长度的点表示的是数2；〔4〕数轴上的一个点不在原点左边，那么这个数表示的数一定是正数；〔5〕数轴上表示的点在-4的右边，与-4的距离是。其中正确的有〔〕〔A〕1个〔B〕2个〔C〕3个〔D〕4个5.数轴上点A到原点的距离是1，点B到原点的距离是2，那么A、B两点之间的距离是多少？6.以下说法正确的选项是〔〕①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数如在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点。〔A〕①②③④〔B〕②③④〔C〕③④〔D〕④7.数轴上原点及原点右边的点表示的数是〔〕〔A〕正数〔B〕负数〔C〕非负数〔D〕非正数8.以下4个数中，在-2到0之间的数是〔〕〔A〕-1〔B〕1〔C〕-3〔D〕39．一个数在数轴上表示的点距原点2.8个单位长度，且在原点的左边，那么这个数是_________。10.假设数轴上的A点表示的数是2，那么与A点距离3个单位长度的B点所表示的数是〔〕〔A〕5〔B〕1〔C〕-1〔D〕-1或5【知识点四】相反数相反数：①定义及表示法：只有符号不同的数互为相反数。比方：2和-2，6和-6〔0的相反数仍然是0〕。②求相反数方法：直接在数字前加负号；如果是式子，先把整个式子括起来，再在括号前加负号；如果数字或式子不是最简形式，要先化简③性质：假设a,b互为相反数，那么a+b=0,注意：在数轴上表示互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等.注：0点相反数是0.【典例精析】例1以下各对数中互为相反数的是〔〕A、－6与－〔＋6〕B、－〔－7〕与＋〔－7〕C、－〔＋2〕与＋(－2.2)D、－与－(－)我们通常把在一个数前面添上“-”号，表示这个数的相反数.例如-(-4)=4,-(+5.5)=-5.5，-0=0.同样，在一个数前面添上“+”号，表示这个数本身.【举一反三】1．假设a,b互为相反数，那么下面式子中一定成立的是〔〕⑴a＋b=0;⑵a=－b;⑶b=－a;⑷a=b2．以下语句中不正确的选项是〔〕A、负数的相反数大于本身；B、正数的相反数小于本身；C、符号相反的两个数叫做互为相反数；D、互为相反数的两个数不一定是一个是正数，一个是负数3．一个数的倒数的相反数是－3，这个数是。4．以下说法正确的选项是〔〕A．带“＋”号和带“－”号的数互为相反数B．数轴上原点两侧的两个点表示的数是相反数C．和一个点距离相等的两个点所表示的数一定互为相反数D．一个数前面添上“－”号即为原数的相反数5．如果一个数与它的相反数在数轴上对应点间的距离为8个单位长度，那么这个数是()A.+8和–8B.+4和–4C.+8D.–4【知识点五】绝对值1．绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作∣a∣,其中a可以是正数、负数和0；2．绝对值的非负性；一个正数的绝对值是它本身；如果a＞0，那么=a；一个负数的绝对值是它的相反数；如果a＜0，那么=-a；0的绝对值是0如果a=0，那么=0由绝对值的意义，我们可以知道：1.一个正数的绝对值是它本身；2.0的绝对值是0；3.一个负数的绝对值是它的相反数.3．利用绝对值比拟有理数的大小〔特别是负数的大小比拟〕正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数比拟大小，绝对值大的反而小；4.几何定义：一个数的绝对值，等于在数轴上表示这个数的点到原点的距离。数轴上表示数a、b的两点间的距离｜a-b｜【典例精析】例1当a＞0时，│a│=当a＝0时，│a│=当a＜0时，│a│=由此可以看出，不管有理数a取何值，它的绝对值总是正数或0(通常也称非负数).即对任意有理数a，总有|a|≥0.【举一反三】1．，那么。2．，那么和的关系为_________________。3．｜-a｜=4，那么a=4．｜x-1｜=3，那么x=5．｜x｜=｜-2007｜，那么x=【知识点六】有理数比拟大小两个负数，绝对值大的反而小.在数轴上表示的两个有理数，左边的数总比右边的数小.正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。【典例精析】例1．比拟两个负数-3和-3.5的大小：①先分别求出它们的绝对值：|-3|=3,|-3.5|=3.5②比拟绝对值的大小：3.5>3③得出结论：-3>-3.5【举一反三】1．|a|=3，|b|=5，且a<b，那么a-b的值为.【快乐小练】一.判断题(1)符号相反的两个数叫做互为相反数；(2)互为相反数的两个数不一定一个是正数，一个是负数；(3)相反数和我们以前学过的倒数是一样的.(4)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；(5)如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身；(6)如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数.三．解答题(1)绝对值是12的数有几个?是什么?(2)绝对值是0的数有几个?是什么?(3)写出绝对值小于5的所有整数，并在数轴上表示出来.(4)|X—4|+|Y+2|=0，求2X—|Y|的值。【稳固练习】1．如果与1互为相反数，那么等于〔〕A．2 B． C．1 D．2．在数轴上的点A、B位置如下图，那么线段AB的长度为〔〕A.-3B.5C.6D.73．某市2009年元旦的最高气温为2℃，最低气温为－8℃，那么这天的最高气温比最低气温高()Ａ.-10℃ Ｂ.-6℃ Ｃ.6℃ Ｄ.10℃4．如图，数轴上两点表示的数分别为和，点B关于点A的对称点为C，那么点C所表示的数为〔〕A． B．C． D．CCAOB5.假设a，b互为相反数，m的绝对值是2，求+2│m│的值．6．设有理数在数轴上对应点如下图，化简│b-a│+│a+c│+│c-b│．7.假设│2m-3│+│3n+2│﹦0,求m﹢2n的值。8.判断以下是对是错。(1)互为相反数的两个数不一定一个是正数，一个是负数；〔〕(2)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；〔〕(3)如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身；〔〕(4)如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数.〔〕【知识点七】有理数的加法一、有理数加法法那么：1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2.绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3.互为相反数的两个数相加得0；4.一个数同0相加，仍得这个数.注意：一个有理数由符号和绝对值两局部组成，所以进行加法运算时，必须分别确定和的符号和绝对值.这与小学阶段学习加法运算不同.【典例精析】例1计算：(+26)+(-18)+5+(-16)【举一反三】一、选择题1、一个正数与一个负数的和是A、正数B、负数C、零D、以上三种情况都有可能2、绝对值不大于3的所有整数的和为A、6,B、－6C、±3、两个有理数的和A、一定大于其中的一个加数B、一定小于其中的一个加数C、大小由两个加数符号决定D、大小由两个加数的符号及绝对值而决定二、判断1.绝对值相等的两个数的和为0〔〕2.假设两个有理数的和为负数，那么这两个数至少有一个是负数〔〕3.如果某数比-5大2，那么这个数的绝对值是3〔〕【知识点八】有理数的减法减法规那么：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即表示成a－b=a+(－b).【典例精析】例1计算：(1)(-32)-(+5)；(2)7.3-(-6.8)；解：减号变加号(1)(-32)-(+5)=(-32)+(-5)=-37.减数变相反数 减号变加号(2)7.3-(-6.8)=7.3+6.8=14.1.减数变相反数(注意：两处必须同时改变符号.)例2．求出数轴上两点之间的距离：〔1〕表示数10的点与表示数4的点；〔2〕表示数2的点与表示数－4的点；(3〕表示数－1的点与表示数－6的点。【举一反三】1、以下说法中正确的选项是()A减去一个数，等于加上这个数.B零减去一个数，仍得这个数.C两个相反数相减是零.D在有理数减法中，被减数不一定比减数或差大.2、以下说法中正确的选项是〔〕A两数之差一定小于被减数.B减去一个负数，差一定大于被减数.C减去一个正数，差不一定小于被减数.D零减去任何数，差都是负数.3、假设不为0的两个数的差是正数，那么一定是〔〕A被减数与减数均为正数，且被减数大于减数.B被减数与减数均为负数，且减数的绝对值大.C被减数为正数，减数为负数.D以上3种均可满足条件.4.b<0，那么a，a－b，a＋b从大到小排列________________.【快乐小练】计算〔注意出计算过程〕|—1－〔—2〕|－〔—1〕2.假设a<b<0，将1，1-a，1-b这三个数按由小到大的顺序排列．3.│x-1│=3，求-3│1+x│-│x│+3的值．4.有理数a，b，c在数轴上的位置，如下图，化简│a+b│-│b-2│-│a-c│-│2-c│．【知识点九】有理数加减混合运算算式(-8)-(-10)+(-6)-(+4)是有理数的加减混合运算，可以按照运算顺序，从左到右逐一计算.通常也可以应用有理数的减法法那么，把它改写成(-8)+(+10)+(-6)+(-4)，统一为只有加法运算的和式.在一个和式里，通常把各个加号省略不写.如上式可写成省略加号的和的形式(和式中第一个加数同时省略括号，假设是正数，正号也省略不写.)：-8+10-6-4.这个式子仍看作和式，读作“负8、正10、负6、负4的和”.按运算意义也可读作“负8加10减6减4”【知识点十】有理数的乘法乘法法那么：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。 任何数与0相乘，都得0。有理数的乘法法那么：两数相乘，同号得＿＿，异号得＿＿，绝对值＿＿＿。任何数与0相乘，＿＿＿＿。【知识点十一】：互为倒数两数相乘两个有理数相乘时，先确定积的符号，再把绝对值相乘。带分数相乘时，要先把带分数化成假分数，分数与小数相乘时，要统一成分数或小数。互为倒数的两数相乘得1。〔在有理数范围内,我们仍然规定:乘积是1的两个数互为倒数.〕【典例精析】例1：计算:：〔〕×〔〕例2：填空：1.-1的倒数是1还是-1?为什么?2.的倒数是______;0的倒数________.3.假设a+b=0,那么a、b互为_____数,假设ab=1,那么 a、b互为_____数.4.计算:-=_________=_____.总结：〔1〕倒数：乘积是1的两个数互为倒数。〔2〕正数的倒数是＿＿＿，负数的倒数是＿＿＿，0没有倒数。〔3〕如何求一个数的倒数？你能说说吗？【知识点十二】多个有理数相乘与两个有理数相乘一样,几个不等于0的有理数相乘,要先确定积的符号,再确定积的绝对值【典例精析】以下各式的积是正的还是负的?为什么?(1)2×(-3)×(-4)×5×6×7×8×9×(-10);(2)2×(-3)×4×(-5)×(-6)×7×8×9×(-10);(3)2×(-3)×4×(-5)×(-6)×0×7×8×9×(-10);【举一反三】(1)(-12×)4×(-6)×2;【知识点十三】乘法运算定律：乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。ab=ba乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。〔ab〕c=a〔bc〕乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。a〔b+c〕=ab+ac【典例精析】例1：判断以下各式中用了哪条运算律？如何用字母表示？1、〔-4〕×8=8×〔-4〕2、[〔-8〕+5]+〔-4〕=〔-8〕+[5+〔-4〕]3、〔-6〕×[+〔-〕]=〔-6〕×+〔-6〕×〔-〕4、[29×〔-〕]×〔-12〕=29×[〔-〕×〔-12〕]5、〔-8〕+〔-9〕=〔-9〕+〔-8〕【知识点十四】有理数的除法有理数的除法都可转化成乘法。除以一个数等于乘以这个数的倒数。零不能作除数。零除以任何一个不为零的数，都得零。两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。【典例精析】【举一反三】【知识点十五】有理数的乘方求n个相同因数的积的运算叫做乘方。乘方的结果叫做幂。 an中，a叫做底数，n叫做指数。如图：指数指数aan幂幂底数底数当an看作a的n次方的结果时,也可读作a的n次幂。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。【典例精析】例1：例如；在94中，底数是9，指数是4，94读作9的4次方，或9的4次幂。一个数可以表示成这个数本身的一次方，例如，5=51，指数1通常省略不写。n个an就是n个a相乘，即an=a·a·…·a所以可利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算。例2：1.65表示……………………〔〕A、5个6相乘B、6个5相乘C、5与6相乘D、5个6相加。2.-4的底数是_____，幂是______例3：_______，_______。【举一反三】一、把以下乘法式子写成乘方的形式：1、〔－3〕×〔－3〕×〔－3〕=；二、把以下乘方写成乘法的形式：1、=；2、=；3、=；三．判断以下各题是否正确：①；〔〕②；〔〕③；〔〕④；〔〕四．(1〕是〔填“正”或“负”〕数；(2〕是〔填“正”或“负”〕数；(3〕=；(4〕=；五．计算：1、=；2、=；3、=；4、=.六、选择题1、118表示〔〕A、11个8连乘B、11乘以8C、8个11连乘D、8个别1相加2、－32的值是〔〕A、－9B、9C、－6D、63、以下各对数中，数值相等的是〔〕A、－32与－23B、－23与(－2)3C、－32与(－3)2D、(－3×2)2与－3×224、以下说法中正确的选项是〔〕A、23表示2×3的积B、任何一个有理数的偶次幂是正数C、－32与(－3)2互为相反数D、一个数的平方是，这个数一定是5、如果一个有理数的平方等于(－2)2，那么这个有理数等于〔〕A、－2B、2C、4D、2或－26、如果一个有理数的正偶次幂是非负数,那么这个数是〔〕A、正数B、负数C、非负数D、任何有理数7、－24×(－22)×(－2)3=〔〕A、29B、－29C、－2248、两个有理数互为相反数，那么它们的次幂的值〔〕A、相等B、不相等C、绝对值相等D、没有任何关系9、一个有理数的平方是正数,那么这个数的立方是〔〕A、正数B、负数C、正数或负数D、奇数10、(－1)2001＋(－1)2002÷＋(－1)2003的值等于〔〕A、0B、1C、－1D、2七、填空题1、(－2)6中指数为，底数为；4的底数是，指数是；的底数是，指数是，结果是；2、根据幂的意义，(－3)4表示，－43表示；3、平方等于的数是，立方等于的数是；4、一个数的15次幂是负数，那么这个数的2003次幂是；5、平方等于它本身的数是，立方等于它本身的数是；6、，，；7、，，的大小关系用“＜”号连接可表示为；8、如果，那么是；9、如果一个数的平方是它的相反数，那么这个数是；如果一个数的平方是它的倒数，那么这个数是；10、假设，那么0八、计算题1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、【知识点十六】科学记数法任何一个数都可以表示成整数数位是一位数的数乘以10的n次幂的形式。用字母N表示数，那么N=a×10n(1≤|a|＜10，n是整数)，这就是科学记数法。【典例精析】例1．甲型Ｈ1N1流感病毒的直径大约是0.000000081米，用科学记数法可表示为〔〕A．8.1×1米B．8.1×1米C．81×1米D．0.81×1米【举一反三】1.6100000000中有___________位整数2.如果一个数记成科学记数法后，10的指数是31，那么这个数有___________位整数。【知识点十七】近似数与精确度近似数：取近似数常用“四舍五入法”精确度：一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.用四舍五入法按要求对给定的数进行取舍：【典例精析】例1．用四舍五入法取近似值，3.1415926精确到百分位的近似值是_________，精确到千分位近似值是________．例2．用四舍五入法得到的近似值0.380精确到_____位，48.68万精确到___位．例3．用四舍五入法取近似值，0.01249精确到0.001的近似数是_________例4．用四舍五入法取近似值，396.7精确到十位的近似数是______________【举一反三】用四舍五入法取近似值，396.7精确到十位的近似数是______________2．2006748精确到百位是；近似数0.20的精确度是精确到位，2.03×10的精确度是精确到位，【知识点十八】有效数字有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到末位数为止，所有的数字都叫这个数的有效数字。【典例精析】例1(1)0.03049(保存两个有效数字)(2)81.661(保存三个有效数字)例2.用四舍五入法取近似值，0.01249精确到0.001的近似数是_________，保存三个有效数字的近似数是___________．例3以下由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？各有几个有效数字？(1)70万(2)9.03万(3)1.8亿(4)6.40x105【举一反三】1、以下由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？各有几个有效数字？〔1〕89.26精确到_________位，有_____个有效数字；有效数字是_____________；〔2〕0.0560精确到_________位，有_____个有效数字；有效数字是_____________；〔3〕85.6万精确到_________位，有_____个有效数字；有效数字是_____________；〔4〕精确到_________位，有_____个有效数字；有效数字是_____________；〔5〕30000精确到_________位，有_____个有效数字；有效数字是_____________；〔6〕13.5亿精确到_________位，有_____个有效数字；有效数字是_____________；2、用四舍五入法，按括号里的要求取近似值，并指出有效数字.〔1〕3.0688〔精确到0.01〕≈___________，有____个有效数字；有效数字是__________；〔2〕1990〔精确到十位〕≈___________，有____个有效数字；有效数字是__________；〔3〕23489〔精确到千位〕≈___________，有____个有效数字；有效数字是__________；〔4〕1.